山东省临沂市兰山区临沂第三十五中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题3分，共12小题）
1. 在中，，，，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边解答即可．
【详解】如图，
根据勾股定理得，,
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，作出图形更形象直观．
2. 关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象经过点（1，1）B. 两个分支分布在第二、四象限
C. 两个分支关于x轴成轴对称D. 当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：图象经过点(1,1)为y=，则A错误；k＞0时，反比例函数处于一、三象限，则B错误；反比例函数关于原点成中心对称，则C错误；D正确.
考点：反比例函数的性质.
3. 如图，该几何体的主视图是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，观察图形，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看，可得到图形：
．
故选：B．
4. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ）
A. 5∶8B. 3∶8C. 3∶5D. 2∶5
【答案】A
【解析】
【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案．
【详解】解：，
，
∵DE//BC，
，
∵EF//AB，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
5. 式子的值是（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案：
.故选B.
【详解】请在此输入详解！
6. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合判断，分别求出每个选项中对应函数图象中的k的符号，看是否一致，以及一次函数是否与y轴交于正半轴即可得到答案．
【详解】解；A、一次函数经过第一、二、三象限，则，反比例函数经过第一、三象限，则，即，不符合题意；
B、一次函数经过第一、三、四象限，则，但是一次函数与y轴交于负半轴，不符合题意，反比例函数经过第二、四象限，则，即，不符合题意；
C、一次函数经过第一、二、四象限，则，反比例函数经过第一、三象限，则，即，不符合题意；
D、一次函数经过第一、二、四象限，则，反比例函数经过第一、三象限，则，即，符合题意；
故选D．
7. 某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A. 3.5sin29°B. 3.5cs29°C. 3.5tan29°D.
【答案】A
【解析】
【分析】解直角三角形求出AB即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°.
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，已知直角三角形的锐角及斜边，用正弦即可求得这个角的对边.
8. 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
【详解】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，CD=1，
∴AB==2，AC==，
∴sinα=csα=，故选项A正确；
tanC==2，故选项B正确；
tanα=1，故选项D正确；
∵sinβ==，csβ=，∴sinβ≠csβ，故选项C错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9. 如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ）
A. 2B. C. mD. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到．
【详解】解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为，
∴，
∵点A在点第一象限，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．
10. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．
11. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A. 海里/时B. 30海里/时C. 海里/时D. 海里/时
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°-20°=60°，
∴∠C=90°，
∵AB=20海里，
∴AC=ABcs30°=10（海里），
∴救援船航行的速度为：10÷=30（海里/小时）．
故选：D．
12. 如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（ ）

A. 19.4B. 19.5C. 19.6D. 19.7
【答案】C
【解析】
【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．
【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的， 观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，
且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，
因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，
故答案为C
【点睛】本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共4小题）
13. 已知双曲线经过点，则k的值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查曲线上点的坐标与方程的关系．根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将代入求解即可．
【详解】解：双曲线经过点，
，解得．
14. 如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
【答案】∠ADE=∠ACB（答案不唯一）
【解析】
【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此可得出可添加的条件．
【详解】解：由题意得，（公共角），
则可添加：或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；
添加：，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
15. 商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同则他恰好买到雪碧和奶汁的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，
∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：．
16. 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为_______米.
【答案】9．
【解析】
【详解】如图，过B作BE⊥CD于点E，
设旗杆AB的高度为x，
在中，，
∴．
在中，，，，
∴．
∵CE=AB=x，
∴，即，解得x=9．
∴旗杆的高度为9米．
三、解答题（共7小题）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质和二次根式的化简计算分别化简进而得出答案．
【详解】解：原式．
【点睛】此题主要考查了实数运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质和二次根式的化简计算．
18. 两栋居民楼之间的距离米，楼和均为层，每层楼高米．
（1）上午某时刻，太阳光线与水平面的夹角为，此刻楼的影子落在楼的第几层？
（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼的影子刚好落在楼的底部．
【答案】（1）此刻楼的影子落在楼的第层；
（2）当太阳光线与水平面的夹角为度时，楼的影子刚好落在楼的底部．
【解析】
【分析】（1）延长，交于点，过作于，利用直角三角形性质和三角函数解答即可；
（2）连接，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
小问1详解】
解：延长，交于点，过作于，
由图可知，，
∵，
在中，≈，
≈，
答：此刻楼的影子落在楼的第层；
【小问2详解】
解：连接，∵，
∴，
答：当太阳光线与水平面的夹角为度时，楼的影子刚好落在楼的底部．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角函数解答．
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶
点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．
（2）将向左平移7个单位，请画出平移后的．若M为内的一点，其坐标为，则平移后点M的对应点M1的坐标为 ．
（3）以原点O为位似中心，将缩小，使变换后得到与对应边的比为．请在网格内画出，并写出点的坐标： ．
【答案】（1），
（2）见解析，
（3）见解析，或
【解析】
【分析】（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；
（2）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；
（3）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况．
【小问1详解】
解：A点坐标为：，C点坐标为：；
【小问2详解】
所画图形如下所示，其中即为所求，
根据平移规律：左平移7个单位，可知的坐标；
【小问3详解】
所画图形如下所示，其中即为所求，点的坐标为或．
【点睛】本题侧重考查在坐标系中的平移变换以及位似变换的知识，画出平移变换和位似变换后的图形是解决此题的关键．
20. 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C，
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2.
【解析】
【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=2．
考点：切线的判定
21. 如图，反比例函数与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．
（1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求m的值．
【答案】（1），y=﹣4x+10；（2）m=2或m=18．
【解析】
【分析】（1）由点A在反比例函数的图象上，结合反比例函数图象上的点的坐标特征即可得出反比例函数的解析式；由点B的横坐标以及反比例函数的解析式即可得出点B的坐标，再由A、B点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数得解析式；
（2）结合（1）中得结论找出平移后的直线的解析式，将其代入反比例函数解析式中，整理得出关于x的二次方程，令其根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A（2，2）在反比例函数y=的图象上，
∴k=4．
∴反比例函数的解析式为 y=．
又∵点B（，n）在反比例函数y=的图象上，
∴，解得：n=8，
即点B的坐标为（，8）．
由A（2，2）、B（，8）在一次函数y=ax+b的图象上，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=﹣4x+10．
（2）将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y=﹣4x+10﹣m，
∵直线y=﹣4x+10﹣m与双曲线y=有且只有一个交点，
令，得4x2+（m﹣10）x+4=0，
∴△=（m﹣10）2﹣64=0，
解得：m=2或m=18．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．
22. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.
【解析】
【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
【详解】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m
∵-6