北师大版八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》（新课标同步教学设计）

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北师大版八年级数学下册 第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》（新课标同步教学设计）一、个人备课情况1 不等关系2 不等式的基本性质3 不等式的解集4 一元一次不等式第1课时 一元一次不等式及其解法4 一元一次不等式第2课时 一元一次不等式的应用5 一元一次不等式与一次函数第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系5 一元一次不等式与一次函数第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用6 一元一次不等式组第1课时 一元一次不等式组的概念及解法6 一元一次不等式组第2课时 一元一次不等式组的实际应用第二章本章所需课时数9课时课标要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解不等式；掌握必要的运算技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用不等式进行表述的方法.2.通过用不等式表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识.3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.4.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质.5.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题.教材分析第1节“不等关系”用实例引入，使学生在归纳的过程中认识不等式模型，体会到生活中的不等关系大量存在，并初步建立用不等式模型解决简单实际问题的应用意识.第2节“不等式的基本性质”类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，让学生经历类比、猜想、尝试、归纳、得出结论的合情推理过程，探索不等式的三条基本性质，使学生能够将不等式进行简单转化.第3节“不等式的解集”用烟花引火线的实例引入，在建立不等式之后研究其解集及数轴表示，让学生结合实际意义来理解不等式的解集，并引导学生感受不等式的解与方程的解的异同.第4节“一元一次不等式”经历认识一元一次不等式的概念、求解一元一次不等式，以及应用一元一次不等式的过程，逐步积累数学活动经验.本节设计了大量实际问题，如打折销售、知识竞赛等，意图是进一步培养学生的数学应用意识.第5节“一元一次不等式与一次函数”研究一元一次不等式与一次函数的联系，发展学生对数学的综合认识，建立数学学科内部知识之间的联系，完善学生的认知结构，并运用这种联系解决一些简单的实际问题，发展学生的应用意识.第6节“一元一次不等式组”将解一元一次不等式组的问题转化为解一元一次不等式的问题，再借助数轴确定其解集.主要内容本章首先通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念.然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示，一元一次不等式的解法，以及一元一次不等式的简单应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集和一元一次不等式组的解法.教学目标1.经历将一些简单的实际问题抽象为不等式的过程，进一步体会模型思想，建立符号意识.2.结合具体问题，了解不等式的意义.3.探索并掌握不等式的基本性质.4.理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会用数轴确定其解集.5.通过用数轴表示不等式（组）的解的过程，发展几何直观.6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理，发展应用意识.7.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别.8.进一步感受数学和生活的联系，体会数学的价值.教学重难点教学重点：一元一次不等式与一元一次不等式组的解法及其应用.教学难点：列一元一次不等式（组）解决实际问题.教与学建议数学教学是数学活动的教学，是师生交往、互动和共同发展的过程.教学中，要将学生推到学习的前沿，注重发挥学生的学习主体性和主观能动性.1.关注与已有知识的联系，提高学生的思维能力.2.设置丰富的问题情境，体会知识的发生、发展过程.3.以基础知识为载体发展运算能力.4.恰当把握实际背景题目的难度，关注学生多角度的思考.5.关注学生的个体差异，提高学生的学习积极性.章节课时分配1 不等关系 （1课时）2 不等式的基本性质 （1课时）3 不等式的解集 （1课时）4 一元一次不等式 （2课时）一元一次不等式及其解法 一元一次不等式的应用 5 一元一次不等式与一次函数 （2课时）一元一次不等式与一次函数的关系 一元一次不等式与一次函数的综合应用 6 一元一次不等式组 （2课时）一元一次不等式组的概念及解法 一元一次不等式组的实际应用 课题1 不等关系授课类型新授课授课人教学内容课本P37-39教学目标1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义，初步体会不等式是刻画量与量之间关系的一种重要模型.2.经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展符号意识.3.会用不等号表示简单的不等关系；能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义.教学重难点重点：通过探究实际问题中的不等式关系，认识不等式。难点：找出实际问题中的不等关系，并列出不等式。教学准备多媒体课件教与学互动设计（教学过程）设计意图创设情景，导入新课展示生活中的数学问题：我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。同时，我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。阅读下面的材料，找出其中的不等关系：年龄不到12岁的明明身高已经高于165 cm，今天的温度不超过20℃，他想步行去离家1 km多的超市，购买某种果汁.这种果汁标明的果汁含量大于等于30%，保质期为12个月，价格不到15元.明明购买完后，返回家中，明明从出门，到返回家中用时不超过60分钟.你还能举出其他不等关系的例子吗？这些不等关系应怎样表示呢？（板书课题：1 不等关系）通过这一活动，希望学生从实际生活中去体会不等关系如相等关系一样处处存在，为探究活动拉开序幕.2.实践探究，学习新知【探究1】不等式的概念想一想如图，用两根长度均为cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.1.如果要使正方形的面积不大于25，那么绳长应满足怎样的关系式？2.如果要使圆的面积不小于100 ,那么绳长应满足怎样的关系式？3.l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？改变l的取值再试一试，你能得到什么猜想？师生活动：教师出示问题，让学生尝试自主解答上述问题，教师注意引导。学生归纳：1.要使正方形的面积不大于25 cm²，就是，即.2.要使圆的面积不小于100 cm²，就是，即.3.当l=8时，正方形的面积为（cm2），圆的面积为（cm2），，此时圆的面积大.当l=12时，正方形的面积为（cm2），圆的面积为（cm2），，此时还是圆的面积大.说明改变l的取值，仍能得到相同的结论.学生猜想：用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和一个圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即【归纳总结】教师引导学生得出结论：用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和一个圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积.【探究2】列不等式做一做（1）铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160 cm.设行李的长、宽、高分别为a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄。通常规定以树干离地面1.5 m的地方为测量部位。某树栽种时的树围为6 cm，在一定生长期内每年增加约3 cm，设经过x 年后这棵树的树围超过30 cm，请你列出x满足的关系式.师生活动：教师出示问题，让学生尝试解答上述问题，教师注意引导。学生归纳：（1）.（2）6+3x>30.教师总结：注意“不超过”用“≤”表示、“超过”用“＞”表示.教师追问：议一议：观察由上述问题得到的关系式：，a + b + c ≤ 160，6 + 3x > 30，它们有什么共同特点？教师引导学生归纳：关系式的左右两边不相等.这些关系式都是用不等号连接的式子。【归纳总结】一般地，用不等号“>”（或“≥”），“”（或“≥”），“:大于、比……大、超过；a”或“x b±c；如果a c.3.同向可加性：若a>b，c>d，则a+cπ，所以，所以，即.【教材例题】将不等式化成“x>a”或“x–1；（2）–2x>3.学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师活动：教师注意引导，注意让学生说出每一步的依据.解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加5，得x>–1+5，即x>4.（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以–2，得xa”或“x5成立吗？学生解答：x=4，5不能使x>5成立，x=6，7.2能使x>5成立.（2）你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗？学生解答：x=8，9，10，1 000都能使x>5成立.教师追问：1.你能否根据方程的解来类比推出不等式的解的概念？不等式的解唯一吗？2.判断一个数是不是不等式的解，方法是什么？3.把不等式的所有解组合在一起，我们应该称它为什么？4.什么是解不等式？师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师注意适时引导.【归纳总结】1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.3.不等式的解集必须满足两个条件:（1）解集中的任何一个数值都使不等式成立;（2）解集外的任何一个数值都不能使不等式成立.4.求不等式解集的过程叫做解不等式．5.判断一个数值是否是不等式的一个解只需代入验证即可．如果解集内有一个数能够使不等式不成立或解集外有一个数能够使不等式成立，那么这个解集就不是这个不等式的解集．【探究3】不等式的解集的表示方法师生活动：1.既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见解。2.在小组展示、交流质疑的基础上，教师引导学生掌握在数轴上表示不等式的解集的正确方法.教师提问：请同学们用自己的方式将不等式x＞5的解集和不等式x－5≤－1的解集x≤4分别表示在数轴上，并与同伴进行交流。解：（1）不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示.在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.（2）不等式x–5≤–1的解集是x≤4，可以用数轴上表示4的点的左边部分来表示.在数轴上表示4的点的位置上画实心圆圈，表示4在这个解集内.【归纳总结】用数轴表示不等式解集的一般方法：①画数轴；②定边界点，注意边界点是实心还是空心；若边界点在解集内，则是实心圆点；若边界点不在解集内，则是空心圆圈；③定方向，原则是“小于向左，大于向右”；用数轴表示不等式的解集，体现了一种重要的数学思想——数形结合思想．一方面可以让学生再次体验不等式是刻画量与量之间关系的有效模型，另一方面也可让学生感受到不等式的解集在现实生活中的意义.以问题串的形式，使学生产生探索的欲望，从而引出不等式的解集并加以巩固，使学生易于接受和理解.通过引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系，知道不等式的解集也可用数轴表示，同时，引导学生体验用数轴表示不等式的解集具有直观的优越性，以增强学生数形结合的能力.3.学以致用，应用新知考点1 不等式的解集例 在﹣1，0，1，中，能使不等式2x﹣1＜x成立的数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：C变式训练 下列数是不等式5x﹣3＜6的一个解的是（ ）A． B．2 C． D．3答案：A考点2 不等式解集的表示方法例 不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C． D．答案：C变式训练 已知一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是（ ）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2答案：C通过例题讲解，巩固理解不等式解集的概念及表示方法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。通过变式训练巩固所学知识，灵活不等式解集的概念及表示方法解决问题。4.随堂训练，巩固新知1.下列解集中，包括2的是（ ）A．x＜2 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞2答案：C2.不等式2x﹣1≤5的解集是（ ）A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x＞3答案：A3.在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝﹣2a+b，例如：2▲3＝﹣2×2+3＝﹣1．已知不等式x▲k≥2的解集在数轴上如图所示，则k的值是（ ）A．2 B．﹣3 C．6 D．﹣4答案：C4.不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D．答案：B为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。5.课堂小结，自我完善通过本节课的学习，你学到了哪些知识？1、学习了什么是不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念2、会探索简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上。3、用数轴表示解集时的注意事项。通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。6.布置作业课本P44习题2.3中的T1—T4.板书设计3 不等式的解集一、不等式的概念1.不等式的解2.不等式的解集3.解不等式二、用数轴表示不等式的解集1.实心点与空心圈2.方向投影区学生活动区提纲掣领，重点突出。教后反思教师在教学过程中应充分领会教材，注重知识的衔接，在教学中充分体现数形结合思想的渗透，设置问题情境让他们有兴趣参与探究、学习，从而去思考。教学中重点放在不等式解集的探索过程。在教学中要充分体现学生的积极参与和合作交流。通过教师的引入让学生体会采用类比方程的解得到不等式的解的定义，进一步通过问题情况的引入，积极参与交流探索，通过老师的引导，理解不等式的解和解集的意义。在学生自主练习、小组展示和交流质疑的过程中，能及时发现学生的不同见解及思维误区，并及时进行纠正指导。在给予学生充分交流的同时，老师要积极参与，并不时纠正不正确的思维。在小组活动中，老师应给予学生充分的启发引导，对合作交流中出现的问题要及时更正，对困难学生要给予帮助，使小组合作学习更具有实效性。反思，更进一步提升。课题第1课时 一元一次不等式及其解法授课类型新授课授课人教学内容课本P46-48教学目标1.知识与技能：会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。2.过程与方法：让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法。3.情感与态度：通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。教学重难点重点：掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。难点：一元一次不等式的解法。教学准备多媒体课件教与学互动设计（教学过程）设计意图1.创设情景，导入新课展示生活中的数学问题：问题1：小明要从甲地到乙地，两地相距1千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为200米/分，若他经过15分钟从甲地到达乙地，则需要跑步多少分钟？（1）设他需要跑步x分钟，请写出x满足的关系式；（2）这个关系式我们称之为什么？问题2：如果把“经过15分钟”改为“在不超过15分钟的时间内”，其他条件不变.（1）此时你能列出什么关系式？（2）这个关系式叫做什么？（板书课题：第1课时 一元一次不等式及其解法）结合实际生活情景，通过先列出一元一次方程回顾其定义，然后变式得到一个一元一次不等式，让学生猜测其概念，激发学生学习兴趣，引出新课.2.实践探究，学习新知【探究1】一元一次不等式的概念观察下列不等式：教师提问：这些不等式有哪些共同点？学生结论：①不等式的两边都是整式；②只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1. 教师追问：根据一元一次方程的概念，你们能归纳出一元一次不等式的概念吗？【归纳总结】不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.【探究2】解一元一次不等式例1 解不等式3-x0时x的取值范围.在图象中表示为x轴上方的部分所对应的自变量取值范围.（3）对应一次函数的函数值1时x的取值范围.在图象中表示为直线y=1上方的部分所对应的自变量取值范围.解：（1）当y=0时，2x－5=0。∴x=,∴当x=时，2x－5=0。（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0，解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知y＞0。因此当x＞时，2x－5＞0；（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0；（4）要使2x－5＞3，也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3。教师追问：想一想：如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＜1?你是怎样求解的？与同伴交流.学生归纳：方法一：转化为解不等式；方法二：利用函数图象求解.【归纳总结】任何一元一次不等式都可以化为或(a、b为常数且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式，可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围；或者看作：当一次函数图象在x轴上(下)方时，求自变量的取值范围．【探究2】一元一次不等式与一次函数的实际应用做一做兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时哥哥追上弟弟？（2）何时弟弟跑在哥哥前面？（3）何时哥哥跑在弟弟前面？（4）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？你是怎样求解的？与同伴交流.教师点拨：在回答第（3）题时，过y轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.教师点拨：其他方法：也可用列方程找到哥哥追上弟弟的时间，也可直接解不等式解决问题。解:设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得y1=4x,y2=3x+9.函数图象如图：从图象上来看：（1）9s时哥哥追上弟弟（2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；（3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；（4）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m.【归纳总结】1.一元一次不等式kx+b>0（kx+b0的解集表示直线y=kx+b在x轴上方的部分所对应的自变量取值范围.（2）kx+ba（kx+ba的解集表示直线y=kx+b在直线y=a上方的部分所对应的自变量取值范围.（2）kx+b