专题19 动点在二次函数图象中的分类讨论(基础训练)-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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关于二次函数动点问题的解答方法
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于
对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；
【精典例题】
1、如图1，已知抛物线y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x－n(n>0)与x轴交于A，B两点(A点在B点的左边)，与y轴交于点C.
(1)若△ABC为直角三角形，求n的值；
(2)在(1)的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；
(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE∶ED＝1∶4.求n的值．
解：(1)若△ABC为直角三角形，则由Rt△AOC∽Rt△COB可得OC2＝OA·OB，
由抛物线y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x－n(n>0)，可得OC＝n，OA·OB＝2n，
∴n2＝2n，解得n1＝2，n2＝0(舍去)．∴n＝2；
(2)由(1)可知抛物线的对称轴为x＝eq \f(3,2)，抛物线表达式为y＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x－2，
令y＝0，得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，
设点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(1,2)m2－\f(3,2)m－2)).
①如答图①，当直线PQ∥BC时，
当点P在点Q的左侧，
答图①
△BOC平移到△QNP的位置时，四边形PQBC为平行四边形，
此时NQ＝OB，即eq \f(3,2)－m＝4，m＝－eq \f(5,2).
eq \f(1,2)m2－eq \f(3,2)m－2＝eq \f(39,8)，此时点P坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(39,8)))；
当点P在点Q的右侧时，
同理可得m－eq \f(3,2)＝4，解得m＝eq \f(11,2).
eq \f(1,2)m2－eq \f(3,2)m－2＝eq \f(39,8)，
此时点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)，\f(39,8))).
答图②
②当直线PQ与直线BC相交时，如答图②，
此时点P到y轴的距离等于点B到对称轴的距离，
即m＝4－eq \f(3,2)＝eq \f(5,2)，eq \f(1,2)m2－eq \f(3,2)m－2＝－eq \f(21,8)，此时点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(21,8))).
综上所述，满足条件的点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(39,8)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)，\f(39,8)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(21,8)))；
答图③
(3)如答图③，过点D作DF⊥x轴，垂足为F.
则AO∶OF＝AE∶ED＝1∶4，
设A(a，0)，B(b，0)，则AO＝－a，OF＝－4a，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠OBC，
∵∠AFD＝∠BOC＝90°，∴△BOC∽△AFD，
∴eq \f(OC,DF)＝eq \f(BO,AF)，即eq \f(n,DF)＝eq \f(b,－4a－a)，
由题意得ab＝－2n，∴eq \f(n,b)＝－eq \f(a,2)，
∴DF＝－5a·eq \f(n,b)＝－5a·(－eq \f(a,2))＝eq \f(5,2)a2，
∵点A，D在抛物线上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a2－\f(3,2)a－n＝0，,\f(1,2)×16a2－\f(3,2)×（－4a）－n＝\f(5,2)a2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(3,2)，,n＝\f(27,8)，))∴n的值为eq \f(27,8).
2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝(x－a)(x－3)(0