统考版2024高考数学二轮专题复习专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质理，共10页。试卷主要包含了函数的三要素，分段函数，函数的奇偶性，函数的周期性等内容，欢迎下载使用。

1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
例 1(1)[2023·宁夏回族自治区银川一中二模]下列函数中，定义域和值域不相同的是( )
A．y＝－x B．y＝ eq \r(x)
C．y＝ eq \f(2,x) D．y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x≤0,x＋2，x>0))
(2)[2023·江苏省镇江市扬中市检测]给出下列说法，正确的是( )
A．若函数f(x)＝ eq \f(k－3x,1＋k·3x)在定义域上为奇函数，则k＝1
B．已知f(x)＝lg (x2＋2x＋a)的值域为R，则a的取值范围是a>1
C．已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域为[－1，3]
D．已知函数f(x)＝1＋lg3x，x∈[1，9]，则函数y＝f2(x)＋f(x2)的值域为[2，14]
[听课记录]
归纳总结
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略
(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．
对点训练
1.[2023·河源市河源中学模拟]函数f(x)＝的定义域为________．
2．[2023·河南省商丘市等2地高三三模]设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1，x≥0，,1＋lg3（3－x），x<0，))f(－6)＋f(lg26)＝________．
考点二 函数的性质及应用——“四性”交汇贯通
1．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
2．函数的单调性
单调性是函数在其定义域上的局部性质．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
3．函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝________．
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝________．
(3)奇函数在关于原点对称的区间内有________的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有________的单调性．
4．函数的周期性
(1)若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为________的周期函数．
(2)若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为________的周期函数．
(3)若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为________的周期函数．
(4)与函数周期性有关的3条结论
①若f(x＋T)＝f(x)，则________是f(x)的一个周期；
②若f(x＋T)＝，则________是f(x)的一个周期；
③若f(x＋T)＝－，则________是f(x)的一个周期．
例 2 (1)[2022·全国乙卷]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
(2)[2023·山师大附中高三模拟]已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是( )
A．f(x＋2)＝f(x)
B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称
C．函数y＝f(x＋1)是奇函数
D．f(2－x)＝f(x－1)
(3)[2022·全国乙卷]若f＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
[听课记录]
归纳总结
高考常考函数四个性质的应用
(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|)；
(2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；
(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；
(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题．
对点训练
1.[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
2．[2021·全国甲卷]设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝( )
A．－ B．－ C． D．
考点三 函数的图象及应用——识图用图，数形结合
作函数图象有两种基本方法
一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
例 3 (1)[2022·全国乙卷]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
(2)已知函数f(x)是定义在[2，＋∞)的单调递增函数，若f(2a2－5a＋4)A．
B．[2，6)
C．
D．(0，6)
(3)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
归纳总结
识图、用图的方法技巧
(1)识图：①从函数的定义域判断函数图象的左右位置，从函数的值域判断函数图象的上下位置，②从函数的单调性判断函数图象的变化趋势，③从函数的奇偶性判断函数图象的对称性，④从函数的周期性判断函数图象的变化规律，⑤分析函数解析式，取特殊值排除不符合要求的图象．
(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．
对点训练
1.[2022·全国甲卷]函数y＝(3x－3－x)cs x在区间的图象大致为( )
2．[2023·全国甲卷]已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f( eq \f(\r(2),2))，b＝f( eq \f(\r(3),2))，c＝f( eq \f(\r(6),2))，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
3．函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( )
A．－≤a<0 B．a≤－
C．－1≤a≤－D．a≤－1
考点四 新定义下的函数 [交汇创新]——紧扣定义，学会翻译，知识转化，顺利获解
新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型：即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型：即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．
例 4 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝；
④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是( )
A．①②③④ B．①③④
C．①④D．④
归纳总结
本题意在考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
对点训练
设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“☆函数”. 给出下列四个函数：①y＝x＋3；②y＝x2－4x＋5；③y＝x3－5；④y＝|2x－x2|.则其中是“☆函数”的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第1讲 函数的图象与性质
考点一
[例1] 解析：（1）对于A：函数y＝－x＋2的定义域为R，值域也为R，不符合题意；
对于B：函数y＝ eq \r(x)的定义域和值域都为[0，＋∞），不符合题意；
对于C：y＝ eq \f(2,x)的定义域和值域都为{x|x≠0}，不符合题意；
对于D：y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x≤0,x＋2，x>0))的定义域为R；
当x≤0时，y＝x－2≤－2；当x>0时，y＝x＋2>2；
所以值域为（－∞，－2]∪（2，＋∞），定义域和值域不相同，符合题意．故选D.
（2）选项A：函数f（x）＝ eq \f(k－3x,1＋k·3x)在定义域上为奇函数，
则f（－x）＝－f（x），即 eq \f(k－3－x,1＋k·3－x)＝－ eq \f(k－3x,1＋k·3x)，即 eq \f(3x（k－3－x）,3x（1＋k·3－x）)＝－ eq \f(k－3x,1＋k·3x)，
即 eq \f(k·3x－1,k＋3x)＝ eq \f(3x－k,1＋k·3x)，整理得k2·9x－1＝9x－k2，即（k2－1）（9x＋1）＝0，
所以k2－1＝0，解得k＝±1，
当k＝1时，f（x）＝ eq \f(1－3x,1＋3x)，该函数定义域为R，满足f（－x）＝－f（x），符合题意，
当k＝－1时，f（x）＝ eq \f(－1－3x,1－3x)＝ eq \f(3x＋1,3x－1)，由3x－1≠0可得x≠0，此时函数定义域为{x|x≠0}，满足f（－x）＝－f（x），符合题意，
综上所述k＝±1，选项A说法错误；
选项B：因为f（x）＝lg （x2＋2x＋a）的值域为R，
所以函数y＝x2＋2x＋a的值域M满足（0，＋∞）⊆M，
所以Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，所以B说法错误；
选项C：由x∈[－1，1]得2x＋1∈[－1，3]，所以f（x）的定义域为[－1，3]，选项C说法正确；
选项D：因为函数f（x）＝1＋lg3x，x∈[1，9]，
所以y＝f2（x）＋f（x2）＝（1＋lg3x）2＋1＋lg3x2＝（lg3x）2＋4lg3x＋2，x∈[1，3]，
当x∈[1，3]时，lg3x∈[0，1]，
令lg3x＝t，t∈[0，1]，则t2＋4t＋2＝（t＋2）2－2∈[2，7]，
即函数y＝f2（x）＋f（x2）的值域为[2，7]，选项D说法错误．故选C.
答案：（1）D （2）C
对点训练
1．解析：由题意可知lg2（2x2－9x＋14）－2>0，而以2为底的对数函数是单调递增的，
因此2x2－9x＋14>4，求解可得x<2或x> eq \f(5,2).
答案：（－∞，2）∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
2．解析：f（－6）＝1＋lg3（3＋6）＝1＋2＝3，
lg26－1＝lg2 eq \f(6,2)＝lg23，
f（lg26）＝2lg23＝3，
f（－6）＋f（lg26）＝3＋3＝6.
答案：6
考点二
3．（1）f（|x|） （2）0 （3）相同 相反
4．（1）2a （2）2|a| （3）4|a| （4）|T| 2|T| 2|T|
[例2] 解析：（1）若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，则g（2－x）＝g（2＋x）.因为f（x）＋g（2－x）＝5，所以f（－x）＋g（2＋x）＝5，所以f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．由g（2）＝4，f（0）＋g（2）＝5，得f（0）＝1.由g（x）－f（x－4）＝7，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5，得f（x）＋f（－x－2）＝－2，所以f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由f（x）＋f（－x－2）＝－2，f（－x）＝f（x），得f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（x＋2）＋f（x＋4）＝－2，所以f（x＋4）＝f（x），所以f（x）为周期函数，且周期为4.由f（0）＋f（2）＝－2，得f（2）＝－3.又因为f（3）＝f（－1）＝f（1）＝－1，所以f（4）＝－2－f（2）＝1，所以 eq \i\su(k＝1,22,)f（k）＝6f（1）＋6f（2）＋5f（3）＋5f（4）＝6×（－1）＋6×（－3）＋5×（－1）＋5×1＝－24.故选D.
（2）对于A选项，因为f（－x）＋f（x）＝0，且f（1－x）＝f（1＋x），
则f（1－（1＋x））＝f（1＋（1＋x）），即f（x＋2）＝－f（x），A错；
对于B选项，因为f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
因为f（－x）＋f（x）＝0，则f（－（2＋x））＋f（2＋x）＝0，
即f（2＋x）＝－f（－2－x）＝－f（2－x），即f（2＋x）＋f（2－x）＝0，
故函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称，B对；
对于C选项，因为f（1－x）＝f（1＋x），故函数y＝f（x＋1）是偶函数，C错；
对于D选项，因为f（1－x）＝f（1＋x），则f（1＋1－x）＝f（1－（1－x）），即f（2－x）＝f（x）≠f（x－1），D错．故选B.
（3）本题先采用特殊值法求出f（x），再检验正确性．因为f（x）为奇函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝0，,f（2）＋f（－2）＝0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln |a＋1|＋b＝0 ①，,ln |a－1|＋ln \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)))＋2b＝0 ②.))
由①可得－b＝ln |a＋1| ③.将③代入②可得， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(（a－1）（a＋\f(1,3)）)) ＝|a＋1|2.当（a－1）（a＋ eq \f(1,3) ）＝（a＋1）2时，解得a＝－ eq \f(1,2) .把a＝－ eq \f(1,2) 代入①，可得b＝ln 2，此时f（x）＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x))) ＋ln 2＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x))) ，所以f（－x）＋f（x）＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x))) ＋ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x))) ＝ln 1＝0，所以f（x）为奇函数，且f（0），f（2），f（－2）均有意义．当（a－1）（a＋ eq \f(1,3) ）＝－（a＋1）2时，整理可得a2＋ eq \f(2,3) a＋ eq \f(1,3) ＝0，此时Δ＝ eq \f(4,9) －4× eq \f(1,3) <0，所以a无解．综上可得，a＝－ eq \f(1,2) ，b＝ln 2.
答案：（1）D （2）B （3）－ eq \f(1,2) ln 2
对点训练
1．解析：方法一 由题意得y＝x（x－a）在区间（0，1）单调递减，所以x＝ eq \f(a,2) ≥1，解得a≥2.故选D.
方法二 取a＝3，则y＝x（x－3）＝（x－ eq \f(3,2) ）2－ eq \f(9,4) 在（0，1）单调递减，所以f（x）＝2x（x－3）在（0，1）单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D.
答案：D
2．解析：由于f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，所以f（1）＋f（2－1）＝0，得f（1）＝0，即a＋b＝0 ①.由于f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，所以f（0）＋f（3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的周期为4，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) ＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(2) －2＝ eq \f(5,2) .
答案：D
考点三
[例3] 解析：（1）对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故B不符合题意．对于C选项，当x＝3时，y＝ eq \f(6cs 3,10) ＝ eq \f(3,5) cs 3.因为cs 3>－1，所以 eq \f(3,5) cs 3>－ eq \f(3,5) ，与图象不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝ eq \f(2sin 3,10) >0，与图象不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A.
（2）因为函数f（x）是定义在[2，＋∞）的单调递增函数，且f（2a2－5a＋4）所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a2－5a＋4≥2,a2＋a＋4≥2,2a2－5a＋4解得0（3）当－1则f（x）＝ eq \f(1,2)f（x＋1）＝ eq \f(1,2)（x＋1）x；
当1f（x）＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(…,\f(1,2)（x＋1）x，－1由此作出函数f（x）的图象，如图所示．由图可知当2答案：（1）A （2）C （3）B
对点训练
1．解析：设函数f（x）＝（3x－3－x）cs x，则对任意x∈[－ eq \f(π,2)， eq \f(π,2)]，都有f（－x）＝（3－x－3x）cs （－x）＝－（3x－3－x）cs x＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，因此排除B，D选项，又f（1）＝（3－3－1）cs 1＝ eq \f(8,3)cs 1＞0，所以排除C选项．故选A.
答案：A
2．解析：函数f（x）＝e－（x－1）2是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（ eq \f(\r(6),2)）＝f（2－ eq \f(\r(6),2)），又 eq \f(\r(2),2)＜2－ eq \f(\r(6),2)＜ eq \f(\r(3),2)＜1，所以f（ eq \f(\r(2),2)）＜f（2－ eq \f(\r(6),2)）＜f（ eq \f(\r(3),2)），所以b>c>a，故选A.
答案：A
3．解析：因为f（x）＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax2＋x－1，x>2，,ax－1，x≤2))是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,－\f(1,2a)≤2，,2a－1≥4a＋2－1，))
解得a≤－1，故选D.
答案：D
考点四
[例4] 解析：对于函数f（x）＝sin 2x，它的图象只经过一个整点（0，0），所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g（x）＝x3，它的图象（图略）经过整点（0，0），（1，1），…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h（x）＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)，它的图象（图略）经过整点（0，1），（－1，3），…，所以它不是一阶整点函数，排除B.
答案：C
对点训练
解析：由题意，得“☆函数”f（x）的值域关于原点对称，因为y＝x＋3与y＝x3－5的值域都为R，所以这两个函数均为“☆函数”，而y＝x2－4x＋5的值域为[1，＋∞），y＝|2x－x2|的值域为[0，＋∞），故不是“☆函数”，故选B.
答案：B