福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

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命题：福清融城中学 林江平 林厚栋
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列求导数的运算中正确的是（ ）
A. B.
C D.
3. 双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列满足，，则数列前2023项的积为（ ）
A. 2B. 3C. D.
6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆左右焦点分别是，，过的直线与相交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上投影向量为
10. 已知过点的直线和圆：，则（ ）
A. 直线与圆相交
B. 直线被圆截得最短弦长为
C. 直线与被圆截得的弦长为，的方程为
D. 不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2
11. 数列的前项和为，且 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若的首项为1，则为等差数列
B. 若为等差数列，则的公差为2
C.
D.
12. 已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（ ）
A. B. 有最小值4
C. D. A，P，Q三点共线
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 曲线在处切线倾斜角为__________．
14. 请写出满足：直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切的一条直线的方程为___________．（写出一条即可）
15. 我们已经学习了直线方程概念：直线上的每一个点的坐标都是方程的解；反之，方程的解所对应的点都在直线上．同理，空间直角坐标系中，也可得到平面的方程：过点且一个法向量为的平面的方程为．
据上述知识解决问题：建立合适空间直角坐标系，已求得某倾斜墙面所在平面方程为：，若墙面外一点P的坐标为，则点P到平面的距离为________．
16. 已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为________．
四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
18. 在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面成角的正弦值.
19. 已知函数.
（1）求在上的最大值；
（2）若函数恰有三个零点，求的取值范围.
20. 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大正整数．
21. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
22. 已知函数．
（1）判断函数的单调性．
（2）若有两个不相等的实根，且，求证：．