最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型 （全国通用）

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1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型
【模型展示】
【模型证明】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．2
2．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（ ）
A．6B．C．10D．
3．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个
①；
②当时，；
③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；
④当时，．
A．B．C．D．
二、填空题
7．如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
8．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．
9．如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．
三、解答题
10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．
11．（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
12．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
13．如图，在矩形中，是上一点，于点，设．
（1）若，求证：；
（2）若，且在同一直线上时，求的值．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
（1）求证：；
（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．
15．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．
16．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求证：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．
17．如图，在正方形中，点在上，交于点．
（1）求证：；
（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．
18．如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．
（1）求证：△BEP∽△CPF；
（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．
19．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．
(1)___________；当时，_________；
(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当是等腰三角形时，请求出的值．
20．【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
21．在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
22．问题提出
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
特点
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
结论
CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
解决方案
“三垂直”模型
如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
“一线三等角”模型
如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.