北师大版（2024）九年级下册第三章 圆2 圆的对称性巩固练习

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.圆的相关定义（重点）
知识点2.点与圆的位置关系（难点）
知识点3.圆的对称性（重点）
知识点4.圆心角、弧、弦之间的关系（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.圆的相关概念的考查
题型2.点与圆的位置关系判断
题型3.分类讨论思想的应用
题型4.点与圆的位置关系的实际应用
题型5.圆与三角形
题型6.优弧、劣弧的判断
题型7.辅助线的添加方法
【方法三】差异对比法
易错点1： 在解题中忽略了点与圆的多种位置关系
【方法四】成果评定法
【学习目标】
理解圆、等圆、等弧等概念，深刻认识圆中的基本概念。
掌握点与圆的三种位置关系。
3.了解圆是中心对称图形和轴对称图形，并能确定圆的对称轴。
4.能运用圆的对称性推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.圆的相关定义（重点）
1.圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
【例1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦共3条，
3. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
【例2】（2023·江苏·九年级假期作业）（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
【答案】 2； , ； ； ； ．
【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ；
故答案为：2， , ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；
劣弧： ；优弧：．
故答案为： ； ；．
5.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
6.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【例3】下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【答案】B.
提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选：B．
知识点2.点与圆的位置关系（难点）
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【例4】（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∴点A在圆上，
知识点3.圆的对称性（重点）
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
【例5】下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
【解答】解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
知识点4.圆心角、弧、弦之间的关系（难点）
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
注意：
（1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
【例6】（2022秋•溧水区期中）如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
【解答】解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，
∵CD⊥AB，点C是中点，
∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
【方法二】实例探索法
题型1.圆的相关概念的考查
1.下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【答案】B.
提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选：B．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】 B.
【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故错误；
B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C、长度相等的弧是等弧，错误；
D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，
故选B．
【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等.
3.下列命题中，正确的个数是（ ）
⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；
⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ； ⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选C.
题型2.点与圆的位置关系判断
4.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的
位置关系，并说明理由.
【答案与解析】
（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；
（2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；
（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.
【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.
题型3.分类讨论思想的应用
5.已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?
【思路点拨】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．
【答案与解析】
依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．
连接PO，QO，RO．
∵ PD＝4cm，OD＝3cm，
∴ PO＝．
∴ 点P在⊙O上．
，
∴ 点Q在⊙O外．
，
∴ 点R在⊙O内．
【总结升华】本题也可以先计算出直线上的点恰好在圆上时，改点与垂足点D之间的距离，然后再比较得
出结论.
题型4.点与圆的位置关系的实际应用
6．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 .

【答案】3≤OP≤5.
【解析】OP最长边应是半径长，为5；
根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．
∵直径为10，弦AB=8
∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，
由勾股定理得OP=，∴OP最短为3.
∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.
【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.
题型5.圆与三角形
7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，的半径为2，是的一条弦，以为边作一个等边，则长的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：连接，以为边构造等边三角形，连接，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，最小为0，
∴；
题型6.优弧、劣弧的判断
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】 B.
【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故错误；
B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C、长度相等的弧是等弧，错误；
D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，
故选B．
【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等.
题型7.辅助线的添加方法
9．（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 cm．
【解答】解：如图，连接OA，
∵C是的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝5，
故答案为：5．
【方法三】差异对比法
易错点1： 在解题中忽略了点与圆的多种位置关系
10．圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？
【答案与解析】
如图所示,分两种情况:
（1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点，
由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，
所以圆O的半径为.

图1 图2
（2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B，由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径.
综上所述，所求圆的半径为6或4.
【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P做圆的直径，得到
圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先
想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地
方.体现分类讨论的思想.
11.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.
【思路点拨】
在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则弦心
距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，
并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.
∵AB∥CD
∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.
∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，
=8+6=14(cm)
图1 图2
(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，
同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)
∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.
【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.
【方法四】 成果评定法
一．选择题（共7小题）
1．（2023秋•天宁区校级期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则弧的度数为
A．B．C．D．
【分析】先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：，，
，
，
，
，
的度数为．
故选：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
2．（2023秋•沭阳县月考）如图，是的直径，，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】由，可求得，继而可求得的度数．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
3．（2023•鼓楼区校级开学）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
（4）直径是圆中最长的弦，正确，
正确的只有1个，
故选：．
【点评】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大．
4．（2023春•沭阳县月考）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则点
A．在内B．在上C．在外D．无法确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：点到圆心的距离为，而的半径为，
点到圆心的距离小于圆的半径，
点在圆内，
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
5．（2023秋•邗江区校级月考）如图，，，是上三个点，，则下列说法中正确的是
A．B．四边形内接于
C．D．
【分析】过作于交于，由垂径定理得到，于是得到，推出，根据三角形的三边关系得到，故错误；根据三角形内角和得到，，推出，故错误；由点，，在上，而点在圆心，得到四边形不内接于，故错误；根据余角的性质得到，故正确；
【解答】解：过作于交于，
则，
，，
，
，
，
，
，故错误；
，
，
，
，故错误；
点，，在上，而点在圆心，
四边形不内接于，故错误；
，
，
，故正确；
故选：．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2023秋•沭阳县期中）如图，点，，在上，，，，则的半径为
A．B．C．D．
【分析】过点作交的延长线于点连接．证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，，可得结论．
【解答】解：过点作交的延长线于点连接．
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．（2023秋•梁溪区校级月考）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为，，则的面积是
A．3B．1.5C．D．
【分析】连接、、，过点作于点，过点作于点，于点，如图，先根据垂径定理的推论得到，则利用勾股定理可计算出，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角定理得到，则，于是根据等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为正方形得到，则可计算出，，所以，然后利用勾股定理计算出，最后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：连接、、，过点作于点，过点作于点，于点，如图，
点为的中点，
，，
在中，，
弧沿折叠后刚好经过的中点，
和在等圆中，
，
，
，
，
，，
四边形为正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
在中，，
的面积．
故选：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理．
二．填空题（共7小题）
8．（2023秋•兴化市月考）一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 或 ．
【分析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
【解答】解：
连接、，
一条弦把圆分成两部分，如图，
弧的度数是，弧的度数是，
，
，
，
故答案为：或．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．（2023秋•南京期中）在中，弦的长恰好等于半径，弦所对的圆心角为 ．
【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦所对的圆心角．
【解答】解：如图，
，为等边三角形，
，
故答案为．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．
10．（2022秋•东台市校级月考）已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 6 厘米．
【分析】直径是圆中最长的弦，所以此题中，圆的直径是12厘米．
【解答】解：直径是圆中最长的弦，中最长的弦为12厘米，
的直径是12厘米．
的半径是6厘米．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．
11．（2022秋•南京月考）如图，，，是上三点，，，则的大小为 ．
【分析】连接，如图，利用等腰三角形的性质得到，，然后计算即可．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
12．（2023秋•溧阳市期中）如图，中，四边形内接于圆，是直径，，若，则 ．
【分析】过点作交的延长线于，先证和全等，得，，进而得，然后中根据可得出的长．
【解答】解：过点作交的延长线于，如图：
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定，三角形的面积等，熟练掌握全等三角形的判定，理解直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解决问题的关键．
13．（2023秋•大丰区校级月考）如图，是的直径，是的中点，若，则的度数为 ．
【分析】由“是的中点”推知，然后根据平角的定义作答．
【解答】解：是的中点，
．
，
．
是的直径，
．
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
14．（2023秋•铜山区期中）如图点、、、在上，且，是延长线上一点，且，是中点，若，则 12 ．
【分析】先判断出是的中位线，得到，再判断出，即可得出结论；
【解答】解：如图，连接，
是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：12．
【点评】主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，等弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共6小题）
15．（2023秋•工业园区校级期中）已知点、、、在上，，判断弦与是否相等，并说明理由．
【分析】根据等量加或减等量还是等量，得出，然后根据在同圆和等圆中等弧所对的弦相等即可证得．
【解答】答：．
证明：，
，或，
，
．
【点评】本题考查了在同圆和等圆中弧和弦的关系，运用了等弧对等弦．
16．（2023秋•沭阳县月考）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数．
【分析】连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【解答】解：连接，
，，
，
．
是的外角，
．
，
，
，
．
【点评】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．
17．（2023秋•相城区校级月考）如图，在中，以点为圆心画弧分别交，的延长线和于，，，连接并延长交于，．
（1）求证：；
（2）连接，判断与的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由，设，，再由得，据此可得，进而可得出结论；
（2）连接，依题意得：为半圆的直径，则，即，再根据即可得出与的位置关系．
【解答】（1）证明：，
，，
，
，
又，
，
，
；
（2）解：与的位置关系是，理由如下：
连接，如图所示：
依题意得：为半圆的直径，，
即，
又，
．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，平行线的判定，解决问题的关键是理解直径所对的圆周角是直角，有两个角相等的三角形是等腰三角形，垂直于同一条直线的两条直线平行．
18．（2023秋•通州区期中）如图，中，弦，相交于点，．
（1）比较与的长度，并证明你的结论；
（2）求证：．
【分析】（1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到．
（2）由证明，即可推出．
【解答】（1）解：与的长度相等，理由如下：
，
，
，
．
（2）证明：在和中，
，
，
．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，关键是由圆心角、弧、弦的关系推出；证明．
19．（2023秋•亭湖区校级期中）如图，在给定的圆上依次取点，，，．连结，，．设，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【分析】（1）根据求出，求出，求出，根据圆周角定理得出，，再根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出的度数，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：，
，
（两边都减去，
，
由圆周角定理得：，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
，
，
，
的度数是，
，
，
的度数是．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
20．（2023秋•常州期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径．
【分析】由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，，过圆心，连接，，
，
，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．