53，新疆伊宁市第二十六中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份53，新疆伊宁市第二十六中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了 下列方程属于一元二次方程的是， 方程x， 一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A. x2﹣y+2＝0B. x2+y2＝1C. x2﹣2x+2＝0D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断．
【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、方程中含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程定义，熟练掌握定义是解本题的关键．
2. 方程x（x﹣3）＝0的解是（ ）
A. x＝2B. x1＝0，x2＝2C. x1＝0，x2＝3D. x＝3
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
或，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．
3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答．
【详解】解：移项，得： ，
配方，得：，
即：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根为0D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可得出．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
5. 若方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1+x2等于（ ）
A. B. C. ﹣1D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】若是一元二次方程的两个根，则 根据原理可得答案.
【详解】解： 方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．

故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，易错点是不注意这个条件.
6. 如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（ ）
A. 65°B. 60°C. 55°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意寻找旋转后的重合点，根据重合点来找到旋转角．
【详解】解：根据题意△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴可得B点旋转后的点为C，
∴旋转角为∠BAC=60°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查旋转角计算，关键在于根据重合点来确定旋转角．
7. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A B. 且C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于的方程有实数根，分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，当方程是一元一次方程时，方程有实数根；当方程是一元二次方程时，得到，求解，综合两种情况k的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：当方程是一元一次方程时，,则，方程有实数根；
当方程是一元二次方程时，可得：
，
解得：，
综上所述，，
故选：A．
【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，分类讨论、掌握一元二次方程的定义以及有实数根的条件“”，是解题的关键．
8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设出未知数，分别表示明年、后年生产的零件数量，根据“明后两年共生产零件132万个”即可列出方程．
【详解】解：根据题意得明年生产零件为（万个），后年生产零件为（万个），
由题意得．
故选：C
9. 如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
根据交点的位置可得：对称中心为，
故选C
【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．
10. 如图，P是等边三角形ABC内一点，将绕点A顺时针旋转得到，若， ，，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由题意得是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明，根据即可解决问题．
【详解】如图，连接，
绕点A顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，对应边相等，对应角相等．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11. 一元二次方程一次项系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找项的系数时带着前面的符号．
12. 关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是2，则m的值为________.
【答案】-
【解析】
【分析】把x=2代入原方程可得关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：当x=2时，，解得：m=﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型，熟知一元二次方程解的概念是关键．
13. 当m=______时，关于x的方程是一元二次方程．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，最高次数为二次．
【详解】解：二次项系数不为零，，，
最高次数为二次，，，
∴．
故答案是：-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
14. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
【答案】20
【解析】
【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：，
则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，
则菱形的边长为，
故菱形的周长为5×4=20，
故答案为20
【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．
15. 某篮球联赛，采用双循环制（每两队之间都进行2场比赛），总场数为380场，求有多少只队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每一支球队都要跟剩余的球队打一场比赛，得到总比赛的场数为，根据总场数为380场，列出方程即可．
【详解】解：设参赛队伍有x支，由题意，得：；
故答案为：．
16. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则____．
【答案】2020
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2＋2m＝2022，m＋n＝−2，将其代入m2＋3m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）中即可求出结论．
【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x−2022＝0的两个实数根，
∴m2＋2m＝2022，m＋n＝−2，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）＝2022＋（−2）＝2020．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系得出m2＋2m＝2022，m＋n＝−2是解题的关键．
17. 如图，中，，，．将绕点A逆时针旋转60°，得到，连接，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出∠CAE=60°，AC=AE=2，求出∠BAE=90°，根据勾股定理求出即可．
详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，， ，
∴ AC=AE=2，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+60°=90°，
在Rt△BAE中，
由勾股定理得：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AE的长度和求出∠BAE的度数是解此题的关键．
18. 如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
【答案】11或﹣8
【解析】
【分析】根据题意设较小的数为x，表示出较大的数，列出方程求出解即可．
【详解】解：设较小的数为x，则较大的数为x+3，
根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0，
分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0，
解得：x＝8或x＝﹣11，
∴x+3＝11或﹣8，
则较大的数为11或﹣8，
故答案为：11或﹣8．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意并根据题意列出方程求出解是解答本题的关键．
三．解答题（共6小题，满分66分）
19. 用适当的方法解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）直接开方法解方程即可；
（2）公式法解方程即可；
（3）因式分解法解方程即可；
（4）因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴；
【小问4详解】
，
∴
∴，
∴或，
∴．
20. 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，满足x1x2+x1+x2＝0，求k的值．
【答案】-4
【解析】
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系把x1+x2﹣x1x2＝0转化成关于k的方程，再利用一元二次方程根与系数的关系求出k所满足的范围即可得到结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝4﹣4（k+2）≥0．
解得k≤﹣1．
由一元二次方程根与系数的关系可得：
x1+x2＝2，x1x2＝k+2，
∵x1+x2+x1x2＝0，
∴2+k+2＝0，
解得k＝﹣4．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
21. 已知关于的一元二次方程．求证：该方程总有两个实数根．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式证明即可．
【详解】证明：∵,
∴，
∵，
∴方程总有两个实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程无实数根是解本题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.
（1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标；
（3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标.
【答案】（1）如图见解析；；（2）如图见解析；；（3）.
【解析】
【分析】（1）分别将OA、OB、OC绕O点逆时针旋转90°，得到A1、B1、C1,然后连接，最后直接读出C1坐标即可.
（2）分别将A1、B1、C1向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到A2、B2、C2, ,然后连接，最后直接读出C2坐标即可.
（3）连接A A2, B B2然后分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心，写出坐标即可.
【详解】解：
（1）图如下：
；
（2）图如下：
.
（3）如图：点E为旋转中心，坐标为.
.
【点睛】本题主要考查了旋转变换，寻找旋转后的对应点和确定旋转中心是解答本题的难点.
23. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
【解析】
【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，解得：，
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
25. 中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空： ________， ________（用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）当时，使得的面积为
【解析】
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案；
（2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得：，，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，使得的面积为．
26. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题；
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式：______；
（2）若可配方成（m、n为常数），则______．
探究问题；
（3）已知，则______．
（4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“完美数”的定义即可得到答案；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应常数的值，进而即可求解；
（3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论．
【详解】解：（1）由题意，得：；
故答案为：；
（2）∵，
∴；
∴；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
（4），理由如下：
，
∵S为“完美数”，
∴，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义，是解题的关键．