2022-2023学年福建省福州市闽侯县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年福建省福州市闽侯县九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
2. 二次函数图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，
∴b＜0，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，
∵，∴，
整理即得：，故③正确；
∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
4. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，由旋转90°可知，△OPA≌△OP′B，则P′B=PA=3，BO=OA=2，由此确定点P′的坐标．
【详解】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，
∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，
∴∠POP′=∠AOB=90°，
∴∠AOP=∠P′OB，且OP=OP′，∠PAO=∠P′BO=90°，
∴△OAP≌△OBP′，
∴P′B=PA=3，BO=OA=2，
∴P′(3，-2)，
故选D．
【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形．
5. 平面内，的半径为，点到的距离为，过点可作的切线条数为（ ）
A. 条B. 条C. 条D. 无数条
【答案】C
【解析】
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为，
，
点与的位置关系是：在外，
过圆外一点可以作圆的条切线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有个公共点的直线，理解定义是关键．
6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A. B. 2C. 2D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键
7. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可．
【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性=；
第二个袋子摸到红球的可能性=；
第三个袋子摸到红球的可能性=；
第四个袋子摸到红球的可能性=．
故选：D．
【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中．
8. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为7的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率．
【详解】列表如下：
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为7的结果数为6，故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是：
故选：B．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
9. 如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
设，则有，
∵，
∴由勾股定理可得，
∵的面积为5，
∴，
∵，
∴，即，化简得：，
解得：或，
当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去；
∴当时，即，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
10. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，且，
∵，，，
∴点A到对称轴直线的距离为，
点B到对称轴直线的距离为，
点C到对称轴直线的距离为，
∵，
∴，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为________m．
【答案】10
【解析】
【分析】推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：当时，
解得：（不合题意，舍去），
则铅球推出的距离为是10m
故答案为：10
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
12. 已知正六边形的边长为4，则它的内切圆的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴OG=OA•sin60°=4×=2，
∴边长为4的正六边形的内切圆的半径为：2．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆以及特殊角的三角函数值，正确应用正六边形的性质是解题关键．
13. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
【详解】∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=﹥0，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
14. 用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，列出方程求解即可得．
【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：，
∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π
设圆锥的底面圆的半径为r，则：
，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．
15. 对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．
【答案】-3或4
【解析】
分析】利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】根据题意得，，
，
，
或，
所以．
故答案为或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
16. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数“左加右减、上加下减”的平移规律即可得答案．
【详解】∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式是=，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：“左加右减，上加下减”，并用规律求函数解析式．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图，抛物线的顶点为C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与轴交点为，求．
【答案】（1）y=-x2+2x+8；
（2）S△BCD=6．
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，把点(4，0)代入可求得a=-1，据此即可求解；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，利用S△BCD= S梯形OBCE-S△ECD-S△OBD计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点为C(1，9)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，
∵抛物线与x轴交于点B(4，0)，
∴a(4-1)2+9=0，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+9=-x2+2x+8；
【小问2详解】
解：过点C作CE⊥y轴于点E，
∵抛物线与y轴交点为D，
∴D(0，8)，
∵B(4，0)，C(1，9)，
∴CE=1，OE=9，OD=8，OB=4，
∴S△BCD= S梯形OBCE-S△ECD-S△OBD
=(1+4)×9-×1×1-×4×8
=6．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
18. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【答案】(1) 第3档次；(2) 第5档次
【解析】
【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第3档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，则第x档次每件利润为：10+2（x-1）=（2x+8）元，生产的件数为：76-4（x-1）=（80-4x）
总利润：（2x+8）×（80﹣4x）=1080，
整理得：x2﹣16x+55=0，
解得：x1=5，x2=11（舍去）．
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．
【点睛】考点：一元二次方程的应用．
19. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）与关于原点O对称，画出并写出点的坐标；
（2）是绕原点O顺时针旋转得到的，画出并写出点的坐标．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点、、的位置，顺次连接各点即可画得图形及求得点的坐标；
(2)根据网格结构找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转得到的对称点、、的位置，顺次连接各点即可画得图形及求得点的坐标．
【小问1详解】
解：如图：即为所求，
点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图：即为所求，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了利用旋转变换及中心对称作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
20. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于点P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠CAP.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】首先连接BM，根据同弧所对圆周角相等，即可得∠C=∠M，由AM为⊙O的直径，根据圆周角定理，即可得∠ABM=90°，又由AP⊥BC，利用等角的余角相等，即可证得∠BAM=∠CAP．
【详解】证明：
AM为⊙O的直径，



【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．
21. 为了创建文明城市，增弘环保意识，某班随机抽取了8名学生（分别为A，B，C，D，E，F，G，H），进行垃圾分类投放检测，检测结果如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，
（1）检测结果中，有几名学生正确投放了至少三类垃圾？请列举出这几名学生．
（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．
【答案】（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学；（2）．
【解析】
【分析】（1）从表格中，找出正确投放了至少三类垃圾的同学即可；
（2））“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“有A同学”的结果数，进而求出概率．
【详解】解：（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学，
（2）“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，从中抽出2人所有可能出现的结果如下：
共有20种可能出现的结果数，其中抽到A的有8种，
因此，抽到学生A的概率为．
【点睛】本题考查的知识点是概率，理解题意，利用列表法求解比较简单．
22. 正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标为4．
（1）求m的值；
（2）请结合图象求关于x的不等式2x≤的解集．
【答案】（1）8；（2）x≤﹣2或0＜x≤2
【解析】
【分析】(1)先利用正比例函数解析式确定一个交点坐标，然后把交点坐标代入y＝中可求出m值；
(2)利用正比例函数和反比例函数的性质得到正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图的另一个交点坐标为（﹣2，﹣4），然后几何图像写出正比例函数图像不在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：(1)当y＝4时，2x＝4，解得x＝2，则正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图像的一个交点坐标为（2，4），
把(2，4)代入y＝得m＝2×4＝8；
(2)∵正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图像有一个交点坐标为（2，4），
∴正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图的另一个交点坐标为（﹣2，﹣4），如图，
当x≤﹣2或0＜x≤2时，2x≤，
∴关于x的不等式2x≤的解集为x≤﹣2或0＜x≤2．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数与反比例函数的基本性质以及两个函数交点坐标，掌握这几点是解题的关键.
23. 如图，AB为的直径，点C在上，连接AC，BC，过点O作于点D，过点C作的切线交OD的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接AD．若，，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4
【解析】
【分析】（1）连接OC通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E=∠B
（2）连接AD通过计算发现BC=EC，再通过证明△CED≌△ABC得到AC=DC=4．
【详解】（1）证明：连接OC如图：
OD⊥CB
∴OB=OC，∠B=OCD
又CE为圆O的切线
∴OC⊥CE
∴∠ECD+∠DCO=∠ECD+∠E=90°
∴∠E=∠DCO=∠B
∴∠E=∠B
（2）连接AD如图
∵△EDC为Rt△
∴DE==8
由（1）得∠E=∠B
又AB为直径
∴∠BCA=90°
在△CED和△ABC中
∵
∴△CED≌△ABC（AAS）
∴AC=DC==4
∴
【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．
24. 如图，抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接AC，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标；
（3）若点E为线段OC上一动点，试求2AE+EC的最小值．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点D坐标为（﹣，）；（3）4．
【解析】
【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线求出m，即可求出解析式；
（2）过D点作x轴的垂线，交x轴于点H，点D的坐标为（n，n 2+2 n﹣3），易知∠DAB =∠ACO ，利用tan∠DAB＝tan∠ACO即可求得n的值，即可求出D点坐标；
（3）根据B，C坐标求出直线BC的解析式为y=-x-3，故∠BCO=45°，则EF＝EC，AE+EC＝AE+EF，故当A、E、F三点共线时，AE+EC最小，即2AE+EC最小，
根据BC⊥AF可设直线AF的表达式为：y＝x+b，代入A点即可求出直线AF，令x=0，可求出E点坐标，即可求出此时2AE+EC的值.
【详解】解：（1）把点C的坐标代入抛物线表达式得：9+6m+3m＝0，
解得：m＝﹣1，
故该抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）过D点作x轴的垂线，交x轴于点H，过点E作EF⊥BC，交BC于点F，
令y=0，求得A（1,0），B（-3,0）.
设：点D的坐标为（n，n 2+2n﹣3），
∵∠DAB＝∠ACO，
∴tan∠DAB＝tan∠ACO，
即：=，=，
解得：＝或1（舍去m＝1），
故点D的坐标为（，）；
（3）根据B，C坐标求出直线BC的解析式为y=-x-3，
过点E作EF⊥BC，交BC于点F，
则EF＝EC，AE+EC＝AE+EF，
∴当A、E、F三点共线时，AE+EC最小，即2AE+EC最小，
设：直线AF的表达式为：y＝x+b，
将点A坐标（1，0）代入上式，1+b＝0，则b＝﹣1，
则直线AE的表达式为：y＝x﹣1，则点E的坐标为（0，﹣1），
则EC＝3﹣1＝2，AE＝
2AE+EC＝2+2＝4．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据依题意作出辅助线，再解答.
25. 如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点和，连结．
（1）四边形一定是什么四边形；（直接写结果）
（2）四边形可能是矩形吗？若可能，求此时和之间的关系式；若不可能，说明理由；
（3）设是函数图象上的任意两点，，请判断的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）平行四边形；（2）可能，k1k2=1；（3）a＞b，见解析
【解析】
【分析】（1）根据直线和与反比例函数的图像关于原点对称，即可确定；
（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出，两边平分得，整理后得（k1-k2）（k1k2-1）=0，根据k1≠k2，则k1k2-1=0，即可解答；
（3）由（x1， y1），Q（x2，y2）（x2>x1＞0）是函数图像上的任意两点，可得，求出，得到即可解答．
【详解】解：（1）∵直线和与反比例函数的图像关于原点对称，
∴OA=OC,OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）若四边形ABCD是矩形时，OA=OB
设A（x’，y’）， 则y’=k1x’， y’=1/x’得 x’2=
∴OA2 = x’2 + y’2 = + k1，同理OB2= + k2，
∴+ k1 = + k2 ，得（k1 –k2）（- 1）= 0
∵k2 – k1 ≠ 0， ∴– 1 = 0
∴k1k2=1
所以四边形ABCD可以是矩形，此时k1k2=1
（3）∵由（x1， y1），Q（x2，y2）（x2>x1＞0）是函数图像上的任意两点
∴
∴
∵
∵x2 > x1 > 0，
∴（x1 – x2）2 ＞ 0，2x1x2 (x1+ x2) ＞ 0
∴
∴a ＞ b
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、平行四边形的判定、矩形的判定和性质、比较代数式的大小等知识点，灵活应用反比例函数图形上点的坐标的特征是解答本题的关键．1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
学生
垃圾类别
A
B
C
D
E
F
G
H
可回收物
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其他垃圾
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餐厨垃圾
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有害垃圾
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