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人教版八年级数学下册 专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（原卷版+解析）
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这是一份人教版八年级数学下册 专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（原卷版+解析），共32页。试卷主要包含了平移，旋转，对称等内容，欢迎下载使用。
1．(2023秋•南京期末）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+5D．y＝﹣2x+7
2．(2023秋•埇桥区期中）将直线y＝x+1向上平移5个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴
C．点（﹣2，4）在函数图象上 D．y随x的增大而增大
3．(2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=33x+1与直线l2：y=3x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（ ）
A．（32）nB．（12）n+1C．（32）n﹣1+12D．3n−12
4．(2023•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．5B．52C．10D．102
5．(2023秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；
（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．
类型二 旋转
7．(2023•碑林区二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣5
8．(2023•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（ ）
A． B．C．D．
9．(2023秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）
10．(2023秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）
11．(2023秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（ ）
A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−8
12．(2023•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
13．(2023•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为 ．
14．(2023春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q的坐标为 ．
15．(2023秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
类型三 对称
16．(2023秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣3
17．已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（ ）
A． B．C．D．
18．(2023秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
19．(2023秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（ ）
A．313B．35C．53D．133
20．(2023春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为 ．
21．已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为 ．
22．(2023•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为 ．
23．(2023秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 ．
24．(2023秋•沙坪坝区期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．
（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；
（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．
25．(2023秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的[l1，l2]伴随图形．
例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为 ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．
①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为 ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．
专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（解析版）
类型一 平移
1．(2023秋•南京期末）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+5D．y＝﹣2x+7
思路引领：直接利用一次函数平移规律“上加下减”进而得出即可．
解：∵将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y＝﹣2x+3+2，
即y＝﹣2x+5．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
2．(2023秋•埇桥区期中）将直线y＝x+1向上平移5个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限
B．函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴
C．点（﹣2，4）在函数图象上
D．y随x的增大而增大
思路引领：利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
解：将直线y＝x+1向上平移5个单位长度后得到直线y＝x+1+5，即y＝x+6，
A、直线y＝x+6经过第一、二、三象限，故不符合题意；
B、直线y＝x+6与x轴交于（﹣6，0），即与x轴交于正半轴，故符合题意；
C、当x＝﹣2时，y＝﹣2+6＝4，即点（﹣2，4）在函数图象上，故不符合题意；
D、直线y＝x+6中，a＝1＞0，则y随x的增大而增大，故不符合题意．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
3．(2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=33x+1与直线l2：y=3x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（ ）
A．（32）nB．（12）n+1C．（32）n﹣1+12D．3n−12
思路引领：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x=32，y=32，故A1（32，32），依次求出：点A2的纵坐标为94、A3的纵坐标为278，即可求解．
解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x=32，y=32，故A1（32，32）；
则点B1（32，0），则直线B1A2的表达式为：y=3x+b，
将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3=3x−32，
将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x=534，y=94，即点A2的纵坐标为94；
同理可得A3的纵坐标为278，
…按此规律，则点An的纵坐标为（32）n，
故选：A．
总结提升：本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．
4．(2023•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．5B．52C．10D．102
思路引领：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A；当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD＝6﹣1＝5，当直线经过D点，设直线交BC于N，则DN＝2，作DM⊥BC于点M，利用勾股定理可求得DM，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
解：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD＝6﹣1＝5，
设直线经过点D时，交BC于N，则DN＝2，作DM⊥BC于点M，如图所示：
∵移动直线为y＝x，
∴∠NDM＝45°，
∵∠DMN＝90°，
∴∠DNM＝90°﹣45°＝45°，
∴∠NDM＝∠DNM，
∴DM＝NM，
∴2DM2＝DN2＝4，
∴DM=2或DM=−2（舍去），
∴平行四边形ABCD的面积为：AD×DM＝5×2=52，故B正确．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根据函数图象确定AD的长，是解答本题的关键．
5．(2023秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
思路引领：直接利用关于x轴对称点的性质得出P′点坐标，再求出k的值，再利用一次函数平移的性质得出答案．
解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，
∴P′（1，﹣2），
∵P'在直线y＝kx+3上，
∴﹣2＝k+3，
解得：k＝﹣5，
∴y＝﹣5x+3，
∴把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y＝﹣5x+5，
故答案为：y＝﹣5x+5．
总结提升：此题主要考查了一次函数图形与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；
（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．
思路引领：（1）先根据y＝kx+b与直线y＝2x平行求出k的值，再根据坐标轴围成的三角形的面积为4求出b的值即可．
（2）根据一次函数的图象经过原点时即为正比例函数解答．
（3）根据关于y轴对称的直线的解析式的特点解答即可．
解：由题意得，（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝2x平行，
∴k＝2，（1分）
设此一次函数的解析式为：y＝2x+b，
图象与x、y轴的交点坐标分别为：（−b2，0），（0，b），
∵图象与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×|−b2||b|＝4，解得，b＝±4，
∴y＝2x+4或y＝2x﹣4．
（2）当y＝2x+4时，向下平移4各单位长度；
当y＝2x﹣4时，向上平移4个单位长度．
（3）∵关于y轴对称的直线纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴当y＝2x+4时，关于y轴对称的直线的解析式为：y＝﹣2x+4；
当y＝2x﹣4时，关于y轴对称的直线的解析式为：y＝﹣2x﹣4．
总结提升：考查了两条直线相交或平行问题，此题比较简单，解答此题的关键是熟知两直线平行时系数k的关系，一次函数与正比例函数的关系及关于y轴对称的直线解析式的特点．
类型二 旋转
7．(2023•碑林区校级二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣5
思路引领：分别令x＝0、y＝0，可得出直线y＝x+1与y轴、x轴的交点坐标，找出该两点绕点（2，0）旋转180°后的坐标，设旋转后所得直线的表达式为y＝kx+b，结合点的坐标利用待定系数法即可得出结论．
解：令x＝0，则y＝1，即直线y＝x+1与y轴交点为（0，1）；
令y＝0，则x＝﹣1，即直线y＝x+1与x轴交点为（﹣1，0）．
点（0，1）绕点（2，0）旋转180°变为（4，﹣1）；点（﹣1，0）绕点（1，0）旋转180°变为（5，0）．
设旋转后所得直线的表达式为y＝kx+b，
则有−1=4k+b0=5k+b，
解得：k=1b=−5．
故旋转后所得直线的表达式为y＝x﹣5．
故选：D．
总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是找出直线与y轴、x轴的交点坐标绕点（1，0）旋转180°后的新坐标，再利用待定系数法即可得出旋转后的函数解析式．
8．(2023•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象与直线y＝﹣x平行且经过点（1，1）．
解：设旋转后直线方程为y＝kx+b．
∵直线y＝kx+b与直线y＝x垂直，直线y＝﹣x与直线y＝x垂直，
∴直线y＝kx+b与直线y＝﹣x平行．
∴直线y＝kx+b中的k＝﹣1，即y＝﹣x+b．
又∵（1，1）在直线y＝x上，且是旋转中心，
∴直线y＝﹣x+b经过点（1，1）．
∴1＝﹣1+b，
∴b＝2．
∴将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数为y＝﹣x+2．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了一次函数图象的几何变换，根据题意得到直线y＝kx+b与直线y＝﹣x平行是解题的突破口．
9．(2023秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）
思路引领：根据一次函数y＝3x+12的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，得到A（﹣4，0），B（0，12），得到AO＝4，BO＝12，过点B'作B'M⊥x轴，根据旋转的性质得到△BAO≌△AB'M，得到AO＝B'M＝4，AM＝OB＝12＝OA+OM＝4+OM，结合点在第四象限判断即可．
解：因为一次函数y＝3x+12的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
所以A（﹣4，0），B（0，12），
所以AO＝4，BO＝12，
过点B'作B'M⊥x轴，
根据旋转的性质得到△BAO≌△AB'M，
所以AO＝B'M＝4，AM＝OB＝12＝OA+OM＝4+OM，
所以OM＝8．
因为点B'位于第四象限，
所以其坐标为（8，﹣4），
故选：A．
总结提升：本题考查了一次函数与旋转的关系，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．(2023秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）
思路引领：设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，通过三角形全等即可求得B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，得到B′的坐标，进而全等直线AB′，进一步全等C点的坐标．
解：如图，设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，
∵直线y=−43x+4分别与x轴y轴交于点A和点B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴B′D＝OA＝3，AD＝OB＝4，
∵AB⊥AC，
∴∠OAB+∠DAB′＝90°＝∠OAB+∠OBA，
∴∠DAB′＝∠OBA，
∵AB＝B′A，
∵∠ADB′＝∠BOA＝90°，
∴△AOB≌△DB′A（AAS），
∴B′D＝OA＝3，AD＝OB＝4，
∴B′（﹣1，﹣3），
∴直线AB′解析式为：y=34x−94，
∴C（0，−94），
故选：B．
总结提升：本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知三角形全等是解题的关键．
11．(2023秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（ ）
A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−8
思路引领：设直线l1与x轴交于A，直线l2与x轴交于B，与y轴交于C，直线l3与y轴交于D，将△BOD绕直线点D逆时针旋转90°得到△EFD，由y＝﹣2x+5得A（2.5，0），根据将直线l1向右平移3个单位得到l2，可得B（5.5，0），直线l2解析式为y＝﹣2x+11，即可得C（0，11），又将l2作关于x轴的对称图形l3，故D（0，﹣11），因将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，故DF＝OD＝11，EF＝OB＝5.5，可得E（﹣11，﹣5.5），设直线l4的解析式为y＝mx﹣11，用待定系数法即有直线l4的解析式为y=−12x﹣11．
解：设直线l1与x轴交于A，直线l2与x轴交于B，与y轴交于C，直线l3与y轴交于D，将△BOD绕直线点D逆时针旋转90°得到△EFD，如图：
在y＝﹣2x+5中，令y＝0得x＝2.5，
∴A（2.5，0），
∵将直线l1向右平移3个单位得到l2，
∴B（5.5，0），且直线l2∥直线l1，
∴直线l2解析式为y＝﹣2x+11，
在y＝﹣2x+11中，令x＝0得y＝11，
∴C（0，11），
∵将l2作关于x轴的对称图形l3，
∴D（0，﹣11），
∵将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，
∴DF＝OD＝11，EF＝OB＝5.5，
∴E到x轴距离为11﹣5.5＝5.5，
∴E（﹣11，﹣5.5），
设直线l4的解析式为y＝mx﹣11，
将E（﹣11，﹣5.5）代入得：﹣5.5＝﹣11m﹣11，
解得m=−12，
∴直线l4的解析式为y=−12x﹣11，
故选：A．
总结提升：本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的性质，求出E的坐标．
12．(2023•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
思路引领：把P点的横坐标代入y＝﹣2x+4求得纵坐标，在坐标系中作出经过点P和点（3，5）的直线以及直线y＝﹣2x+4，观察图象即可判断．
解：观察图象可知，当P的横坐标为2时，P的坐标为（2，0），过点（2，0），（3，5）的直线与直线y＝﹣2x+4的夹角小于45°或大于90°，
故选：D．
总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
13．(2023•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为 ．
思路引领：根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
解：∵一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y=3．
令y＝0，则x=−3，
则A（−3，0），B（0，3），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=(3)2+(3)2=6，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD=6+x，
∴6+x=3x，
解得：x=32+62，
∴AC=2x=2×32+62=3+3．
故答案是：3+3．
总结提升：本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
14．(2023春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q的坐标为 ．
思路引领：将点A的坐标代入y＝2x+b中，求出b的值即可求出直线l1的解析式，然后将x＝8代入直线l1的解析式中，即可求出点B的坐标，最后将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，求出k的值，即可求出直线l2的解析式，过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG⊥FG于G，利用AAS可得△EGQ≌△QFA（AAS），根据全等三角形的性质得EG＝QF，QG＝AF，设Q（a，a﹣1），则AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，点E坐标（2a+4，1），由l1的解析式求出a的值，即可求解．
解：过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG⊥FG于G，
将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，
解得：b＝﹣9，
∴直线l1的解析式为y＝2x﹣9，
将x＝8代入y＝2x﹣9中，
解得：y＝7，
∴点B的坐标为（8，7），
将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得
7＝8k﹣1，
解得：k＝1，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣1，
∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，
∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，
∴∠EQG＝∠QAF，
∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴EQ＝QA，
在△EGQ和△QFA中，
∠G=∠F∠EQG=∠QAFEQ=QA，
∴△EGQ≌△QFA（AAS），
∴EG＝QF，QG＝AF，
设Q（a，a﹣1），
∵A（2，﹣5），
∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，
∴点E坐标（2a+4，1），
把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，
得4a+8﹣9＝1，解得：a=12，
∴点Q的坐标为（12，−12）．
故答案为：（12，−12）．
总结提升：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，等腰直角三角形的性质，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和全等三角形的判定及性质是解题的关键．
15．(2023秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
思路引领：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，可得B（﹣2，2），求出直线AB的解析式，即可解决问题；
（2）过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，求出C（﹣6，2），再由待定系数法求函数的解析式即可；
（3）分两种情况讨论：当Q点AB下方时，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，再由EQ+FQ＝6，求出a＝2（舍）；当Q点在AB上方时，同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，再由EQ+FQ＝6，可求a=143．
解：（1）如图2，过点B作BE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），
∴OC＝2，OA＝4，
∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，
又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴，
∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
在△CEB和△AOC中，
∠BEC=∠AOC∠CBE=∠ACOBC=AC，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，
∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2，
∴B（﹣2，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（4，0），B（﹣2，2），
∴4k+b=0−2k+b=2，
∴k=−13b=43，
∴直线AB的解析式为y=−13x+43，
∵AB与y轴交点D，
∴D（0，43）；
（2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，
∵∠CAB＝45°，
∴BC＝AB，
由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，
∵y＝2x+4与x轴的交点B（﹣2，0），A（0，4），
∴CD＝2，BD＝4，
∴C（﹣6，2），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴−6k+b=2b=4，
解得k=13b=4，
∴y=13x+4；
（3）点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
当Q点AB下方时，如图4，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，
由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，
∴AE＝FQ，EQ＝PF，
∵B（6，4），
∴OA＝4，CO＝6，
∵点Q（a，2a﹣4），
∴EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+8﹣2a＝6，
解得a＝2，
∴Q（2，0），
∵Q点在第一象限，
∴a＝2（舍）；
当Q点在AB上方时，如图5，
同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+2a﹣8＝6，
解得a=143．
综上所述：a的值为143．
总结提升：本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题．
类型三 对称
16．(2023秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣3
思路引领：根据直线y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称的性质求解．
解：∵直线l与直线y＝2x+3关于x轴对称，
∴直线l的解析式为﹣y＝2x+3，
即y＝﹣2x﹣3．
故选：D．
总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b．
17．(2023秋•和平区校级期末）已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：根据关于x轴对称的点的坐标特点求出m、n的值，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
解：∵点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，
∴m+1＝3，n﹣2＝﹣1，
∴m＝2，n＝1，
∴一次函数的解析式为：y＝2x﹣1，
∵2＞0，﹣1＜0，
∴函数图象经过一三四象限．
故选：C．
总结提升：本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
18．(2023秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
思路引领：由点A的坐标及点A，B关于x轴对称，可求出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
解：∵点A的坐标为（﹣2，m），点B与点A关于x轴对称，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣m）．
又∵点B在直线y＝﹣x+1上，
∴﹣m＝﹣1×（﹣2）+1，
∴m＝﹣3．
故选：D．
总结提升：本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题的关键．
19．(2023秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（ ）
A．313B．35C．53D．133
思路引领：由直线y=−23x+4，可得A（6，0），B（0，4），易知OA＝6，OB＝4；连接PP'，交直线AB与点Q，连接BP、AP、BP'，由轴对称的性质可得AB垂直平分PP'，根据垂直平分线的性质可得BP＝BP'，再证明△BPQ≌△AP'Q，由全等三角形的性质可得BP＝AP'；设P（m，4），则BP＝BP'＝AP'＝m，OP'＝6﹣m，由勾股定理可得42+（6﹣m）2＝m2，解得m=133，即可确定点P'的横坐标．
解：对于直线y=−23x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，4），
∴OA＝6，OB＝4，
连接PP'，交直线AB与点Q，连接BP、AP、BP'，如下图，
∵点P与点P'关于直线AB对称，
∴PQ＝P'Q，且PP'⊥AB，
∴BP＝BP'，
∵点P在第一象限内，且纵坐标为4，
∴BP∥x轴，
∴∠BPQ＝∠AP'Q，
又∵PQ＝P'Q，∠BQP＝∠AQP'＝90°，
∴△BPQ≌△AP'Q（ASA），
∴BP＝AP'，
设P（m，4），则BP＝m，
∴BP＝BP'＝AP'＝m，
∴OP'＝OA﹣AP'＝6﹣m，
∴在Rt△OBP'中，OB2+OP'2＝BP'2，
即42+（6﹣m）2＝m2，解得m=133，
∴OP′=6−m=6−133=53，
∴点P'的横坐标为53．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了坐标与图形、一次函数与坐标轴交点、轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
20．(2023春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为 ．
思路引领：根据对称的性质得出两个点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．
解：∵直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，
∵直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴直线L1经过点（3，﹣2），L2经过点（0，﹣4），
把（0，4）和（3，﹣2）代入直线L1经过的解析式y＝kx+b，
则b=43k+b=−2，
解得：k=−2b=4，
故直线L1经过的解析式为：y＝﹣2x+4，
可得L1与L2的交点坐标L1与L2与x轴的交点，解得：x＝2，
即L1与L2的交点坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）．
总结提升：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
21．(2023春•嘉荫县期末）已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为 ．
思路引领：直接根据关于y轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可．
解：∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴直线l1：y＝2x﹣6与直线l2关于y轴对称，则直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣6．
故答案为：y＝﹣2x﹣6．
总结提升：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22．(2023•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为 ．
思路引领：设对称函数上任意一点P（x，y），则P（x，y）点关于y＝x的对称点P'（y，x），由点P'在函数x＝2y+3的图象上，即可求y=12x−32．
解：设对称函数上任意一点P（x，y），
则P（x，y）点关于y＝x的对称点P'（y，x），
∵点P'在函数x＝2y+3的图象上，
∴y=12x−32．
故答案为：y=12x−32．
总结提升：本题考查二次函数图象的几何变换，理解函数图象的几何变换实质是点的变换是解题的关键．
23．(2023秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 ．
思路引领：把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出B、A的坐标，分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，分别求解即可．
解：∵y=34x+6，
∴当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝﹣8，
即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（8，0），
分为三种情况：
①当PB＝PQ时，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
∵∠BPQ＝∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ＝180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
∠AQP=∠BPC∠BAO=∠BCPPB=PQ，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝CB，
∵B（0，6），C（8，0），
∴BC=62+82=10，
∴AP＝10，
∴点P的坐标是（2，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2+OB2，
∴（x+8）2＝x2+62，
解得：x=−74，
即此时P的坐标是（−74，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（−74，0）．
故答案为：（2，0）或（−74，0）．
总结提升：本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
24．(2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．
（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；
（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．
思路引领：（1）将点A坐标代入y1＝x，求出m的值，再将点A坐标代入y2=ax−53中，即可求出a的值，再根据函数解析式画出函数图象即可；
（2）根据点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，可知点C坐标，再根据BD∥x轴，求出点D坐标，再求△CBD的面积即可．
解：（1）∵A（﹣1，m）在函数y1＝x上，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣1），
将A（﹣1，﹣1）代入y2=ax−53中，
得﹣a−53=−1，
解得a=−23，
∴一次函数y2解析式为y2=−23x−53，
图象如图所示：
（2）∵点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，
∴点C（2，4），
∵BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，
将y＝2代入y2=−23x−53，
得x=−112，
∴点D坐标为（−112，2），
∴BD＝4﹣（−112）=192，
∴S△CBD=12×BD×(yC−yB)=12×192×2=192．
总结提升：本题考查了一次函数与几何变换，三角形面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
25．(2023秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的[l1，l2]伴随图形．
例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为 ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．
①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为 ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．
思路引领：（1）根据伴随图形的定义即可得出结论；
（2）①t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），直线m为x＝1，先求出A点关于x轴对称点的坐标，再求出关于直线x＝1对称点的坐标即；
②由题意得，直线m为y＝x，A、B、C三点的[x轴，m]伴随图形点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣3）、（﹣3，t），由题意可得|t|＜0.5或|t﹣3|＜0.5，解出t的取值范围即可．
解：（1）由题意知（﹣3．﹣2）沿x轴翻折得点坐标为（﹣3，2）；
（﹣3，2）沿y轴翻折得点坐标为（3，2），
∴点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）；
（2）①当t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），
∴（﹣1，1）沿x轴翻折得点坐标为（﹣1，﹣1），
∵直线m经过点（1，1），且直线m与y轴平行，
∴直线m为x＝1，
∴（﹣1，﹣1）沿x＝1轴翻折得点坐标为（﹣1，1），
∵直线n经过点（﹣1，﹣1），且直线n与x轴平行，
∴直线n为y＝﹣1，
∴（﹣1，1）沿直线y＝﹣1翻折得点坐标为（3，﹣1），
∴点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）；
②∵直线m经过原点，且经过点（1，1），
∴直线m为y＝x，
A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：（t，﹣1）、（t﹣3，﹣1）、（t，﹣3），
A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣3）、（﹣3，t），
由题意可知：|t|＜0.5或|t﹣3|＜0.5，
解得：﹣0.5＜t＜0.5或2.5＜t＜3.5，
∴：﹣0.5＜t＜0.5或2.5＜t＜3.5，
总结提升：本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确地将翻折后的点坐标表示出来．
1．(2023秋•南京期末）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+5D．y＝﹣2x+7
2．(2023秋•埇桥区期中）将直线y＝x+1向上平移5个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴
C．点（﹣2，4）在函数图象上 D．y随x的增大而增大
3．(2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=33x+1与直线l2：y=3x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（ ）
A．（32）nB．（12）n+1C．（32）n﹣1+12D．3n−12
4．(2023•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．5B．52C．10D．102
5．(2023秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；
（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．
类型二 旋转
7．(2023•碑林区二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣5
8．(2023•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（ ）
A． B．C．D．
9．(2023秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）
10．(2023秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）
11．(2023秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（ ）
A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−8
12．(2023•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
13．(2023•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为 ．
14．(2023春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q的坐标为 ．
15．(2023秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
类型三 对称
16．(2023秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣3
17．已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（ ）
A． B．C．D．
18．(2023秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
19．(2023秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（ ）
A．313B．35C．53D．133
20．(2023春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为 ．
21．已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为 ．
22．(2023•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为 ．
23．(2023秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 ．
24．(2023秋•沙坪坝区期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．
（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；
（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．
25．(2023秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的[l1，l2]伴随图形．
例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为 ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．
①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为 ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．
专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（解析版）
类型一 平移
1．(2023秋•南京期末）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x﹣5C．y＝﹣2x+5D．y＝﹣2x+7
思路引领：直接利用一次函数平移规律“上加下减”进而得出即可．
解：∵将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y＝﹣2x+3+2，
即y＝﹣2x+5．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
2．(2023秋•埇桥区期中）将直线y＝x+1向上平移5个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限
B．函数图象与x轴的交点在x轴的正半轴
C．点（﹣2，4）在函数图象上
D．y随x的增大而增大
思路引领：利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
解：将直线y＝x+1向上平移5个单位长度后得到直线y＝x+1+5，即y＝x+6，
A、直线y＝x+6经过第一、二、三象限，故不符合题意；
B、直线y＝x+6与x轴交于（﹣6，0），即与x轴交于正半轴，故符合题意；
C、当x＝﹣2时，y＝﹣2+6＝4，即点（﹣2，4）在函数图象上，故不符合题意；
D、直线y＝x+6中，a＝1＞0，则y随x的增大而增大，故不符合题意．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
3．(2023•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=33x+1与直线l2：y=3x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点An的纵坐标为（ ）
A．（32）nB．（12）n+1C．（32）n﹣1+12D．3n−12
思路引领：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x=32，y=32，故A1（32，32），依次求出：点A2的纵坐标为94、A3的纵坐标为278，即可求解．
解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x=32，y=32，故A1（32，32）；
则点B1（32，0），则直线B1A2的表达式为：y=3x+b，
将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3=3x−32，
将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x=534，y=94，即点A2的纵坐标为94；
同理可得A3的纵坐标为278，
…按此规律，则点An的纵坐标为（32）n，
故选：A．
总结提升：本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系．
4．(2023•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．5B．52C．10D．102
思路引领：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A；当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD＝6﹣1＝5，当直线经过D点，设直线交BC于N，则DN＝2，作DM⊥BC于点M，利用勾股定理可求得DM，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
解：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD＝6﹣1＝5，
设直线经过点D时，交BC于N，则DN＝2，作DM⊥BC于点M，如图所示：
∵移动直线为y＝x，
∴∠NDM＝45°，
∵∠DMN＝90°，
∴∠DNM＝90°﹣45°＝45°，
∴∠NDM＝∠DNM，
∴DM＝NM，
∴2DM2＝DN2＝4，
∴DM=2或DM=−2（舍去），
∴平行四边形ABCD的面积为：AD×DM＝5×2=52，故B正确．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根据函数图象确定AD的长，是解答本题的关键．
5．(2023秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
思路引领：直接利用关于x轴对称点的性质得出P′点坐标，再求出k的值，再利用一次函数平移的性质得出答案．
解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，
∴P′（1，﹣2），
∵P'在直线y＝kx+3上，
∴﹣2＝k+3，
解得：k＝﹣5，
∴y＝﹣5x+3，
∴把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y＝﹣5x+5，
故答案为：y＝﹣5x+5．
总结提升：此题主要考查了一次函数图形与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．
（1）求直线l1的解析式；
（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；
（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．
思路引领：（1）先根据y＝kx+b与直线y＝2x平行求出k的值，再根据坐标轴围成的三角形的面积为4求出b的值即可．
（2）根据一次函数的图象经过原点时即为正比例函数解答．
（3）根据关于y轴对称的直线的解析式的特点解答即可．
解：由题意得，（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝2x平行，
∴k＝2，（1分）
设此一次函数的解析式为：y＝2x+b，
图象与x、y轴的交点坐标分别为：（−b2，0），（0，b），
∵图象与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×|−b2||b|＝4，解得，b＝±4，
∴y＝2x+4或y＝2x﹣4．
（2）当y＝2x+4时，向下平移4各单位长度；
当y＝2x﹣4时，向上平移4个单位长度．
（3）∵关于y轴对称的直线纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴当y＝2x+4时，关于y轴对称的直线的解析式为：y＝﹣2x+4；
当y＝2x﹣4时，关于y轴对称的直线的解析式为：y＝﹣2x﹣4．
总结提升：考查了两条直线相交或平行问题，此题比较简单，解答此题的关键是熟知两直线平行时系数k的关系，一次函数与正比例函数的关系及关于y轴对称的直线解析式的特点．
类型二 旋转
7．(2023•碑林区校级二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣5
思路引领：分别令x＝0、y＝0，可得出直线y＝x+1与y轴、x轴的交点坐标，找出该两点绕点（2，0）旋转180°后的坐标，设旋转后所得直线的表达式为y＝kx+b，结合点的坐标利用待定系数法即可得出结论．
解：令x＝0，则y＝1，即直线y＝x+1与y轴交点为（0，1）；
令y＝0，则x＝﹣1，即直线y＝x+1与x轴交点为（﹣1，0）．
点（0，1）绕点（2，0）旋转180°变为（4，﹣1）；点（﹣1，0）绕点（1，0）旋转180°变为（5，0）．
设旋转后所得直线的表达式为y＝kx+b，
则有−1=4k+b0=5k+b，
解得：k=1b=−5．
故旋转后所得直线的表达式为y＝x﹣5．
故选：D．
总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是找出直线与y轴、x轴的交点坐标绕点（1，0）旋转180°后的新坐标，再利用待定系数法即可得出旋转后的函数解析式．
8．(2023•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象与直线y＝﹣x平行且经过点（1，1）．
解：设旋转后直线方程为y＝kx+b．
∵直线y＝kx+b与直线y＝x垂直，直线y＝﹣x与直线y＝x垂直，
∴直线y＝kx+b与直线y＝﹣x平行．
∴直线y＝kx+b中的k＝﹣1，即y＝﹣x+b．
又∵（1，1）在直线y＝x上，且是旋转中心，
∴直线y＝﹣x+b经过点（1，1）．
∴1＝﹣1+b，
∴b＝2．
∴将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数为y＝﹣x+2．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了一次函数图象的几何变换，根据题意得到直线y＝kx+b与直线y＝﹣x平行是解题的突破口．
9．(2023秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）
思路引领：根据一次函数y＝3x+12的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，得到A（﹣4，0），B（0，12），得到AO＝4，BO＝12，过点B'作B'M⊥x轴，根据旋转的性质得到△BAO≌△AB'M，得到AO＝B'M＝4，AM＝OB＝12＝OA+OM＝4+OM，结合点在第四象限判断即可．
解：因为一次函数y＝3x+12的图像与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
所以A（﹣4，0），B（0，12），
所以AO＝4，BO＝12，
过点B'作B'M⊥x轴，
根据旋转的性质得到△BAO≌△AB'M，
所以AO＝B'M＝4，AM＝OB＝12＝OA+OM＝4+OM，
所以OM＝8．
因为点B'位于第四象限，
所以其坐标为（8，﹣4），
故选：A．
总结提升：本题考查了一次函数与旋转的关系，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．(2023秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）
思路引领：设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，通过三角形全等即可求得B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，得到B′的坐标，进而全等直线AB′，进一步全等C点的坐标．
解：如图，设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，
∵直线y=−43x+4分别与x轴y轴交于点A和点B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴B′D＝OA＝3，AD＝OB＝4，
∵AB⊥AC，
∴∠OAB+∠DAB′＝90°＝∠OAB+∠OBA，
∴∠DAB′＝∠OBA，
∵AB＝B′A，
∵∠ADB′＝∠BOA＝90°，
∴△AOB≌△DB′A（AAS），
∴B′D＝OA＝3，AD＝OB＝4，
∴B′（﹣1，﹣3），
∴直线AB′解析式为：y=34x−94，
∴C（0，−94），
故选：B．
总结提升：本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知三角形全等是解题的关键．
11．(2023秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（ ）
A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−8
思路引领：设直线l1与x轴交于A，直线l2与x轴交于B，与y轴交于C，直线l3与y轴交于D，将△BOD绕直线点D逆时针旋转90°得到△EFD，由y＝﹣2x+5得A（2.5，0），根据将直线l1向右平移3个单位得到l2，可得B（5.5，0），直线l2解析式为y＝﹣2x+11，即可得C（0，11），又将l2作关于x轴的对称图形l3，故D（0，﹣11），因将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，故DF＝OD＝11，EF＝OB＝5.5，可得E（﹣11，﹣5.5），设直线l4的解析式为y＝mx﹣11，用待定系数法即有直线l4的解析式为y=−12x﹣11．
解：设直线l1与x轴交于A，直线l2与x轴交于B，与y轴交于C，直线l3与y轴交于D，将△BOD绕直线点D逆时针旋转90°得到△EFD，如图：
在y＝﹣2x+5中，令y＝0得x＝2.5，
∴A（2.5，0），
∵将直线l1向右平移3个单位得到l2，
∴B（5.5，0），且直线l2∥直线l1，
∴直线l2解析式为y＝﹣2x+11，
在y＝﹣2x+11中，令x＝0得y＝11，
∴C（0，11），
∵将l2作关于x轴的对称图形l3，
∴D（0，﹣11），
∵将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，
∴DF＝OD＝11，EF＝OB＝5.5，
∴E到x轴距离为11﹣5.5＝5.5，
∴E（﹣11，﹣5.5），
设直线l4的解析式为y＝mx﹣11，
将E（﹣11，﹣5.5）代入得：﹣5.5＝﹣11m﹣11，
解得m=−12，
∴直线l4的解析式为y=−12x﹣11，
故选：A．
总结提升：本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的性质，求出E的坐标．
12．(2023•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
思路引领：把P点的横坐标代入y＝﹣2x+4求得纵坐标，在坐标系中作出经过点P和点（3，5）的直线以及直线y＝﹣2x+4，观察图象即可判断．
解：观察图象可知，当P的横坐标为2时，P的坐标为（2，0），过点（2，0），（3，5）的直线与直线y＝﹣2x+4的夹角小于45°或大于90°，
故选：D．
总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
13．(2023•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为 ．
思路引领：根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
解：∵一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y=3．
令y＝0，则x=−3，
则A（−3，0），B（0，3），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=(3)2+(3)2=6，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD=6+x，
∴6+x=3x，
解得：x=32+62，
∴AC=2x=2×32+62=3+3．
故答案是：3+3．
总结提升：本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
14．(2023春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q的坐标为 ．
思路引领：将点A的坐标代入y＝2x+b中，求出b的值即可求出直线l1的解析式，然后将x＝8代入直线l1的解析式中，即可求出点B的坐标，最后将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，求出k的值，即可求出直线l2的解析式，过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG⊥FG于G，利用AAS可得△EGQ≌△QFA（AAS），根据全等三角形的性质得EG＝QF，QG＝AF，设Q（a，a﹣1），则AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，点E坐标（2a+4，1），由l1的解析式求出a的值，即可求解．
解：过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG⊥FG于G，
将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，
解得：b＝﹣9，
∴直线l1的解析式为y＝2x﹣9，
将x＝8代入y＝2x﹣9中，
解得：y＝7，
∴点B的坐标为（8，7），
将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得
7＝8k﹣1，
解得：k＝1，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣1，
∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，
∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，
∴∠EQG＝∠QAF，
∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴EQ＝QA，
在△EGQ和△QFA中，
∠G=∠F∠EQG=∠QAFEQ=QA，
∴△EGQ≌△QFA（AAS），
∴EG＝QF，QG＝AF，
设Q（a，a﹣1），
∵A（2，﹣5），
∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，
∴点E坐标（2a+4，1），
把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，
得4a+8﹣9＝1，解得：a=12，
∴点Q的坐标为（12，−12）．
故答案为：（12，−12）．
总结提升：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，等腰直角三角形的性质，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和全等三角形的判定及性质是解题的关键．
15．(2023秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
思路引领：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，可得B（﹣2，2），求出直线AB的解析式，即可解决问题；
（2）过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，求出C（﹣6，2），再由待定系数法求函数的解析式即可；
（3）分两种情况讨论：当Q点AB下方时，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，再由EQ+FQ＝6，求出a＝2（舍）；当Q点在AB上方时，同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，再由EQ+FQ＝6，可求a=143．
解：（1）如图2，过点B作BE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），
∴OC＝2，OA＝4，
∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，
又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴，
∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
在△CEB和△AOC中，
∠BEC=∠AOC∠CBE=∠ACOBC=AC，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，
∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2，
∴B（﹣2，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（4，0），B（﹣2，2），
∴4k+b=0−2k+b=2，
∴k=−13b=43，
∴直线AB的解析式为y=−13x+43，
∵AB与y轴交点D，
∴D（0，43）；
（2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，
∵∠CAB＝45°，
∴BC＝AB，
由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，
∵y＝2x+4与x轴的交点B（﹣2，0），A（0，4），
∴CD＝2，BD＝4，
∴C（﹣6，2），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴−6k+b=2b=4，
解得k=13b=4，
∴y=13x+4；
（3）点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
当Q点AB下方时，如图4，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，
由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，
∴AE＝FQ，EQ＝PF，
∵B（6，4），
∴OA＝4，CO＝6，
∵点Q（a，2a﹣4），
∴EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+8﹣2a＝6，
解得a＝2，
∴Q（2，0），
∵Q点在第一象限，
∴a＝2（舍）；
当Q点在AB上方时，如图5，
同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+2a﹣8＝6，
解得a=143．
综上所述：a的值为143．
总结提升：本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题．
类型三 对称
16．(2023秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣3
思路引领：根据直线y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称的性质求解．
解：∵直线l与直线y＝2x+3关于x轴对称，
∴直线l的解析式为﹣y＝2x+3，
即y＝﹣2x﹣3．
故选：D．
总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b．
17．(2023秋•和平区校级期末）已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：根据关于x轴对称的点的坐标特点求出m、n的值，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
解：∵点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，
∴m+1＝3，n﹣2＝﹣1，
∴m＝2，n＝1，
∴一次函数的解析式为：y＝2x﹣1，
∵2＞0，﹣1＜0，
∴函数图象经过一三四象限．
故选：C．
总结提升：本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
18．(2023秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
思路引领：由点A的坐标及点A，B关于x轴对称，可求出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
解：∵点A的坐标为（﹣2，m），点B与点A关于x轴对称，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣m）．
又∵点B在直线y＝﹣x+1上，
∴﹣m＝﹣1×（﹣2）+1，
∴m＝﹣3．
故选：D．
总结提升：本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题的关键．
19．(2023秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（ ）
A．313B．35C．53D．133
思路引领：由直线y=−23x+4，可得A（6，0），B（0，4），易知OA＝6，OB＝4；连接PP'，交直线AB与点Q，连接BP、AP、BP'，由轴对称的性质可得AB垂直平分PP'，根据垂直平分线的性质可得BP＝BP'，再证明△BPQ≌△AP'Q，由全等三角形的性质可得BP＝AP'；设P（m，4），则BP＝BP'＝AP'＝m，OP'＝6﹣m，由勾股定理可得42+（6﹣m）2＝m2，解得m=133，即可确定点P'的横坐标．
解：对于直线y=−23x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，4），
∴OA＝6，OB＝4，
连接PP'，交直线AB与点Q，连接BP、AP、BP'，如下图，
∵点P与点P'关于直线AB对称，
∴PQ＝P'Q，且PP'⊥AB，
∴BP＝BP'，
∵点P在第一象限内，且纵坐标为4，
∴BP∥x轴，
∴∠BPQ＝∠AP'Q，
又∵PQ＝P'Q，∠BQP＝∠AQP'＝90°，
∴△BPQ≌△AP'Q（ASA），
∴BP＝AP'，
设P（m，4），则BP＝m，
∴BP＝BP'＝AP'＝m，
∴OP'＝OA﹣AP'＝6﹣m，
∴在Rt△OBP'中，OB2+OP'2＝BP'2，
即42+（6﹣m）2＝m2，解得m=133，
∴OP′=6−m=6−133=53，
∴点P'的横坐标为53．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了坐标与图形、一次函数与坐标轴交点、轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
20．(2023春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为 ．
思路引领：根据对称的性质得出两个点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．
解：∵直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，
∵直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴直线L1经过点（3，﹣2），L2经过点（0，﹣4），
把（0，4）和（3，﹣2）代入直线L1经过的解析式y＝kx+b，
则b=43k+b=−2，
解得：k=−2b=4，
故直线L1经过的解析式为：y＝﹣2x+4，
可得L1与L2的交点坐标L1与L2与x轴的交点，解得：x＝2，
即L1与L2的交点坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）．
总结提升：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
21．(2023春•嘉荫县期末）已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为 ．
思路引领：直接根据关于y轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可．
解：∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴直线l1：y＝2x﹣6与直线l2关于y轴对称，则直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣6．
故答案为：y＝﹣2x﹣6．
总结提升：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22．(2023•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为 ．
思路引领：设对称函数上任意一点P（x，y），则P（x，y）点关于y＝x的对称点P'（y，x），由点P'在函数x＝2y+3的图象上，即可求y=12x−32．
解：设对称函数上任意一点P（x，y），
则P（x，y）点关于y＝x的对称点P'（y，x），
∵点P'在函数x＝2y+3的图象上，
∴y=12x−32．
故答案为：y=12x−32．
总结提升：本题考查二次函数图象的几何变换，理解函数图象的几何变换实质是点的变换是解题的关键．
23．(2023秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 ．
思路引领：把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出B、A的坐标，分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，分别求解即可．
解：∵y=34x+6，
∴当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝﹣8，
即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（8，0），
分为三种情况：
①当PB＝PQ时，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
∵∠BPQ＝∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ＝180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
∠AQP=∠BPC∠BAO=∠BCPPB=PQ，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝CB，
∵B（0，6），C（8，0），
∴BC=62+82=10，
∴AP＝10，
∴点P的坐标是（2，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2+OB2，
∴（x+8）2＝x2+62，
解得：x=−74，
即此时P的坐标是（−74，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（−74，0）．
故答案为：（2，0）或（−74，0）．
总结提升：本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
24．(2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．
（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；
（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．
思路引领：（1）将点A坐标代入y1＝x，求出m的值，再将点A坐标代入y2=ax−53中，即可求出a的值，再根据函数解析式画出函数图象即可；
（2）根据点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，可知点C坐标，再根据BD∥x轴，求出点D坐标，再求△CBD的面积即可．
解：（1）∵A（﹣1，m）在函数y1＝x上，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣1），
将A（﹣1，﹣1）代入y2=ax−53中，
得﹣a−53=−1，
解得a=−23，
∴一次函数y2解析式为y2=−23x−53，
图象如图所示：
（2）∵点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，
∴点C（2，4），
∵BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，
将y＝2代入y2=−23x−53，
得x=−112，
∴点D坐标为（−112，2），
∴BD＝4﹣（−112）=192，
∴S△CBD=12×BD×(yC−yB)=12×192×2=192．
总结提升：本题考查了一次函数与几何变换，三角形面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
25．(2023秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的[l1，l2]伴随图形．
例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为 ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．
①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为 ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．
思路引领：（1）根据伴随图形的定义即可得出结论；
（2）①t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），直线m为x＝1，先求出A点关于x轴对称点的坐标，再求出关于直线x＝1对称点的坐标即；
②由题意得，直线m为y＝x，A、B、C三点的[x轴，m]伴随图形点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣3）、（﹣3，t），由题意可得|t|＜0.5或|t﹣3|＜0.5，解出t的取值范围即可．
解：（1）由题意知（﹣3．﹣2）沿x轴翻折得点坐标为（﹣3，2）；
（﹣3，2）沿y轴翻折得点坐标为（3，2），
∴点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）；
（2）①当t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），
∴（﹣1，1）沿x轴翻折得点坐标为（﹣1，﹣1），
∵直线m经过点（1，1），且直线m与y轴平行，
∴直线m为x＝1，
∴（﹣1，﹣1）沿x＝1轴翻折得点坐标为（﹣1，1），
∵直线n经过点（﹣1，﹣1），且直线n与x轴平行，
∴直线n为y＝﹣1，
∴（﹣1，1）沿直线y＝﹣1翻折得点坐标为（3，﹣1），
∴点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）；
②∵直线m经过原点，且经过点（1，1），
∴直线m为y＝x，
A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：（t，﹣1）、（t﹣3，﹣1）、（t，﹣3），
A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣3）、（﹣3，t），
由题意可知：|t|＜0.5或|t﹣3|＜0.5，
解得：﹣0.5＜t＜0.5或2.5＜t＜3.5，
∴：﹣0.5＜t＜0.5或2.5＜t＜3.5，
总结提升：本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确地将翻折后的点坐标表示出来．
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