福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二上学期期末数学试题（Word版附答案）

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单选题（本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
二、多选题（本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
14.(写对一个即得分） 15. 16.
解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.解（1）设等差数列的公差为,
由已知得， …………………………3分
解得， ……………………………………………4分
； ……………………………………………5分
………………………………7分
所以
…………………………………………………9分
求得. …………………………………………………10分
18．解（1）证明法1：取的中点,连接,,……………………………1分
依题意可知：且,且…………………2分
所以且,四边形为平行四边形，故，
又,,所以. ………………………6分
M
法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，，，,,
，，……………………………………2分
设平面的法向量，
则，取，得，…………………………………4分
,又，所以…………………………………6分
，

（2）由（1），…………………………………………………………7分
设与平面所成角为，……………………………………………………8分
则， ……………………………………11分
所以与平面所成角的余弦值为.………………………………………12分
备注：若第一步学生用常规方法，第二步按步相应酌情给分.
19.解（1）……………………………………2分
可知时，单调递增，时，单调递减，
时，单调递增，所以……………4分
由，…………………………………………………5分
.……………………………………………………6分
(2) 由（1）知
在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
所以，………………………………9分
因为有三个零点，所以，即，……………………11分
解得，故的取值范围为…………………………………12分
备注：本题第二问中也可以用分离参数来解答，可根据实际情况酌情相应给分.
20.解（1）由,得,则………3分
又,, …………………………………………4分
所以数列是以首项，以为公比的等比数列…………………………5分
由（1）可得 ，
所以 …………………………………………………6分
则…………………………9分
，得，即，……10分
因为，所以满足.
…………………………………………12分
21解（1）设点,依题意得，………………………………2分
整理化简可得：， …………………………………………3分
所以点的轨迹的方程为：. ………………………………………4分
（2）
因为，所以，
又为线段的中点，所以，因此.…………………………5分
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，
联立消去，得，
根据韦达定理可得，…………………………………8分
，……………………………………9分
所以，
整理得，解得或.……………………………………11分
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆轨迹内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为.……………………………………………12分
22.解（1）由题意知，函数的定义域为．
由，得．……………………………………………1分
当时，，所以在上单调递增．…………………………2分
当时，令，得．
当时，；当时，．……………………………3分
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．………………………4分
（2）由（1）可知，且、，
根据题意可得，所以．…………………………………………6分
因为，设，则．
要证，即证，即证．…………………8分
构造函数，易得．
．………………………………………………………10分
构造函数，则，
所以在上单调递增，……………………………………………………11分
所以，所以在上单调递增．
所以当时，，即，所以成立. …………12分1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
A
A
C
B
D
9
10
11
12
AC
ABD
BD
ACD