2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第1讲.一次函数解析式与图象变换（含答案）

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题型切片
编写思路
本讲内容主要分为三个题型，在寒假学习过待定系数法求一次函数解析式之后，题型一部分一方面要对寒假内容进行巩固，另一方面增加题目难度，进一步熟练解析式的求法；题型二重点探讨了一次函数图象的平移、对称及旋转变换，逐步完备一次函数学习体系；题型三是点的存在性问题之“将军饮马”模型与一次函数的综合，与之前在轴对称版块的学习侧重点不同，主要是把解析法融入到几何题目当中，需要学生一会画图，二会根据点的坐标求直线解析式，最后再求交点坐标，需熟练掌握．
本讲的最后一部分是2013年东城（南片）期末考试真题，本题既考查到求函数解析式，又涉及平移，并且与找规律进行结合，综合性比较强，并且训练了由已知点的坐标求线段长度的问题，这部分的训练是函数问题的重要组成部分，后期学习函数与几何题目的综合练习时会进一步深入探索．
题型一：复杂条件下求解析式
思路导航
一次函数解析式的确定方法：确定图象上两个点的坐标，用待定系数法求解析式.
寒假一次函数图象性质的回顾（填表）：
（学生版不出现）
O
x
y
A
B
2
例题精讲

如图，一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，则该一次函数的表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
由题意可知，
设该一次函数解析式为，将点坐标代入，解得，所以选B
典题精练
阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，C为线段BD上一点，分别过点B、D作AB ⊥BD，ED ⊥BD，连接AC、EC，已知AB=6，DE=1，BD=8，高CB=x，试求使AC+CE的值最小的x值．
小伟是这样思考的：
当点C在AE、BD交点处时，AC+CE的值最小，他先后尝试了各种方法，发现建立平面直角坐标系，通过函数的方法可以解决这个问题。
他的方法是：
建立如图2所示的平面直角坐标系，依据已知条件求出直线AE的解析式，进而求出C点坐标，找到x的值．
请你回答：小伟求出的x的值等于___________，并说明原因
当以B为原点，BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系后，
A（0，6）、D（8，0）、E（8，）
利用待定系数法解得：
AE：
∴C（，0），∴
一次函数()，当时，对应的值为，求一次函数的解析式.
若，所以当时，；当时，；解得，，；
若，所以当时，；当时，；解得，，
题型二：一次函数图象的变换
思路导航

一次函数图象的平移、对称和旋转
二．一些特殊直线
例题精讲
将直线先向上平移4个单位，再向右平移5个单位后得到的直线的解析式为________．
方法1：值不变，平移一个点
直线与轴的交点为，将此点向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到点，设平移后的直线解析式为，
∵两直线平行，∴
将点代入中，解得，
∴平移后解析式为
方法2：“左加右减，上加下减”
平移后的直线为，整理后为.
典题精练

已知直线．
⑴ 求它关于轴对称的直线的解析式；
⑵ 将直线向左平移3个单位，求平移后的直线解析式；
⑶ 将直线绕原点顺时针旋转90°，求旋转后的直线解析式．
图象与、轴的交点分别为
⑴ ∵关于轴对称，
∴点不变，将点关于轴对称得到点，
∴对称后的解析式为
⑵ ∵平移
∴值不变，将点向左平移3个单位得到点，
∴平移后解析式为
⑶ 将、两点分别绕原点顺时针旋转90°得到，
直线即为旋转后的直线，解析式为
已知一次函数，随增大而增大，它的图象经过点并且与轴的夹角为，
⑴ 确定这个一次函数的解析式；
⑵ 假设已知中的一次函数的图象沿轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与轴的交点坐标． （海淀期末）
由一次函数的图象经过且它与轴的夹角为可知，它与轴的交点为或，因为随增大而增大，所以只取．
⑴ 一次函数的解析式为．
⑵ 因为图象沿轴平移两个单位，但是没有说明方向，故分情况讨论有两类：即向正方向或向负方向平移．可求得平移后的函数为，． 与轴交点坐标分别为，．
题型三：一次函数与“将军饮马”问题
思路导航
例题精讲
已知直线经过点A（4，3），与y轴交于点B.
⑴ 求B点坐标；
⑵ 若点C是x轴上一动点，当的值最小时，求C点坐标. （海淀期末）
⑴ 将点代入解析式中，解得
∴
⑵ 点关于轴的对称点的坐标为，
设直线的解析式为，依题意得
解得
∴直线的解析式为，与轴的交点即为点，坐标为.
典题精练
⑴ 在直角坐标系中，有点，，，，当四边形的周长最短时，求直线的解析式及的值；
= 2 \* GB2 ⑵ 在直角坐标系中，有点，，点在轴上且使得最大，求点坐标．
⑴ 如图1，将点分别关于轴，轴对称到，直线与轴的交点即为点，求得直线的解析式为，所以
图１
= 2 \* GB2 ⑵ 如图2，将点关于轴对称得到点，作直线与轴的交点即为点，
由直线的解析式可求得点

图2
【教师备选】在直角坐标系中，有点，，点、在轴上且，当四边形 周长最短时，求点的坐标；
如图3，将点向右平移1个单位至，再将关于轴对称到点，连接与轴的交点即为点，将点向左平移一个单位得到点，由直线的解析式可求得，
图3
真题赏析

如图，直线：平行于直线，且与直线：相交于点．
⑴ 求直线、的解析式；
⑵ 直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……
照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，…，，，…
①求点，，，的坐标；
②请你通过归纳得出点、的坐标；并求当动点C到达处时，运动的总路径的长．
（2013年东城期末）
⑴ ，
⑵ ①，，，
②，
运动的总路径长为
【分析】本题既考查到求函数解析式，又涉及平移，并且与找规律进行结合，综合性比较强，并且训练了由已知点的坐标求线段长问题，这部分的训练是函数问题的重要组成部分，后期学习函数与几何题目的综合练习时会进一步深入探索．
思维拓展训练(选讲)
点在第一象限，且，点的坐标为，设的面积为．
⑴ 用含的解析式表示，写出的取值范围，画出函数的图象．
⑵ 当点的横坐标为5时，的面积为多少？
⑶ 的面积能大于24吗？为什么？
⑴ ∵ ∴
∴
⑵ 9
⑶ 不能，若，则，解得，不符合题意.
如果一条直线经过不同三点，那么直线经过（ ）
A. 第二、四象限 B. 第一、二、三象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
设直线的解析式为，因点，在直线上，
∴，∵，解得，故直线的解析式为：，
又∵点在直线上，∴，得，即直线的解析式为
∴直线经过二、四象限．选A．
已知直线与轴、轴交于和，，则的取值范围是_________.
直线与轴、轴的交点坐标分别为(，)、(，)，
由可知，，，.
但当时，、重合不能构成三角形，故.
综上所述，且.
已知：如图，直线与轴、轴分别交于点和点，是轴上的一点，若将△沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，求直线的解析式． （石景山一模）
根据题意，得：，
在中，，
由题意可知，
∴
设，则
在中，
即
解得
∴，
设直线的解析式为：
∴ ，解得
所以直线的解析式为
复习巩固
题型一 复杂条件下求解析式 巩固练习
已知一次函数，当时，对应的值为，求的值.
若，当时，；当时，；解得，，；
若，当时，；当时，；解得，，.
正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两图象与轴围成的三角形的面积为，求这两个函数的解析式.
正比例函数解析式为，一次函数解析式为或
题型二 一次函数图象的变换 巩固练习
如图，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，
⑴ 直线的解析式是 ．
⑵ 将直线沿轴平移2个单位得到直线，则的解析式
为 ．
⑶ 将直线关于轴对称得到直线，则的解析式为 .
（上海市中考题改编）
⑴ 直线解析式为：，∴平移后为
⑵ 分两种情况讨论：①向左平移个单位得到；②向右平移个单位得到
∴解析式为：或
⑶ 解析式为：.
某一次函数的图象与直线交于点，且与直线无交点，求此函数的关系式．
将代入中求得
设所求解析式为，与直线无交点即与其平行，
过，代入求得解析式为
题型三 一次函数与“将军饮马”问题 巩固练习
⑴ 如图⑴，点的坐标为(，)，使的周长最短，求的值.
⑵ 如图⑵，在轴上有一点，在轴上有一点，使值最小，求直
线CD的解析式及点坐标.


⑴ 如图⑶，作关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点，可求直线解析式为，当时，
⑵ 如图⑷， 将点分别关于轴、轴对称到点，连接与轴、轴的交点即为点，直线解析式为，

一饭千金
帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。
这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。
【感恩小结】
感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。
感恩，是一种美德，是一种境界。
感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。
感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。
感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。
感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。
感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨……
第十六种品格：感恩
题型切片（三个）
对应题目
题型目标
复杂条件下求解析式
例1，例2，练习1，练习2，例6；
一次函数图象变换
例3，例4，练习3，练习4；
与“将军饮马”问题的综合
例5，练习5．
示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）
从左向右
_______
随的增大而_____，随的减小而______
从左向右
_______
随的增大而_____，随的减小而______
示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）
一、三
从左向右上升
随的增大而增大，随的减小而减小
一、二、三
一、三、四
二、四
从左向右下降
随的增大而减小，随的减小而增大
一、二、四
二、三、四
变换
平移
对称
旋转
关于轴
关于轴
关于垂直于坐标轴的直线
旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式
方法
⑴值不变，平移图象上的一个点；
⑵值不变，“上加下减，左加右减”
⑴对称图象上的两个点；
⑵均变为相反数
⑴对称图象上的两个点；
⑵变为相反数，不变
对称图象上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式
过点
过点
大致图象
等
等
等
举例
，等
等
等
重要性质
⑴与或平行
⑵与轴的夹角为，并与坐标轴围成等腰直角三角形
互为相反数
即
问题
作法
图形
原理
在直线上求一点，使最短
将对称到，连接，与的交点即为点
两点之间，线段最短
在直线上分别求点，使周长最小
分别将点关于两直线对称到，连接与两直线交点即为
两点之间，线段最短
在直线上分别求点，使四边形周长最小
将分别对称到，连接与直线的交点即为
两点之间，线段最短
在直线上求两点（在左），使得，并使最短
将向右平移个单位到，对称到，连接与交点即为，左平移个单位即为
两点之间，线段最短
在直线上求点，使最大
将点对称到，作直线与的交点即为点
三角形任意两边之差小于第三边