精品解析：重庆市沙坪坝区第八中学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

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（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在，0，8这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A B. C. 0D. 8
2. 如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查
B. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C. 对江北区每天丢弃塑料袋数量的调查
D. 对某批次手机的防水功能的调查
4. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则可取的整数值有（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 7或8
6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 用一样长的小木棒按下图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，……，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（ ）

A. 36B. 41C. 42D. 46
8. 如图，是的直径，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，点E为边的中点，F为上一点，连接，，，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
10. 将多项式中的个()“”改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对变换”．下列关于对多项式的“绝对变换”的结果说法：
①若，，，为4个连续的正整数，则结果的最小值为；
②若且结果等于，则原多项式中必有两项之和为；
③若且新多项式各项之积大于，则将绝对值符号化简打开后，共有种不同的运算结果．
其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. _____．
12. 若代数式有意义，则x的取值范围为_____．
13. 现有数字分别标为1，3，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆放成一个三位数，则摆出的三位数为5的倍数的概率为_____．
14. 如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为2.5，则关于x、y的方程组的解是_____．
15. 如图，已知正方形的边长为4，以为直径作半圆，点E是半圆的中点，则图中阴影部分面积为_____．
16. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为_____．
17. 如图，在等腰直角中，，M为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点N为的中点，则的长为_____．
18. 一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“博雅数”．将“博雅数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则_____．在此条件下，若为整数，则满足条件的M的最大值为_____．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下：
抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．
抽取七、八年级学生的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a、b、c的值：
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演?请说明理由．
（3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人?
21. 学习了矩形的判定后，小蒋对等腰三角形底边上的高和底角顶点到顶角外角平分线的距离的数量关系进行了拓展性研究．请根据他的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作等腰三角形的外角的角平分线，再过点C作于点H．（只保留作图痕迹）
已知：如图，三角形中，，是底边上高，平分，于点H．求证：．
证明：∵平分，
∴
∵，是底边上的高
∴ ① ，
又∵
∴ ②
又∵于点H
∴ ③
∴四边形为矩形
∴
小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形底边上的高等于 ④ ．
22. 某文具店分别花费800元购进甲种笔记本，花费2100元购进乙种笔记本．已知每本乙种笔记本的进价比甲种笔记本贵15元，且购进乙种笔记本的数量是购进甲种笔记本数量的1.5倍．
（1）求甲、乙两种笔记本的进货单价；
（2）文具店将甲、乙两种笔记本在进价基础上分别加价25%和20%进行销售．在销售过程中，乙种笔记本因包装精美很快售完，而甲种笔记本出现滞销．于是文具店决定将剩余的甲种笔记本按售价的九折出售，若这两种笔记本全部售出后文具店共获利580元，求按九折出售的甲种笔记本的数量．
23. 如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题：
（1）直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）
24. 小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上．
（1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）
（2）小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：）
25. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点，与y轴交于点，连接、，点D为抛物线顶点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）如图1，点P在右侧且为第一象限抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点H，过点P作轴交BC于点M，过点作轴交DE于点N，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，分别过点D和点B作x轴和y轴的平行线并交于点Q，将抛物线向右平移个单位长度，平移后的抛物线与直线和直线分别交点S和点T，连接，当平行的一边时，请写出所有符合条件的m的值，并写出求解m的值的其中一种情况的过程．
26. 在中，把线段BC绕点B顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，已知，，，求的长；
（2）如图2，已知，点和点分别为和的中点，连接，求证：；
（3）如图3，已知且，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的最小值．年级
七年级
八年级
平均数
8.75
8.75
中位数
9
a
众数
9
b
满分率