2022-2023学年福建省福州市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年福建省福州市九年级上学期数学期末试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，其内容丰富题材广泛，以特有的概括和夸张手法将吉事祥物．美好愿望表现得淋漓尽致．下列剪纸的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 太阳绕着地球转B. 在一个标准大气压下，水加热到100℃沸腾
C. 负数大于正数D. 明天下大雨
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的定义得出结论即可．
【详解】解：A选项，太阳绕着地球转是不可能事件，故A选项不符合题意；
B选项，在一个标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件，故B选项不符合题意；
C选项，负数大于正数是不可能事件，故C选项不符合题意；
D选项，明天下大雨是随机事件，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了随机事件的定义，解题的关键是熟练掌握随机事件的定义．
3. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是一元二次方程的实数根，
，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
4. 若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0，
∴此函数的图像在二、四像限，且在每一像限内y随x的增大而增大，
∵y1＜0＜y2＜y3，
∴点（x1，y1）在第四像限，（x2，y2）、（x2，y2）两点均在第二像限，
∴x2＜x3＜x1．
故选D．
5. 下列图象中，是函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】反比例函数的图象是双曲线，根据、的取值来确定函数的图象所在的象限．
【详解】解：函数中的，
该函数图象经过第一、三象限；
又无论取何值，都有，
函数的图象关于轴对称，即它的图象经过第一、二象限．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象．注意，的取值范围是：．
6. 下列图象中，函数与的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据每一选项中a的符号是否相符，逐一判断即可得出结论．
详解】解：A．由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误；
B．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误；
C．由抛物线可知，由直线可知，故本选项正确；
D．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键．
7. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A. a＞0B. b＜0C. c＜0D. a+b+c＞0
【答案】D
【解析】
【详解】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴b＞0；
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
又x=1，对应的函数值在x轴上方，
即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0；
所以A，B，C选项都错，D选项正确．
故选D．
8. 如图，的弦，且于，连接，若，则的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，，，利用圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系可以求出，则有，通过勾股定理求出半径为，最后由周长公式即可求解．
【详解】连接，，，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴的周长为．
【点睛】此题考查了勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
9. 如图：是的直径，是弦，过弧的中点P作弦，交于D，交于E，则下面关系不成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据垂径定理可得，，从而可得，进而利用同角的余角相等可得，然后根据等弧所对的圆周角相等可得，从而可得，即可判断A；利用等式的性质可得，从而可得，即可判断B；利用两角相等的两个三角形相似可得，然后利用相似三角形的性质即可判断C；连接，，证明8字模型相似三角形，然后利用相似三角形的性质即可判断D．
【详解】解：连接，，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∴，
∴，
∴， 故A不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴， 故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴ ，
∴， 故C不符合题意；
连接，，

∵，，
∴，
∴，
∴， 故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10. 已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①；②当时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形为平行四边形时，；④若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3，其中正确的是（ ）
A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，即可判断③正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，判断出④正确．
【详解】解：点，的坐标分别为和，
线段与轴的交点坐标为，
又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
，顶点在轴上时取“”，故①正确；
抛物线顶点在线段上运动，开口向上，
当时，一定有随的增大而增大，故②错误；
令，则，
，
根据顶点坐标公式，，
，即，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得，故③正确；
若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则，
抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3，
点的横坐标最大值为3，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在轴上的情况．
二、填空题（每题4分，共6题，共24分）
11. 设，是一元一次方程的两根，____________．
【答案】5
【解析】
【分析】由题意易得，则根据一元二次方程根与系数的关系可知，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的解可得，根据一元二次方程根与系数的关系可知，
∴；
故答案为5．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
12. 已知，且与的面积比为9∶4，若，则________．
【答案】##2厘米
【解析】
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵，与的面积的比为9∶4，
∴和的相似比为3∶2，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
13. 在一个不透明的盒子中装有黄色和白色乒乓球共个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在，则估计盒子中白色乒乓球有______________个．
【答案】
【解析】
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】因为通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在，
所以摸到白球的概率约为，
所以白球有，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14. 如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm．
【答案】6
【解析】
【分析】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC=BC=AB=8，然后根据勾股定理计算OC的长．
【详解】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，OC==6（cm）．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
15. 如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，矩形ABCD绕它的对称中心O旋转一周，边AD扫过的面积是______cm2．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，根据题意可知所求面积为以为半径的的面积减去以为半径的的面积，据此即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
四边形是矩形，AB＝8cm，AD＝6cm，
，
cm，
，
cm，
边AD扫过的面积是cm2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，圆的面积公式，理解题意是解题的关键．
16. 如图，一次函数的图象与轴交于两点，与反比例的图象交于两点，分别过两点作轴的垂线，垂足为，连接，有下列结论：①与面积相等；②；③；④．中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】设点D的坐标为（，），则F（，0），根据三角形面积公式得到S△DFE＝S△CEF＝k，再根据面积相等的两个三角形若同底，则它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF；要判断△DCE≌△CDF，则四边形CEFD为等腰梯形，△OAB为等腰直角三角形，而a的值不确定，所以△DCE和△CDF不一定全等；易得四边形ACEF，四边形BDFE都是平行四边形，则AC＝EF＝BD，所以BD＝AC．
【详解】解：设点D的坐标为（，），则F（x，0）．
∵由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S△DFE＝DF•OF＝••＝，
同理可得S△CEF＝，
∴S△DEF＝S△CEF，故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
∴AC＝EF＝BD，
∴BD＝AC，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的满足其解析式；熟练由运用三角形面积公式和平行四边形的判定与性质解决线段相等的关键．
三、解答题（共9题，共86分）
17. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
∴或
解得，；
【小问2详解】
∴或
解得
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18. 已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）令 则 计算判别式即可得出结论．
（2）根据题意求得抛物线的对称轴，进而根据自变量的取值范围求得最小值与最大值即可求解．
【小问1详解】
解：令 则



＞0
方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；
【小问2详解】
函数的图象与y轴交于点（0，3）．


抛物线的解析式为：

抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为
当时，
当时，
当0＜x＜5时，y的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
19. 如图，中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点恰好为的中点．
（1）求出旋转角的度数；
（2）求出的度数和的长．
【答案】（1）旋转角度是
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可知对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以可求出: , 从而确定旋转角度；
（2）利用周角的定义可求出, 全等的性质可知．
【小问1详解】
根据旋转的性质可知：，
∴旋转角度是．
【小问2详解】
由旋转可知：，
∴，，，
∴．
∵为的中点，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
20. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用两角对应相等，证明两个三角形相似，即可得△ADF∽△DEC.
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.
【小问1详解】
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC
∵
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
【小问2详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：，
所以AE的长为6．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、 平行四边形的性质和勾股定理，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键．
21. 如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；
（2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴长．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在反比例函数的图像上．
（1）求k的值；
（2）过点A作轴于点B，轴于点C，点D在第四象限的函数图像上，连接OD、CD，若，求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可得到答案；
（2）设，可得，再利用面积建立方程，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
【小问2详解】
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∵在反比例函数上，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，坐标与图形面积，熟练的利用面积建立方程求解是解本题的关键．
23. 保护环境，人人有责，某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”､“趣味问答”､“模拟投放”三项活动（分别以、、来依次表示这三项活动）．活动开始前，将，，这三个字母分别写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小南同学先从中随机抽取一张卡片放回后洗匀，小晶同学从中再随机抽取一张卡片．
（1）求小南抽到参加“趣味问答”活动概率；
（2）用列表法或画树状图法，求小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：依题意知抽到参加“趣味问答”的概率为；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的结果有1种，
小南和小晶都抽到参加“趣味问答”活动的概率为．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
24. 为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝−10x＋500．
（1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【答案】（1）560元 （2）30元 （3）480元
【解析】
【分析】（1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题．
（2）利用二次函数的性质即可解答问题．
（3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题．
【小问1详解】
当x=22时，y=﹣10x+500=﹣10×22+500=280，
280×（12﹣10）=280×2=560元，
即政府这个月为他承担的总差价为560元；
小问2详解】
由题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000．
∵a=﹣10＜0，
∴当x=30时，W有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元；
【小问3详解】
由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当20≤x≤40时，3000≤x≤4000．
又∵x≤26，
∴当20≤x≤26时，w≥3000，设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=26时，p有最小值480元．
即销售单价定为26元时，政府每个月为他承担的总差价最少为480元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或（3，4）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【小问1详解】
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
【小问3详解】
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．