湘教版七年级下册5.2 旋转课时训练

这是一份湘教版七年级下册5.2 旋转课时训练，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）如图，在中，， ，将绕点逆时针旋转75°，得到，则 的度数为（ ）
A．75°B．90°C．120°D．165°
2．(2023·北京九年级专题练习）在中，，．在同一平面内，将绕点旋转到△，若恰好落在线段上，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·天津九年级学业考试）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在的 上，点的对应点为，交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·江苏九年级专题练习）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．(2023·广东九年级专题练习）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国八年级课时练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α
7．(2023·山东临沂市·九年级期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
8．(2023·江门市蓬江区荷塘雨露学校九年级一模）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·全国八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．65°
二、填空题
10．(2023·郑州市中原区第一中学八年级期中）如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为_________．
11．(2023·句容市教师发展中心八年级期中）如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝_______．
12．(2023·陕西九年级专题练习）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________．
13．(2023·江西宜春市·九年级期中）如图，将的斜边AB绕点A顺时针旋转得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转得到AF，连结EF．若，，且，则_____．
14．(2023·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为____.
15．(2023·山东省济南稼轩学校九年级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．
16．(2023·江苏九年级专题练习）如图，在中，，．将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是____________．
17．(2023·湖北孝感市·九年级月考）如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．
18．(2023·全国专题练习）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A= °.
19．(2023·浙江省温岭市第四中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．
20．(2023·山西九年级专题练习）如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是__.
21．(2023·江苏九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是___．
22．(2023·山西九年级专题练习）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=_____．
三、解答题
23．(2023·广东广州市·九年级期末）如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转恰好得到， 其中，是对应点，若，求的度数．
24．(2023·灵宝市实验中学九年级期中）已知，P为等边三角形内一点，且BP=3，PC=4，将BP绕点B顺时针旋转60°至BP′的位置．
（1）试判断△BPP′的形状，并说明理由；
（2）若∠BPC=150°，求PA的长度．
25．(2023·重庆市松树桥中学校八年级月考）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4．求CD的长．
26．(2023·江苏南通市·九年级其他模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．
（1）求△ADE的周长的最小值；
（2）若CD=4，求AE的长度．
27．(2023·恩施市龙凤镇民族初级中学九年级月考）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．
28．(2023·江苏南通市·南通田家炳中学九年级月考）如图，点 O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝105°，∠BOC 等于α，将△BOC 绕点 C 按 顺时针方向旋转 60°得△ADC，连接 OD.
（1）求证：△COD 是等边三角形．
（2）求∠OAD 的度数．
（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
参考答案
1．C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质求解即可．
解：∵在中，， ，
∴，
又∵将绕点逆时针旋转75°，得到，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
2．B
【分析】由旋转的性质和直角三角形的性质可得BC=B'C，AC=A'C，∠BCB'=∠ACA'，∠B'A'C=∠BAC=25°，由等腰三角形的性质可求∠BCB'=50°=∠ACA'，∠BAA'=90°，即可求解．
解：在中，，，
，
将绕点旋转到△，
，，，，故选项不符合题意，
，
，故选项不符合题意，
，
，
，故选项不符合题意，
不是等边三角形，
，故选项符合题意，
故选：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．
3．C
【分析】先根据旋转性质得出△ABD和△CBE相等的等腰三角形，再根据等边对等角和等角对等边进行判断即可
解：设,由旋转性质得:
，BC=BE，BA=BD，
即△ABD和△CBE都为顶角为等腰三角形；
，故C正确，
即，故D错误，
在等腰△BCE中，，
在△BFC中,
，
；故B错误
，
,
；故A错误
故选：C
【点拨】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，解题时注意：旋转前、后的图形全等．
4．C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5．D
【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=,
∴选项A、C不一定正确
∴∠A =∠EBC
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
6．C
【解析】
分析：根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．
详解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠ADB＋∠ACB＝180°，
∵∠ADB＋∠DBC＋∠BCA＋∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°−α，
故选C．
点拨：本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．B
【详解】
∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，
故选B．
8．C
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．
解：设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB.
∴∠=∠B.
∵，∴∠C=∠CA=x°.
∴∠=∠C+∠CA=2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴的度数为24°.
故选：C.
【点拨】
本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.
9．C
解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选C．
10．20°
【分析】根据△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，可得∠ACA′=40°，AC=A′C，利用等边对等角得∠CAA′=∠CA′A，可求∠AA′C，由AC⊥A'B'，可求∠B′A′C=90°-∠ACA′=50°，计算∠AA'B'=∠AA′C-∠B′A′C即可．
解：∵△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，
∴∠ACA′=40°，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠CA′A，
∴∠AA′C=，
∵AC⊥A'B'，
∴∠B′A′C+∠ACA′=180°-90°=90°，
∴∠B′A′C=90°-∠ACA′=50°，
∴∠AA'B'=∠AA′C-∠B′A′C=70°-50°=20°．
故答案为：20°．
【点拨】本题考查三角形旋转变换性质，等腰三角形性质，直角三角形两锐角性质，掌握三角形旋转变换性质，等腰三角形性质，直角三角形两锐角性质是解题关键．
11．65°
【分析】根据旋转的性质知AB＝AB1，∠BAB1＝50°，然后利用三角形内角和定理进行求解．
解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝50°，
∴∠ABB1＝（180°−50°）＝65°．
故答案为：65°．
【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键．
12．．
【解析】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°，
∴BD===.
故答案为:.
13．
【分析】由旋转的性质可得，，由勾股定理可求EF的长．
解：由旋转的性质可得，，
，且，
故答案为
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
14．24+9．
解：如图，连结PQ，
根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，
再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
即可判定△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6；
在△APC和△ABQ中，AB=AC，∠CAP=∠BAQ，AP=PQ，
利用SAS判定△APC≌△ABQ，
根据全等三角形的性质可得PC=QB=10；
在△BPQ中，已知PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，即PB2+PQ2=BQ2，
所以△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，
所以S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．
故答案为：24+9．
【点拨】本题考查旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．
15．100°
【分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解．
解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．
故答案是：100°．
【点拨】考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出∠CAE=40°．
16．
【分析】先由旋转的旋转证明：为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解，从而可得答案．
解：如图，连接
绕点B逆时针旋转60°， 分别为的中点，

为等边三角形，

为中点，


故答案为：
【点拨】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
17．3
【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴EF=BC=3，AE=AB，
∵DE=EF，
∴AD=DE=3，
∴AE==3，
∴AB=3，
故答案为3.
【点拨】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.
18．55.
【详解】∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C
∴∠ACA’=35°，∠A =∠A’，.
∵∠A’DC=90°，
∴∠A’ =55°.
∴∠A=55°.
考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.
19．42．
【详解】
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=BD=12cm，
在Rt△ACB中，AB===13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），
故答案为42．
考点：旋转的性质．
20．1+
【分析】试题分析：首先考虑到BM所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BM，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AM，∠CAM=60°，故△ACM是等边三角形，可证明△ABM与△CBM全等，可得到∠ABM=45°，∠AMB=30°，再证△AFB和△AFM是直角三角形，然后在根据勾股定理求解
【详解】
解：连结CM，设BM与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BCA=∠BAC=45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ANM重合，
∴∠BAC=∠NAM=45°，AC=AM
又∵旋转角为60°
∴∠BAN=∠CAM=60°，
∴△ACM是等边三角形
∴AC=CM=AM=4
在△ABM与△CBM中，
∴△ABM≌△CBM （SSS）
∴∠ABM=∠CBM=45°，∠CMB=∠AMB=30°
∴在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°
∴∠AFB=∠AFM=90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF=AF=
又在Rt△AFM中，∠AMF=30°，∠AFM=90°
FM=AF=
∴BM=BF+FM=1+
故本题的答案是：1+
点评：此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用
21．．
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
解：∵
∴
过点作轴于点，
∴∠BOA=∠ADC=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAD=90°.
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CAD=∠ABO.
∵AB=AC，
∴.
∴
∴
设直线的解析式为，将点，点坐标代入得
∴
∴直线的解析式为．
故答案为．
【点拨】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等．
22．．
【解析】试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为20°．
23．42°
【分析】
由旋转的性质可得∠DAE＝60°，即可求解．
解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝∠EAD−∠CAD＝42°．
【点拨】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
24．（1）等边三角形，理由见解析；（2）5
【分析】
由已知绕点顺时针旋转至，运用是等边三角形联想：绕点顺时针旋转至，问题转化为将绕点顺时针旋转至，运用旋转的性质解题．
解：（1）’是等边三角形．
理由：绕点顺时针旋转至，
，；
是等边三角形．
（2）是等边三角形，
，，；
在△中，由勾股定理得，
∵,
∴∠ABP=∠CB，
在△ABP和中，
，
∴（SAS）
．
【点拨】
本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
25．（1）见解析；（2）．
【分析】
(1)根据AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD证△ACE≌△BCD即可；
(2)连接DE，可得△DCE是等边三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，继而在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE的长，即可求得CD．
【详解】
(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
由旋转的性质可得：
CE=CD，∠DCE=60°，
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
(2)连接DE．
∵CD=CE，∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形．
∴∠CDE=60°，DC=DE．
∵∠ADC=30°，
∴∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，BD=4，
∴AE=BD=4．
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得．
∴DC=DE=．
【点拨】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，连接DE发现等边三角形与直角三角形是解题的关键．
26．（1）6+；（2）3﹣或3+
【分析】
（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论；
（2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
∴AB=AC=6，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，
∴当DE最小时，△ADE的周长最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3，
∴△ADE的周长的最小值是6+3；
（2）当点D在CF的右侧，
∵CF=AB=3，CD=4，
∴DF=，
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；
当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+，
综上所述：AE的长度为3﹣或3+．
【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．
27．（1）60°；（2）
【分析】
（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
【详解】
（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=60°，∴∠DCO=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°；
（2）由旋转的性质得：AD=OB=2．
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO．
【点拨】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，得出△ODC为等边三角形是解题的关键．
28．（1）证明见解析；（2）45°；（3）105°，127.5°或 150°.
【解析】
分析：（1）由旋转的性质得到△BCO≌△ACD， 再由全等三角形对应边相等得到OC＝CD，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质、三角形内角和定理以及旋转的性质即可得出结论．
（3）若△AOD 是等腰三角形 ，分三种情况讨论即可．
详解：（1）∵△BOC 旋转 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，且∠OCD＝60°，则△OCD 是等边三角形；
（2）∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAO＋∠OAC＝60°，∠ABO＋∠OBC＝60°．
∵∠AOB＝105°，∴∠BAO＋∠ABO＝75°，∴∠OAC＋∠OBC＝120°﹣105°＝45°．
∵△BOC 旋转 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，
∴∠DAC＝∠OBC ，∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝45°．
（3）若△AOD 是等腰三角形 ．∵由（1）知△OCD 是等边三角形，∴∠COD＝60°．
由（2）知∠OAD＝45°， 分三种情况讨论：
①当 OA＝OD 时，∠AOD＝90°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣90°＝105°；
②当 OA＝AD 时，∠AOD＝67.5°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣67.5°＝127.5°；
③当 AD＝OD 时，∠AOD＝45°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣45°＝150°．
综上所述：当α＝105°，127.5°或 150°时，△AOD 是等腰三角形 ．
点拨：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．解题的关键是要分类讨论．