9 第八章 立体几何初步章节综合检测（新高考题型，提高卷）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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1．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如果直线平面，直线平面，且，则a与b（ ）
A．共面B．平行
C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【详解】，说明a与b无公共点，
与b可能平行也可能是异面直线．
故选：D．
2．（2023·江苏·高三统考学业考试）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则，
.
故选：C
3．（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题知，该容器的容积就是正四棱台的体积，
如图，连接正四棱台上下底面的中心，，取上底面正方形一边中点，对应下底面正方形一边中点，连接，，，
则，故四点共面，
过点作交于点，则四边形为矩形，
故，
因为该正四棱台上、下底面边长分别为2，6，等腰梯形的斜高为4，
所以，
故，
所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，
所以该容器的容积是．
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】解：设点E到平面的距离为h，
因为点E是棱的中点，
所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，
又平面过的中点，
所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，
由等体积法，
所以，
，，
在中，，
所以，
则
解得，
即点E到平面的距离为.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示：为中点，连接，，作于.
平面，平面，故，，，
故平面，平面，故，又，，
故平面，即即为直线与平面所成角.
设，则，，
故.
故选：B
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为60°，则点A到平面BCE的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，∴，，
CD⊥平面ABC，平面ABC，有，
又∵，平面，∴平面，
∵，平面，∴平面，
为中点，连接，如图所示，
E为AD的中点，，，
平面，平面，，
异面直线BE与AC所成角为，∴，，
∴，，，，，
到平面的距离为，∴，
，，
设点A到平面BCE的距离为，由，∴.
故选：C
7．（2023·福建福州·统考二模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，， ，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】过点作平面，垂足为，
因为，
所以为的外心，
则（为的外接圆半径），
则，所以，
,
设为球心，为球的半径，则，
因为，
解得，
所以球的体积为.
故选：C.
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）在边长为的菱形中，，将绕直线旋转到，使得四面体外接球的表面积为，则此时二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知，和均为正三角形，
设为中点，延长，作交于点，
可得是二面角的平面角，
作的中心，则在上，且，
作，，，可知四面体外接球的球心在上，又，，
在和中，由，，，，解得，，
，二面角的余弦值为
故选：A
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023·高一课时练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
【答案】CD
【详解】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为的中点，，
因为，所以，
则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：
所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.
由斜二测画法可知，的面积是的面积的倍，故B错误.
故选：CD.
10．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
【答案】ABC
【详解】若，，则或，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，，则与相交或，故C错误；
由于，，所以，又，所以，故D正确.
故选：ABC.
11．（2023·全国·高三专题练习）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）
A．沙漏中的细沙体积为
B．沙漏的体积是
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为3 cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒
【答案】AD
【详解】A选项，根据圆锥的截面图可知，圆锥的底面半径，高，
细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，
所以细沙的底面半径，
所以细沙体积，故A正确；
B选项，沙漏可看成是两个完全相同的圆锥组成，因此沙漏的体积，故B错误；
C选项，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知，计算可得，故C错误；
D选项，因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，所以该沙漏的一个沙时为秒，即D正确.
故选：AD
12．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”在鳖臑中，，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．点到平面的距离为D．内切球的半径为
【答案】ACD
【详解】由题意可设直三棱柱为，，,
平面,故平面,
平面,故；又因为,
所以的中点O即为的外接球的球心，
设外接球的半径为，则，得，
在中，,
故,即，而，
所以，
鳖臑的体积，
当且仅当时，取得等号，故，故A项正确，B项错误
因为三棱柱为直三棱柱，故平面，
所以点到平面的距离为，故C项正确
设的内切球半径为，由题意知三棱锥的四个侧面皆为直角三角形，
由等体积法，
而,,
得，所以，故D项正确,
故选：ACD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）
13．（2023·高一课时练习）在正方体中，与对角线异面的棱共有______条．
【答案】6
【详解】与对角线异面的棱有：，共6条.
故答案为：6.
14．（2023·高一课时练习）一个透明密闭正方体容器恰好盛有该容器一半体积的水，任意转动这个正方体，则水面的形状可能是______．（①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形）
【答案】②③④⑤
【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．
过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图（1）；
过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图（2）；
过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图（3）；
过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图（4）．
至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，
故答案为：②③④⑤．
15．（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______.
【答案】
【详解】连接，，，如图所示：
在正方体中，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，且，
所以平面平面.
因为与平面无公共点，所以平面，
当时，取得最小值.
因为
所以的最小值为.
故答案为：
16．（2023·全国·高二专题练习）“粽子香，香厨房.艾叶香，香满堂.桃枝插在大门上，出门一望麦儿黄，这儿端阳，那儿端阳，处处都端阳.”这是流传甚广的一首描写过端午节的民谣.同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图（2）的“粽子”，则该“粽子”的体积为______；若在该“粽子”内放入一个“肉丸”，“肉丸”的形状可近似地看成球，则该“肉丸”的体积的最大值为______.
【答案】
【详解】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，
如图，在棱长为1的正四面体中，
取的中点，连接，，作平面，垂足在上，
则，，，
则该六面体的体积为
当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为，且该球与相切，
过球心作，则就是球的半径，
因为，所以球的半径，
所以该球的体积为
故答案为:,
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
17．（2023·全国·高一专题练习）如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面．
（2）连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面．
18．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）平面，平面，；
四边形为正方形，；
平面，，平面，又平面，；
分别为的中点，，.
（2）四边形为正方形，且分别为，边的中点，，面，面，面，
由（1）知，面，面，面，又，平面平面．
19．（2023·江西南昌·统考一模）已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）连接AC交BD于点，连接，
在直四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形，即，，
又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因为上底面为菱形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，，
且点为BD的中点，所以，即，
所以．
20．（2023·高一单元测试）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.
(1)求直线与平面所成角正弦值；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）平面，平面，，；
是圆的直径，，又，平面，
平面，即为直线与平面所成角，
，，，又，
，即直线与平面所成角的正弦值为.
（2）
过作，垂足为，
由（1）得：平面，平面，平面平面，
又平面平面，平面，，平面，
，，
根据等面积法知：，，
即到平面的距离等于.
21．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：，且为中点， ．
又三棱柱中平面，平面，，
，平面，平面，
平面，．
∵，∴由直角三角形可得，
，即，
又∵，平面，平面.
（2）过作，连结，由（1）知，，
又，平面，平面．
平面， ．
又， ，平面，平面，
∵平面，，就是二面角的平面角.
在直角三角形中，，
∵，∴，
在直角三角形中，.
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点F为棱的中点.
(1)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
【答案】(1)在棱上存在点E，使得平面，点E为棱的中点
(2)60°
【详解】（1）在棱上存在点E，使得∥平面，
证明如下：取棱的中点E，取的中点Q，连接，，
且，，且
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴.∥平面.
（2）设，∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.
连接，则就是直线与平面所成的角.
由题意得，为等边三角形.
过B作于H，则H为的中点，平面，∴，又，∴平面.
过H作于G，连接，∴，
∵，∴平面，∵平面，∴，∴就是二面角的平面角.
∵，∴，
易得，∴.
∵，
∴，∴，
∴，
∴，即直线与平面所成的角为60°.