初中数学北师大版九年级下册2 圆的对称性导学案

这是一份初中数学北师大版九年级下册2 圆的对称性导学案，共25页。学案主要包含了即学即练等内容，欢迎下载使用。

知识精讲
知识点01 圆的对称性
1. 圆的对称性
圆的对称轴是任意一条过圆心的直线。
注意：
①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴；
②圆的对称轴有无数条。
2. 圆是中心对称图形
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。
知识点02 圆心角、弧、弦的关系
1. 圆心角
角的顶点在圆心，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角。
2. 弦心距
圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距。
3. 圆心角、弧、弦的关系：
（1）定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：
①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
EQ \\ac(○,3)实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等。同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
能力拓展
考法01 利用圆心角、弧、弦的关系求解
【典例1】如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【即学即练】如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（ ）
A．18°B．36°C．72°D．80°
【答案】B
【详解】解：设圆心为，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即弧的度数为，
故选：B．
考法02 利用圆心角、弧、弦的关系求证
【典例2】如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】，
，，故A选项正确；
，即，故B选项正确；
，
，故D选项正确；
不能证明，故C选项错误；
故选：C．
【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
【答案】B
【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN，
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
又∵OM=ON，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确；
当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，
∵OC=OD，
∴CM=2OC，
∴，
∴，故③错误；
若M是的中点，
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD=BD，故④正确，
故选B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
2．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图所示：连接CD，
∵在中，
即的度数是
故选：B．
3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（ ）
A．120°B．75°C．60°D．30°
【答案】C
【详解】解：连接OA、OB，如图，
∵OA=OB=AB，
∴OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．
故选：C．
4．下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
故选：B．
5．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．42°B．48°C．21°D．16°
【答案】C
【详解】解： 点A、B、C、D、E在上，，，
，
，
故选：C．
6．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．
B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．
C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．
D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．
【答案】B
【详解】A．所对的圆心角应为∠AOD，所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为，故A选项错误；
B．所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB，所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项正确；
C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误；
D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误．
故选：B．
7．已知上有两点、，且圆心角，则劣弧的度数为_________．
【答案】
【详解】解：如图：
∵，
∴劣弧的度数为．
故答案为：．
8．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为__________．
【答案】160°，200°
【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为4:5的两条弧，整个圆周的度数为360°，
∴劣弧的度数为360°×=160°，优弧的度数为360°-160°=200°.
即这两条弧的度数分别为160,200.
故答案为160°，200°.
9．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．
【答案】．
【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
10．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.
（1）求证：BE=DF；
（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).
【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．
【详解】(1)∵DF∥AB，BE∥DC，
∴∠EBA=∠COA=∠CDF.
∴弧ECA=弧CAF，
∴弧BE=弧DF，
∴BE=DF；
(2) 由（1）可得，弧DF=弧BE；
∵弧ECA=弧CAF，
∴弧EC=弧FA；
∵，
∴弧AC=弧BD；
∵弧BE＋弧EC=弧AF＋弧DF；
∴弧DA=弧BC．
∴综上所述，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．
题组B 能力提升练
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆D．直径是弦，半圆不是弧
【答案】D
【详解】A.直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确
B.能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确
C.周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确
D.直径是弦，半圆是弧，故错误
故选：D
2．如图，的弦、的延长线相交于点，，，的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【详解】解：如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选：C．
4．在同圆中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法比较它们的大小
【答案】C
【详解】解：如图，作的中点，连接、，则，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，故选项C正确．
故选：C
5．如图，A，B是上的点，，C是的中点， 若的半径为2，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】D
【详解】解：连，如图，
是的中点，，
，
又，
和都是等边三角形，
．
故选：D．
6．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A．B．C．D．．
【答案】B
【详解】解：连接AB、BC，OB，
∵点B、C将弧AD三等分，
∴，
∴，故A选项正确；
∵，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC>AC，
∴AC<2CD，故B选项错误；
∵，
∴，故C选项正确；
∵，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴，
∴，故D选项正确；
故选：B．
7．如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为______．
【答案】
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
8．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”）
【答案】
【详解】解：取的中点E，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
9．如图，已知是的直径，弦．
(1)求证：弧弧；
(2)若弧AC的度数为，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：的度数是，
，
，
，
，
．
10．已知AB是⊙O的直径．
（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．
【答案】（1）75°；（2）20°
【详解】解：（1）∵，∠MON＝35°，
∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，
∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；
（2）连接BF，
∵AD⊥直线，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝110°，
∵四边形为圆内接四边形，
∴∠ABF＋∠AEF＝180°，
∴∠ABF＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．
题组C 培优拔尖练
1．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵弧度数是，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：C
2．如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】如图，连接，
，
是直角三角形，且
是等边三角形
是直径，
故选D
3．下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【详解】解：①半圆是弧，正确；
②面积相等的两个圆，半径相等，故是等圆，正确，
③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．
⑤等弧所对的圆心角相等，正确．
故选：B．
4．如图，⊙是的外接圆，边的垂直平分线与相交于D点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵，，
∴，
∴，，
∵OD垂直平分边，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
5．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2,
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD,
∴,
∴AC=BD,
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6,CD=2,
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4,
在
∴
在，
∴，
根据圆周角的性质可知,
在,
∴，
∵BO＞0，
∴BO=，
故选：D．
6．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：
（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；
（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；
（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．
根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是的中点，
∴，
∴，
∴BD平分∠ABC，故①正确；
连接DC，AC，
∵OD垂直平分AC，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴BC∥OD，故②正确；
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴CE＝OE，故③正确；
故选D．
7．如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ADC= ______°．
【答案】115
【详解】解：连接，如下图：
∵AB为的直径
∴
∵四边形ABCD内接于
∴
∴
∵点C为弧BD的中点，
∴
∴
∴
故答案为：
8．如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论
①AC＝BD；
②AM＝BN；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．
所有正确结论的序号是 ___．
【答案】①②④
【详解】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴ ，
故②正确，
∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，

∴OM=OC，
∴AB=2OM=OC=MN，
故③错误，
若M是的中点，连接BN，而
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确．
故答案为：①②④．
9．如图，，，，在⊙O上，连接，相交于点．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，连接，，，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）如图所示，连接AD，
∵AC=BD，
∴，
∴即，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长CO交圆O与F，连接DF，AD，
∵AC⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACB=∠ADE，∠CFD=∠CAD
∴∠ACB+∠CFD=90°，
∵CF为圆O的直径，
∴∠CDF=90°，
∴∠CFD+∠FCD=90°，
∴∠ACB=∠FCD，
∴∠OCD=∠ACB．
10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：PD=PF；
（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.5
【详解】(1)证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
(2)证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠DBC=∠DBA=∠ADE，
∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
(3)连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，
∴AD=3，
∵∠ADB=90°，BD=4，
∴AB==5，
∴2r=5，
∴r=2.5，
故⊙O的半径为2.5．
课程标准
1.掌握圆的轴对称性和中心对称性及其相关的性质；
2.理解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的对应关系，并运用它解决有关问题.