浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.19 一元二次方程的应用（基础篇）（专项练习）（附参考答案）

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专题2.19 一元二次方程的应用（基础篇）（专项练习）类型一、一元二次方程的应用➽➼传播问题✬✬增长率问题1．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了多少个人？2．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．(1) 第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示）(2) 在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由．3．今年9月中下旬，我市举办了以“山水福地·遇见郴州”为主题的首届旅游发展大会，“半条被子”的故乡汝城县沙洲村也因此迎来了旅游的高峰期，据了解，今年9月份该地接待参观人数为10万人，11月份接待参观人数增加到14.4万人．(1) 求这两个月参观人数的月平均增长率；(2) 按照这个增长率，预计12月份的参观人数是多少？4．在九年级学长斗志昂扬迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视．同学们在八上期末、八下开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的75人满分，到八下半期满分人数上升至108人．(1) 如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；(2) 已知体测满分50分，该年级共340名学生，其中有5名同学因身体原因每次测试只能得到30分．年级计划通过一系列举措，力争在下次测试时满分人数比半期满分人数增加．那么除了满分同学和5名特殊情况同学之外，其余同学至少平均得到多少分，才能使全年级平均分不低于46分？类型二、一元二次方程的应用➽➼握手问题✬✬循环比赛5．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了两份合同，所有公司共签定了90份合同，共有多少家公司参加商品交易会？6．某班级的一个小组同学每两个都握手一次，共握手次，求该小组共有多少人？7．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？8．应用题：某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答）（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？类型三、一元二次方程的应用➽➼图形问题✬✬动态几何问题9．《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在昆明召开．为迎接，昆明某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为36米．当花圃的面积为144平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？10．如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．11．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．用含的式子表示： ， ， ， ， ；当的面积为时，求运动时间；四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．12．如图，在ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4？类型四、一元二次方程的应用➽➼销售问题✬✬数字问题13．年，仪征市某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．(1) 求四、五这两个月的月平均增长率；(2) 从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？14．随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租货公司年初在某地投放了一批共享汽车(1) 据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；(2) 一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？15．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．16．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出件，每天销售该商品所获得的利润为y元．(1) 求y与x的函数关系式；(2) 若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？类型五、一元二次方程的应用➽➼行程问题✬✬工程问题17．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．注：步数×平均步长＝距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x的值；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．18．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21．（1）甲运动4后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？19．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？20．2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．类型六、一元二次方程的应用➽➼图表信息问题✬✬其他问题21．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．(1) 该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）(2) 下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．22．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．（1）当时，请直接写出的值；（2）当时，求的值．23．某工厂生产的某种零件按供需要求分为8个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产件，每件的利润为元，每提高一个档次，每件的利润增加3元，每天的产量将减少2件．请解答下列问题，设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，若该产品一天的总利润为元，求这天生产产品的档次x的值．24．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 参考答案1．平均一个人传染了11个人【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染，根据经过两轮传染后有121人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，，解得：，（舍），答：平均一个人传染了11个人．【点拨】本题主要考查了一元二次方程实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．2．(1) (2) 第二轮传染后不会有63人患病的情况发生【分析】（1）根据每轮的传染中平均一个人传染了x个人，可得答案；（2）根据题意，列出一元二次方程，进而即可判断是否会有63人患病的情况．（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是，故答案为：；（2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下：依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），∵不为正整数，∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生．【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程是关键．3．(1) 这两个月参观人数的月平均增长率为20% (2) 按照这个增长率，预计12月份的参观人数为17.28万人【分析】（1）设参观人数的月平均增长率为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）根据（1）求出的增长率列出算式，计算即可得到结果．（1）解：设参观人数的月平均增长率为，由题意，得：解得，（不合题意，舍去）答：这两个月参观人数的月平均增长率为20%．（2）解：（万人）答：按照这个增长率，预计12月份的参观人数为万人．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解题关键．4．(1) (2) 分【分析】（1）设每次测试满分的人数增加的百分率为x，利用期末满分人数开学初满分人数增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设其他同学平均成绩为y分，根据全校平均分不低于46分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．（1）解：设每次测试满分的人数增加的百分率为x，依题意得：，解得：（不合题意，舍去）．答：每次测试满分的人数增加的百分数为．（2）设其他同学平均成绩为y分，依题意得：，解得：，答：其他同学平均成绩至少为分．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．5．共有10公司参加商品交易会．【分析】每两家公司之间都签定了两份合同，设有家公司参加，则每个公司要签份合同，签订合同共有份，再列方程解方程即可．解：设有家公司参加，依题意，得， 整理得：，解得：（舍去） 答：共有10公司参加商品交易会．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．该小组共有人【分析】设该小组共有人，利用握手的总次数该小组的人数该小组的人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设该小组共有人，依题意可得=66解得x=12或x=-11（舍去）故该小组共有12人．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（1）6；（2）9支【分析】根据赛制为单循环形式场，即可求解；（2）设有 支球队参加比赛，根据题意，列出方程，即可求解．解：（1） （场），答：共进行6场比赛；（2）设有 支球队参加比赛，根据题意得： ，解得： （不合题意，舍去），答：有9支球队参加比赛．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．8．（1）6；（2）13【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为场，与总场数为15场建立方程求出其解即可；（2）用3加上余下的5支球队比赛的总场数即可．解：（1）设应该邀请x支球队参加比赛，依题意得：，解得：或（不合题意，舍去）．答：应邀请6支球队参加比赛；（2）由题可得：（场）．答：实际共比赛13场．【点拨】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键．9．12米【分析】设垂直于墙的一边长为x米．则平行于墙的一边为米，根据题意列出一元二次方程求解即可．解：设垂直于墙的一边长为x米．则平行于墙的一边为米由题意可列方程：整理得，解得，当时，（米）＞20米，不符合题意舍去；当时，（米）答：当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为12米．【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用．解决本题的关键在于用未知数表示长和宽，并求出其面积．10．2cm【分析】设所截去小正方形的边长为，根据题意得到四个小正方形的面积为原矩形面积的20%列方程解答即可．解：设所截去小正方形的边长为，由题意得（舍去），答：所截去小正方形的边长2cm．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找准等量关系列得方程是解题的关键．11．(1) ，，，， (2) 或 (3) 不能，理由见分析【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可；（2）根据，求出，即可；（3）根据，求出；再根据，即可．解：（1）∵从点开始沿边向点以的速度移动，∴，∵，∴，∵动点从点开始沿边向点以的速度移动，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：，，，，．（2）由（1）得，∴当的面积为时，∴，∴，，∴当的面积为时，求运动时间为：或．（3）由（1）得，，当四边形的面积等于，，∴，（舍），∵，∴四边形的面积不能等于时．【点拨】本题考查一元二次方程的知识，动点和几何的综合，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，动点的运动轨迹，三角形的性质．12．经过2秒后PBQ的面积等于4．【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出PQB的面积为×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB=90°．∵∠ABC=30°，∴2QE=QB．∴．设经过t秒后PBQ的面积等于4，则PB=（）cm，QB=2t（cm），QE=t（cm）．根据题意，．．=2，=4．当t=4时，2t=8，8＞7，不合题意舍去，取t=2．答：经过2秒后PBQ的面积等于4．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、一元二次方程的应用，注意求得的值的取舍问题．13．(1) (2) 当商品降价2或3元时，商场获利6240元【分析】设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月的销量=三月的销售量×，即可得出关于x的一元二次方程，解出x即可求解．设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，利用商场月销售利润=每件销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解出m即可求解．解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，依题意得：，解得：，(不符合题意，舍去)，答：四、五这两个月的月平均增长率为．（2）设商品降价m元，则每件获利元，月销量为件，依题意得：，整理得：，解得：，答：当商品降价2或3元时，商场获利6240元．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键．14．(1) 全天包车数的月平均增长率为60% (2) 当租金降价10元时，公司每月获得租金总额为8800元【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为，根据三月份的全天包车数为25次，五月份的全天包车数达到64次列出方程求解即可；（2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可．（1）解：设全天包车数的月平均增长率为，根据题意可得解得：，（不合题意舍去）∴全天包车数的月平均增长率为60%．（2）解：设租金降价元，根据题意可得：化简得：解得：，∵尽可能的减少租车次数，∴∴当租金降价10元时，公司每月获得租金总额为8800元．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．15．24【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2），整理得：3x2-5x-2=0，解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去），∴x+2=4，∴这个两位数为24．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．(1) (2) 20元【分析】（1）根据：每件盈利乘以销售件数等于总盈利额；其中每件盈利等于每件售价减去每件进价，建立等量关系；（2）由每天销售该商品要获得280元的利润，结合（1）列方程即可解出答案；（1）解：根据题意得：；即y与x的函数关系式为；（2）解：根据题意得：，整理得：，解得：，∵要求所有商家商品的利润率不得超过，∴，∴，答：每件商品的售价应定为20元．【点拨】本题考查了一元二次方程和列函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．17．（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步．【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．解：（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）；②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）；故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）；（2）根据题意得，解得（舍去），.则的值为0.1.（3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，500÷（24000−23000）＝0.5（m）．答：王老师这500米的平均步长为0.5米．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．18．（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3．【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可；（2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可．解：(1)当时，（），答：甲运动4后的路程是14；（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4，则，解得：或（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆．19．（1）；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．解：（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天故答案为：；（2）根据题意，得：或 ∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点拨】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．20．（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见分析．【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论；②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2=720，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，解得：m1=4，m2=25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m=4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，化简得：a2-29a+270=0，∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．(1) x（90－x）元 (2) 50度【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．（1）解：∵规定用电x度，∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，∵超过部分按每度元交电费，∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得x（80－x）＝25－10．整理得x2－80x＋1500＝0．解这个方程得x1＝30，x2＝50．根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，∴电厂规定的x≥45，∴x1＝30不合题意，舍去．∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．22．（1）或；（2）或【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可；（2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得．解：（1）由题意可得：，，则或，解得或；（2）由题意得：，，，整理得：，∴，则或，解得或，或．【点拨】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键．23．这天生产产品的档次x的值为6【分析】设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，则每件产品的利润为元，一天可生产件，根据题意得，，进行计算即可得．解：设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，则每件产品的利润为元，一天可生产件，根据题意得，，整理得，，解得，，（不符合题意，舍），即这天生产产品的档次x的值为6．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确的列出一元二次方程．24．(1) (2) 8【分析】（1）设花圃的宽为，面积为，则的长为米，然后根据长方形的面积公式，即可求解；（2）根据题意，列出方程，即可求解．（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为，∴，∵，∴．∴S与x的函数关系式为．（2）解：根据题意得：，即，解得：．∵，∴．答：要围成面积的花圃，的长是8米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及列函数关系式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 月份用电量/度交电费总数/元2月80253月4510