6 第八章 8.6空间直线、平面的垂直关系 典型例题实战（练透核心考点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

这是一份6 第八章 8.6空间直线、平面的垂直关系 典型例题实战（练透核心考点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册），文件包含6第八章86空间直线平面的垂直关系典型例题实战练透核心考点原卷版docx、6第八章86空间直线平面的垂直关系典型例题实战练透核心考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。

练透核心考点一：直线与平面垂直
1．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．
(1)证明:平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
2．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
3．（2022秋·江西宜春·高二校考期末）如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
4．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥BC，PO⊥平面ABCD，，AB＝2，，CD＝3.
(1)证明：PA⊥OD；
(2)若PO＝OC，求点A到平面PCD的距离.
5．（2023秋·山东东营·高二统考期末）如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
6．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为线段，及的中点，为线段上的点，，，，三棱柱的体积为240.
(1)试确定动点的位置，使直线与直线互相垂直.
(2)求点到平面的距离.
7．（2022秋·上海·高二期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；
(3)求到平面的距离．
8．（2020秋·安徽亳州·高一统考期末）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点．
(1)证明：∥平面CEG．
(2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值．
练透核心考点二：平面与平面垂直
1．（四川省广元市2022-2023学年高二上学期期末数学（文科）试题）如图，四棱锥，平面平面，，，，，，E为PC中点．
(1)求证：直线平面PAD；
(2)平面平面PDC．
2．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..
(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积.
3．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）在正三棱柱中，，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
4．（2023秋·广东·高二校联考期末）如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，且，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面．
5．（2022春·浙江衢州·高一浙江省开化中学校考阶段练习）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，.
(Ⅰ)求与平面所成的角的正弦值；
(Ⅱ)棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
6．（2022·高一单元测试）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中点，侧面底面.
（1）求证：；
（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于点，若，求证：截面侧面；
（3）若截面平面，成立吗？请说明理由.
练透核心考点三：垂直综合问题
1．（2023·安徽蚌埠·统考二模）设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点P在DO上，且．若平面PBC，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．（2017·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）在正三棱锥S﹣ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（ ）
A．1B．2C．D．
4．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）已知矩形中，，现将沿对角线向上翻折（如图所示），若在翻折过程中，点D到点B的距离在内变化时，点的运动轨迹的长度等于________.
5．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为___________.
6．（2023·河北·高三学业考试）如图，已知矩形ABCD所在平面，BD与AC相交于O点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)若，求证：平面PCD.
7．（2023春·全国·高三校联考开学考试）如图，四边形ABCD为菱形．，平面ABCD，，，设，连接AC，BD交于点M，连接EM，FM．
(1)试问是否存在实数，使得平面AFC？若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由；
(2)当时，求异面直线EM与FC所成角的余弦值．
8．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期末）如图，已知在四棱锥中，，，，，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面平面EFDC；
(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥的体积．
练透核心考点四：平行与垂直综合
1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长都相等，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③；④平面．
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知直线a，b与平面α，β，γ，能使的充分条件是（ ）
A．，，B．，
C．，D．，，
3．（2023秋·山东威海·高二统考期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，，点M，N分别在PA，BD上，且．
(1)求证：；
(2)求证：平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离．
4．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点M是棱上的动点．
(1)证明：；
(2)设，求当平面时的值．
5．（2022秋·陕西西安·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥中，，∥，，．
(1)为的中点，证明：直线∥平面；
(2)证明：平面平面．
6．（2022秋·辽宁·高二校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
7．（2022春·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习）（注：本大题用坐标法不给分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，分别为，，的中点，，.
(1)设是的中点，证明：平面；
(2)证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离.
8．（2021春·广东中山·高一统考期末）如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，．
（1）若平面交平面于直线，求证：；
（2）若直线平面，试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹；设平面与棱交于点，求三棱锥的体积．
练透核心考点五：空间角的求法
角度1：异面直线所成角
1．（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考期末）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．3D．
4．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）如图，在直三棱柱中，，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·高三课时练习）如图，在四面体ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为，则MN与CD所成的角的大小为______．
6．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．
角度2：直线与平面所成角
1．（2023春·四川达州·高二四川省万源中学校考开学考试）在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论中正确的个数为（ ）
；
平面平面；
的最大值为；
的最小值为 ；
与平面所成角正弦值的取值范围是.
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋·贵州遵义·高二统考期末）如图，正四棱柱中，M为中点，且．
(1)证明：平面；
(2)求DM与平面所成角的正弦值．
4．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝，BA＝BC＝2，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABC；
(2)求直线PM与平面PBO所成角正弦值．
5．（2023·浙江·统考一模）如图，在长方体中，P，Q是长方形EFGH内互异的两点，是二面角的平面角．
(1)证明：点P在EG上；
(2)若，，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
角度3：二面角
1．（多选）（福建省福州市八县（市）2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）正四面体ABCD中，棱长为a，高为h，外接球半径为R，内切球半径为r，AB与平面BCD所成角为，二面角A-BD-C的大小为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东威海·统考一模）在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE.
(1)求证：；
(2)若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.
3．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知四边形ABCD中，，，O是AC的中点，将沿AC翻折至．
(1)若，证明：平面ACD；
(2)若D到平面PAC的距离为，求平面PAC与平面ACD夹角的大小．
4．（2015·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）如图1，⊙O的直径，点为⊙O上任意两点，，，F为的中点，沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直.
(1)求证：OF面ACD；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2022秋·上海长宁·高二统考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．
练透核心考点六：空间距离的求法
1．（四川省乐山市2022-2023学年高二上学期期末数学文科试题）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为，、分别是、的中点，则点到平面的距离为______.
2．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
3．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，．
(1)证明：平面平面PAC；
(2)若，求点D到平面PBC的距离．
4．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）如图，在三棱柱中，，，与相交于点，且为等边三角形.
(1)求证：平面；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
5．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）在直三棱柱中，，、、分别为、、的中点，，点在线段上，且，．
(1)当时，证明：平面；
(2)当为何值时，点到平面的距离为？