北师大版八年级数学下册举一反三 专题2.9 一元一次不等式和一元一次不等式组章末重难点突破（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版八年级数学下册举一反三 专题2.9 一元一次不等式和一元一次不等式组章末重难点突破（举一反三）（原卷版+解析），共26页。
专题2.9 一元一次不等式和一元一次不等式组章末重难点突破【北师大版】 【考点1 由不等式性质求字母范围 】【例1】(2023春•鼓楼区校级期中）已知实数a，b，c，满足a+b＝8，c﹣a＝10．若a≥﹣2b，则a+b+c的最大值为　　．【变式1-1】(2023春•峡江县期末）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　）A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1【变式1-2】(2023春•长春期中）已知a＝3b，﹣3≤b＜2，则a的取值范围为　 　．【变式1-3】(2023春•铜官区期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是x＜14，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　）A．x＜35 B．x＜−35 C．x＞35 D．x＞−35【考点2 不等式（组）解的归一问题】【例2】(2023春•杨浦区期末）若2m+23x＞1与2﹣3x＜0的解集是相同的，那么m的值是（　　）A．23 B．518 C．3−6m2 D．35【变式2-1】(2023春•广陵区校级月考）如图，是关于x的不等式2x﹣m＜﹣1的解集，则m的值为（　　）A．m≤﹣2 B．m≤﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣1【变式2-2】(2023春•镇原县期末）不等式组x＞−2x＞m+1的解集是x＞﹣1，则m的值是（　　）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【变式2-3】(2023春•城阳区期中）小明在解一个一元一次不等式时，发现不等式的右边有个数被墨迹污染看不清，所看到的不等式是1−2x2−1≥x+■3．他查看练习题的答案后，知道这个不等式的解集是x≤−78，那么“■”表示的数是　　．【考点3 不等式（组）的整数解问题】【例3】(2023•泰山区模拟）若关于x的不等式组2x−a＜813x−12≥16有且只有4个整数解，则a的取值范围是（　　）A．3≤a≤4 B．2＜a≤4 C．2≤a＜4 D．2＜a＜4【变式3-1】(2023春•乾县期末）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式3-2】(2023春•南昌期末）若实数2是不等式3x﹣a﹣4＜0的一个解，则a可取的最小整数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-3】(2023春•城阳区期中）如果不等式组2x+7＞5x−8x＜n的解集是x＜5，那么n的取值范围是（　　）A．n≤5 B．n＜5 C．n≥5 D．n＝5【考点4 一元一次方程与不等式的综合问题】【例1】(2023春•丹阳市期末）若x＝﹣1是方程2（x+4）＝x﹣a的解，求不等式2（y−a4）≤1的解集．【变式4-1】(2023春•香坊区校级月考）关于x的方程6x+a﹣4＝2x+2a的解大于1，求a的取值范围．【变式4-2】(2023秋•海曙区期末）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11．（1）若x@3＜5，求x的取值范围；（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．【变式4-3】(2023秋•碑林区校级期末）已知方程|x|＝ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是　 　．【考点5 确定不等式组字母系数范围】【例5】(2023春•城阳区期中）如果不等式组2x+7＞5x−8x＜n的解集是x＜5，那么n的取值范围是（　　）A．n≤5 B．n＜5 C．n≥5 D．n＝5【变式5-1】(2023秋•钱塘区期末）若不等式组x≤−mx≤−n的解集为x≤﹣m，则下列各式正确的是（　　）A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n【变式5-2】(2023•昭阳区校级模拟）若关于x的不等式组x−4≥0x−2≤a+2x3无解，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜﹣2 B．a≥2 C．a＞﹣2 D．a≤2【变式5-3】(2023春•丰台区校级期末）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组−2x+3≥−3①12(x−2a)+12x＜0②并依据a的取值情况写出其解集．【考点6 方程组与不等式组的综合问题】【例6】(2023春•海拉尔区期末）已知关于x，y的方程组x+y=−3a+9x−y=−5a+1的解为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|﹣4a+5|﹣|a+4|．【变式6-1】(2023春•柘城县期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=1+2mx+2y=2−m的解满足不等式组x−y＜8x+y＞1，则m的取值范围是什么？【变式6-2】(2023春•顺庆区期末）已知关于x，y的方程组x+2y=4m2x+y=2m−1满足﹣2＜x﹣y＜1，求m的取值范围．【变式6-3】(2023春•常州期末）已知关于x的不等式组x＞−1x≤1−k（1）如果这个不等式无解，求k的取值范围；（2）如果这个不等式有解，求k的取值范围；（3）如果这个不等式恰好有2013个整数解，求k的取值范围．【考点7 解不等式（组）】【例7】(2023秋•江干区期末）解不等式组6x+8＞4x+9x+113≤5−x，并把不等式组的解在数轴上表示出来．【变式7-1】(2023春•宽城县期末）小明解不等式1+x2−2x+13≤1的过程如下．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．解：去分母，得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤1…①去括号，得：3+3x﹣4x+1≤1…②移项，得：3x﹣4x≤1﹣3﹣1…③合并同类项，得：﹣x≤﹣3…④两边都除以﹣1，得：x≤3…⑤（1）错误的步骤有 　　处，分别为 　　．（填序号）（2）请写出正确解答过程．【变式7-2】(2023秋•相城区期末）若代数式3+x2−1的值不大于4x+36的值时，求x的取值范围．【变式7-3】(2023春•息县期末）解下面的不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出x的所有整数值．5x+2＞3(x−1)12x−1≤7−32x．【考点8 方程（组）与不等式（组）的实际应用问题】【例8】(2023•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？【变式8-1】(2023秋•南岗区校级月考）哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【变式8-2】(2023春•甘井子区期末）某化工厂与A、B两地都分别有公路、铁路相连，从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知3t产品的销售款比4t原料的进货款多20000元，2t产品的销售款比1t原料的进货款多15000元．（1）求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？（2）如表为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（t•km），铁路运价为1.2元/（t•km），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，求这批原料比产品多多少吨？（3）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20t，若要增加at的产品，就要再购买85at的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？【变式8-3】(2023春•通川区期末）某工厂用A，B两种原件组装成C，D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件．（1）现有A原件162个，B原件340个，若要组装C，D两种产品共100个，设组装C产品x个．①根据题意，完成下面表格：②按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？（2）现有A原件162个，B原件a个，组装C，D两种产品，A，B两种原件均恰好用完，已知290＜a＜306，求a的值． A地B地公路段路程（km）1020铁路段路程（km）120110 原件 产品 C（件） D（件） A（个） x　　  B（个）　　 3（100﹣x）专题2.9 一元一次不等式和一元一次不等式组章末重难点突破【北师大版】 【考点1 由不等式性质求字母范围 】【例1】(2023春•鼓楼区校级期中）已知实数a，b，c，满足a+b＝8，c﹣a＝10．若a≥﹣2b，则a+b+c的最大值为　34　．【解题思路】由c﹣a＝10得c＝a+10，与a+b＝8相加得a+b+c＝a+18，由a+b＝8及a≥﹣2b，可得a的最大值为16，从而得出a+b+c的最大值．【解答过程】解：由c﹣a＝10得c＝a+10，由a+b＝8得a+b+c＝a+18，∵a+b＝8及a≥﹣2b，∴a≤16，∴a的最大值为16，∴a+b+c的最大值＝18+16＝34．故答案为：34．【变式1-1】(2023春•峡江县期末）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　）A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1【解题思路】根据不等式的性质，可得答案．【解答过程】解：由题意，得a+1＜0，解得a＜﹣1，故选：B．【变式1-2】(2023春•长春期中）已知a＝3b，﹣3≤b＜2，则a的取值范围为　﹣9≤a＜6　．【解题思路】首先用a表示出b，再利用不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答过程】解：∵a＝3b，﹣3≤b＜2，∴﹣3≤a3＜2，∴﹣9≤a＜6，故答案为﹣9≤a＜6．【变式1-3】(2023春•铜官区期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是x＜14，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　）A．x＜35 B．x＜−35 C．x＞35 D．x＞−35【解题思路】由不等式ax﹣b＞0的解集为x＜14，得a＜0，且ba=14，由此可得a＝4b，再根据一元一次不等式的性质解答即可．【解答过程】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集是x＜14，∴a＜0，且ba=14，∴a＝4b，又（a+b）x＞b﹣a，∴5bx＞﹣3b，x＜−35．故选：B．【考点2 不等式（组）解的归一问题】【例2】(2023春•杨浦区期末）若2m+23x＞1与2﹣3x＜0的解集是相同的，那么m的值是（　　）A．23 B．518 C．3−6m2 D．35【解题思路】分别解两个不等式求出其解集，再根据解集是相同得出关于m的方程，解之即可．【解答过程】解：∵2﹣3x＜0，∴3x＞2，则x＞23，解不等式2m+23x＞1，得：x＞32−3m，根据题意知23=32−3m，解得m=518，故选：B．【变式2-1】(2023春•广陵区校级月考）如图，是关于x的不等式2x﹣m＜﹣1的解集，则m的值为（　　）A．m≤﹣2 B．m≤﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣1【解题思路】根据不等式的解集，可得关于m的方程，解方程，可得答案．【解答过程】解：解不等式，得x＜m−12，又不等式的解集是x＜﹣1，得m−12=−1，解得m＝﹣1，故选：D．【变式2-2】(2023春•镇原县期末）不等式组x＞−2x＞m+1的解集是x＞﹣1，则m的值是（　　）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解题思路】根据不等式组的解集得出m+1＝﹣1，求出方程的解即可．【解答过程】解：∵不等式组x＞−2x＞m+1的解集是x＞﹣1，∴m+1＝﹣1，解得：m＝﹣2，故选：B．【变式2-3】(2023春•城阳区期中）小明在解一个一元一次不等式时，发现不等式的右边有个数被墨迹污染看不清，所看到的不等式是1−2x2−1≥x+■3．他查看练习题的答案后，知道这个不等式的解集是x≤−78，那么“■”表示的数是　2　．【解题思路】设“■”表示的数是a，根据不等式的解集确定出a的值即可．【解答过程】解：“■”表示的数是a，不等式为1−2x2−1≥x+a3，去分母得：3﹣6x﹣6≥2x+2a，移项合并得：﹣8x≥2a+3，解得：x≤−2a+38，由已知解集为x≤−78，得到2a+3＝7，解得：a＝2，则“■”表示的数是2，故答案为：2【考点3 不等式（组）的整数解问题】【例3】(2023•泰山区模拟）若关于x的不等式组2x−a＜813x−12≥16有且只有4个整数解，则a的取值范围是（　　）A．3≤a≤4 B．2＜a≤4 C．2≤a＜4 D．2＜a＜4【解题思路】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出a的范围即可．【解答过程】解：不等式组整理得：x＜12a+4x≥2，解得：2≤x＜12a+4，由解集中恰好只有4个整数解，得到整数解为2，3，4，5，∴5＜12a+4≤6，解得：2＜a≤4，故选：B．【变式3-1】(2023春•乾县期末）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解题思路】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a即可．【解答过程】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜a+24，∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，∴3＜a+24≤4，解得：10＜a≤14，∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，故选：B．【变式3-2】(2023春•南昌期末）若实数2是不等式3x﹣a﹣4＜0的一个解，则a可取的最小整数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】把x＝2代入不等式，求出a的范围，再求出答案即可．【解答过程】解：∵实数2是不等式3x﹣a﹣4＜0的一个解，∴代入得：6﹣a﹣4＜0，a＞2，∴a可取的最小整数是3，故选：C．【变式3-3】(2023春•城阳区期中）如果不等式组2x+7＞5x−8x＜n的解集是x＜5，那么n的取值范围是（　　）A．n≤5 B．n＜5 C．n≥5 D．n＝5【解题思路】先解两个不等式得到x＜5和x＜n，然后根据同小取小可确定n的范围．【解答过程】解：由2x+7＞5x﹣8得，x＜5，根据已知条件，不等式组解集是x＜5根据“同小取小”原则得n≥5．故选：C．【考点4 一元一次方程与不等式的综合问题】【例1】(2023春•丹阳市期末）若x＝﹣1是方程2（x+4）＝x﹣a的解，求不等式2（y−a4）≤1的解集．【解题思路】先把x＝﹣1代入方程求出a的值，再把a的值代入不等式，求出y的取值范围即可．【解答过程】解：∵x＝﹣1是方程2（x+4）＝x﹣a的解，∴2（﹣1+4）＝﹣1﹣a，解得a＝﹣7，∴不等式可化为2（y+74）≤1，解得y≤−54．【变式4-1】(2023春•香坊区校级月考）关于x的方程6x+a﹣4＝2x+2a的解大于1，求a的取值范围．【解题思路】先解方程得出x=a+44，根据方程的解大于1得出关于a的不等式，解之即可．【解答过程】解：解不等式6x+a﹣4＝2x+2a，得x=a+44，根据题意，得：a+44＞1，解得a＞0．【变式4-2】(2023秋•海曙区期末）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11．（1）若x@3＜5，求x的取值范围；（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．【解题思路】（1）根据新定义列出关于x的不等式，解之可得；（2）先解关于x的方程得出x＝1，再将x＝1代入x@a＜5列出关于a的不等式，解之可得．【解答过程】解：（1）∵x@3＜5，∴2x﹣3＜5，解得：x＜4；（2）解方程2（2x﹣1）＝x+1，得：x＝1，∴x@a＝1@a＝2﹣a＜5，解得：a＞﹣3．【变式4-3】(2023秋•碑林区校级期末）已知方程|x|＝ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是　a≥1　．【解题思路】根据x＜0，得出方程﹣x＝ax+1，求出x=−1a+1＜0，即可求出答案．【解答过程】解：∵方程|x|＝ax+1有一个负根而没有正根，∴x＜0，方程化为：﹣x＝ax+1，（a+1）x＝﹣1，x=−1a+1＜0，∴a+1＞0，∴a＞﹣1且a≠0，如果x＞0，|x|＝x，x＝ax+1，x=11−a＞0，则1﹣a＞0，解得 a＜1．∵没有正根，∴a＜1不成立．∴a≥1．故答案为：a≥1．【考点5 确定不等式组字母系数范围】【例5】(2023春•城阳区期中）如果不等式组2x+7＞5x−8x＜n的解集是x＜5，那么n的取值范围是（　　）A．n≤5 B．n＜5 C．n≥5 D．n＝5【解题思路】先解两个不等式得到x＜5和x＜n，然后根据同小取小可确定n的范围．【解答过程】解：由2x+7＞5x﹣8得，x＜5，根据已知条件，不等式组解集是x＜5根据“同小取小”原则得n≥5．故选：C．【变式5-1】(2023秋•钱塘区期末）若不等式组x≤−mx≤−n的解集为x≤﹣m，则下列各式正确的是（　　）A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n【解题思路】根据口诀：同小取小可得﹣m≤﹣n，再由不等式的基本性质即可得出答案．【解答过程】解：∵不等式组x≤−mx≤−n的解集为x≤﹣m，∴﹣m≤﹣n，则m≥n，故选：A．【变式5-2】(2023•昭阳区校级模拟）若关于x的不等式组x−4≥0x−2≤a+2x3无解，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜﹣2 B．a≥2 C．a＞﹣2 D．a≤2【解题思路】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可．【解答过程】解：x−4≥0①x−2≤a+2x3②，∵解不等式①得：x≥4，解不等式②得：x≤a+6，又∵关于x的不等式组x−4≥0x−2≤a+2x3无解，∴a+6＜4，解得：a＜﹣2，故选：A．【变式5-3】(2023春•丰台区校级期末）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组−2x+3≥−3①12(x−2a)+12x＜0②并依据a的取值情况写出其解集．【解题思路】先分别解两个不等式得到x≤3和x＜a，然后通过讨论a与3的大小确定不等式组的解集．【解答过程】解：解不等式①得x≤3，解不等式②得x＜a，因为实数a是不等于3的常数，所以当a＞3时，不等式组的解集为x≤3；当a＜3时，不等式组的解集为x＜a．【考点6 方程组与不等式组的综合问题】【例6】(2023春•海拉尔区期末）已知关于x，y的方程组x+y=−3a+9x−y=−5a+1的解为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|﹣4a+5|﹣|a+4|．【解题思路】（1）将a看做常数解关于x、y的方程，依据方程的解为正数得出关于a的不等式组，解之可得；（2）根据绝对值的性质取绝对值符号，合并同类项可得．【解答过程】解：（1）x+y=−3a+9①x−y=−5a+1②，①+②，得：x＝﹣4a+5，①﹣②，得：y＝a+4，∵方程的解为正数，∴−4a+5＞0a+4＞0，解得：﹣4＜a＜54；（2）由（1）知﹣4a+5＞0且a+4＞0，∴原式＝﹣4a+5﹣a﹣4＝﹣5a+1．【变式6-1】(2023春•柘城县期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=1+2mx+2y=2−m的解满足不等式组x−y＜8x+y＞1，则m的取值范围是什么？【解题思路】将方程组两方程相加减可得x+y、x﹣y，代入不等式组可得关于m的不等式组，求解可得．【解答过程】解：在方程组2x+y=1+2m①x+2y=2−m②中，①+②，得：3x+3y＝3+m，即x+y=3+m3，①﹣②，得：x﹣y＝﹣1+3m，∵x−y＜8x+y＞1，∴3m−1＜83+m3＞1，解得：0＜m＜3．【变式6-2】(2023春•顺庆区期末）已知关于x，y的方程组x+2y=4m2x+y=2m−1满足﹣2＜x﹣y＜1，求m的取值范围．【解题思路】方程组两方程左右两边相减，表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可．【解答过程】解：x+2y=4m①2x+y=2m−1②，②﹣①，得：x﹣y＝﹣2m﹣1，∵﹣2＜x﹣y＜1，∴−2m−1＞−2③−2m−1＜1④，解不等式③，得：m＜12，解不等式④，得：m＞﹣1，则−1＜m＜12．【变式6-3】(2023春•常州期末）已知关于x的不等式组x＞−1x≤1−k（1）如果这个不等式无解，求k的取值范围；（2）如果这个不等式有解，求k的取值范围；（3）如果这个不等式恰好有2013个整数解，求k的取值范围．【解题思路】（1）根据不等式组无解可得1﹣k≤﹣1，再解不等式即可；（2）根据不等式组有解可得1﹣k＞﹣1，再解不等式即可；（3）首先根据不等式恰好有2013个整数解求出不等式组的解集为﹣1＜x＜2013，再确定2012≤1﹣k＜2013，然后解不等式即可．【解答过程】解：（1）∵不等式组无解，∴1﹣k≤﹣1，解得k≥2；（2））∵不等式组有解，∴1﹣k＞﹣1，解得k＜2；（3）∵不等式恰好有2013个整数解，∴﹣1＜x＜2013，∴2012≤1﹣k＜2013，解得：﹣2012＜k≤﹣2011．【考点7 解不等式（组）】【例7】(2023秋•江干区期末）解不等式组6x+8＞4x+9x+113≤5−x，并把不等式组的解在数轴上表示出来．【解题思路】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答过程】解：6x+8＞4x+9①x+113≤5−x②，解不等式①，得x＞0.5，解不等式②，得x≤1，所以不等式组的解集是0.5＜x≤1，在数轴上表示为：．【变式7-1】(2023春•宽城县期末）小明解不等式1+x2−2x+13≤1的过程如下．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．解：去分母，得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤1…①去括号，得：3+3x﹣4x+1≤1…②移项，得：3x﹣4x≤1﹣3﹣1…③合并同类项，得：﹣x≤﹣3…④两边都除以﹣1，得：x≤3…⑤（1）错误的步骤有 　3　处，分别为 　①②⑤　．（填序号）（2）请写出正确解答过程．【解题思路】（1）根据小明的解题步骤找出错误的步骤即可；（2）根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得．【解答过程】解：（1）3，①②⑤，故答案为：3，①②⑤；（2）正确的解答过程：去分母，得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6①，去括号，得：3+3x﹣4x﹣2≤6②，移项，得：3x﹣4x≤6﹣3+2③，合并同类项，得：﹣x≤5④，两边都除以﹣1，得：x≥﹣5⑤．【变式7-2】(2023秋•相城区期末）若代数式3+x2−1的值不大于4x+36的值时，求x的取值范围．【解题思路】代数式3+x2−1的值不大于4x+36的值，则可以列不等式3+x2−1≤4x+36，解不等式即可求解．【解答过程】解：根据题意得：3+x2−1≤4x+36，去分母，得3（3+x）﹣6≤4x+3，去括号，得9+3x﹣6≤4x+3，移项，得3x﹣4x≤3﹣9+6，合并同类项，得﹣x≤0，系数化成1得x≥0．【变式7-3】(2023春•息县期末）解下面的不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出x的所有整数值．5x+2＞3(x−1)12x−1≤7−32x．【解题思路】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答过程】解：解不等式5x+2＞3（x﹣1），得：x＞−52，解不等式12x﹣1≤7−32x，得：x≤4，则不等式组的解集为−52＜x≤4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【考点8 方程（组）与不等式（组）的实际应用问题】【例8】(2023•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？【解题思路】（1）设购进1件甲种农机具x万元，乙种农机具y万元．由题意：1件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，列出方程组求解即可．（2）根据甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，列出不等式组求解．总资金＝甲农机具的总费用+乙农机具的总费用；（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，由题意得（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，求出其整数解即可得出结果．【解答过程】解：设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元．根据题意得：2x+y=3.5x+3y=3，解得x=1.5y=0.5，答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元．（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，根据题意得：1.5m+0.5(10−m)≥9.81.5m+0.5(10−m)≤12，解得：4.8≤m≤7．∵m为整数．∴m可取5、6、7．∴有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．设总资金为w万元．w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5．∴m＝5时，w最小＝5+5＝10（万元）．m＝6时，w最小＝6+5＝11（万元）．m＝7时，w最小＝7+5＝12（万元）．∴方案一需要资金最少，最少资金是10万．（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，由题意得：（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，其整数解：a=0b=15或a=3b=7，∴节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．【变式8-1】(2023秋•南岗区校级月考）哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【解题思路】（1）设该车队有载重量8吨的卡车x辆，载重量10吨的卡车y辆，由题意：某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．列出方程组，解方程组即可；（2）设购进载重量8吨的卡车m辆，则购进载重量10吨的卡车（6﹣m）辆，根据该车队需要一次运输残土不低于166吨，列出一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可．【解答过程】解：（1）设该车队有载重量8吨的卡车x辆，载重量10吨的卡车y辆，依题意，得：x+y=128x+10y=110，解得：x=5y=7，答：该车队有载重量8吨的卡车5辆，载重量10吨的卡车7辆．（2）设购进载重量8吨的卡车m辆，则购进载重量10吨的卡车（6﹣m）辆，依题意，得：110+8m+10（6﹣m）≥166，解得：m≤2，∴m可取的最大值为2．答：最多购进载重量8吨的卡车2辆．【变式8-2】(2023春•甘井子区期末）某化工厂与A、B两地都分别有公路、铁路相连，从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知3t产品的销售款比4t原料的进货款多20000元，2t产品的销售款比1t原料的进货款多15000元．（1）求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？（2）如表为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（t•km），铁路运价为1.2元/（t•km），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，求这批原料比产品多多少吨？（3）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20t，若要增加at的产品，就要再购买85at的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？【解题思路】（1）设每吨原料的进货款为x元，每吨产品的销售款为y元，依题意列出方程组，解方程组即可求解；（2）利用表格中的信息列出方程组，解方程组得出原料与产品的吨数即可得出结论；（3）依据题意列出不等式组即可解答．【解答过程】解：（1）设每吨原料的进货款为x元，每吨产品的销售款为y元，依题意得：3y−4x=200002y−x=15000，解得：x=1000y=8000．答：每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元．（2）设该化工厂购进原料m吨，销售产品y吨，依题意得：1.5×10m+1.5×20n=150001.2×120m+1.2×110n=97200，解得：m=400n=300．∴m﹣n＝100．答：这批原料比产品多100吨．（3）设工厂原计划从A地购买的原料为b吨，则送往B地的产品为（20﹣b）吨，∵原料总重量是产品总重量的2倍，∴b+85a＝2（20﹣b+a）．解得：b=403+215a．则原料的总重量为：b+85a=（403+2615a）吨，产品的总重量为：12（b+85a）＝（203+1315a）吨．∵产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，∴8000（203+1315a）﹣1000（403+2615a）≥66000．解得：a≥5．∴85a≥8．答：至少需要再购买8吨的原料．【变式8-3】(2023春•通川区期末）某工厂用A，B两种原件组装成C，D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件．（1）现有A原件162个，B原件340个，若要组装C，D两种产品共100个，设组装C产品x个．①根据题意，完成下面表格：②按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？（2）现有A原件162个，B原件a个，组装C，D两种产品，A，B两种原件均恰好用完，已知290＜a＜306，求a的值．【解题思路】（1）①根据A，B两种原件组装成C，D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件，直接得出答案即可．②设组装C产品x个，根据现有A原件162个，B原件340个，若要组装C，D两种产品共100个，列出不等式，求出x的取值范围，再根据x为整数，即可得出生产方案；（2）设生产C产品m件，生产D产品n件，根据A原件162个，B原件a个，列出方程组，求出m+n的值，再根据290＜a＜306，即可求出a的值．【解答过程】解：（1）①根据题意，填表如下：故答案为：2（100﹣x），4x；②根据题意得：x+2(100−x)≤1624x+3(100−x)≤340，解得：38≤x≤40，∵x为整数，∴x＝38，39，40，∴共有3种生产方案，方案一：生产C产品38件，生产D产品62件；方案二：生产C产品39件，生产D产品61件；方案三：生产C产品40件，生产D产品60件；（2）设生产C产品m件，生产D产品n件，根据题意得：m+2n=162①4m+3n=a②，①+②得：5m+5n＝a+162，m+n=a+1625，∵m+n为正整数，290＜a＜306，∴a＝293，298，303． A地B地公路段路程（km）1020铁路段路程（km）120110 原件 产品 C（件） D（件） A（个） x　2（100﹣x）　  B（个）　4x　 3（100﹣x） 原件 产品 C（件） D（件） A（个） x2（100﹣x）  B（个）4x 3（100﹣x）