重庆市第八中学校2024—2025学年上学期九年级开学考数学试题

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(全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3. 作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B 铅笔完成；
4. 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
一 、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代 号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确
答案所对应的方框涂黑. 1.下列有理数中最小的数是
A.-2 B.0 C.2 D.4
2. 甲骨文，又称“契文”“甲骨卜辞”“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”,是迄今为止中国发现的年 代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.下列甲骨文中，一 定不是轴对称图形的是
A.
B.
C.
D.
3.反比例函数 的图象一定经过的点是
A.(-3,-2) B.(2,3) C.(2,-3) D.(-2,-4)
4.如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°,则∠2的度数为
A.35° B.45° C.55° D.25°
5.若△ABC∽△DEF,△ABC 与△DEF 的面积比为1:16,则AB 与 DE 的比是
A.1:4 B.1:8 C.1:16 D.1:32
6.下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个。,第②个 图形中共有8个。,第③个图形中共有15个。,..,则第⑧个图形中●的个数为
A.63 B.64 C.80 D.81
7.估计 √ 8+ √ 18的值在
A.4 到5之间 B.5 到6之间 C.6 到7之间 D.7 到 8 之 间
8. 如图，等腰直角三角形ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4, 将 △ABC 沿射线AB 平移 √ 2
个单位，得到△A'B'C', 连 接BC', 则 △A'BC 的面积是
A.6 B.6√2 C.12 D.12√2
9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接BE, 过 点E 作 EF⊥BE,
交 DA的延长线于点F,AE=4√2,AF=2, 则 BE 的长为
A.2√ 10 B.4√3 C.6 D.2√ 13
8题图 9题图 13题图
10 . 已知关于x 的整式 M:ax⁴+bx³+cx²+dx+e, 其 中a,b,c,d,e 为整数，且ac①M 的项数不可能小于等于3;
② 若e=0, 则 M 可能分解为一个整式的平方；
③ 若a+b+c+d+e =18, 且 a,b,c,d,e 均为正整数，则满足条件的M 共 有 4 个 . 其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
二 、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上.
11.因式分解：ab²-4a=
12.如果一个多边形的每一个内角都为135°,那么这个多边形的边数为 _
13.反比例函数 的图像如图所示，若△PO0 的面积是3,则k 的值为
14.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在0.75,则袋中红球有 个 .
15.某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为
16. 已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组 有
解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为
17.如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A=60°,AB=6, 且 AB>AD, 点 E、F、G 分
则GF=
别为线段CD、BC、AD 上的点，∠GEF=120°,DE=4,
17题图
18.我们规定：若一个四位正整数M=abcd 能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧
数”.例如：因为1000=256²-254²,所以1000是“智慧数”.按照这个规定，1002 “智
慧数”(填“是”或者“不是”).若智慧数 M是 偶 数 ，a+b=5,c+d=8, 且满足两
位 数ba 与两位数cd 的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为
三 、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题 必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程
书写在答题卡中对应的位置上. 19 . 计算：
(1)(a-2b)²+a(a+4b);
20. 学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点C 作CM⊥AD 交AD 延长线于点M, 过点C 作CN⊥AB 交AB
于 点N, (只保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°,AC 平分∠BAD, 求证：CD=CB 证明：
∵AC 平分∠BAD 且CM⊥AD,CN⊥AB
∴ ①
且∠CNB=∠CMD=90°
∵在四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180° ∴∠B+∠ADC=180°
又∵∠ADC+∠CDM=180° ② =∠B
∴△CDM≌△CBN( ③ )
∴CD=CB
小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征.请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此 对角线平分为相等的那两个小角 ④
21. 巴黎奥运会上，乒乓球项目非常受国人的关注.某学校为了解该校学生对乒乓球项目的 关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对乒乓球 项目的关注与了解程度就越高.现从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的测试得 分进行整理和分析(得分用x 表示，且得分为整数，共分为5组，A 组：0≤x<60,B
组：60≤x<70,C 组：70≤x<80,D 组：80≤x<90,E 组：90≤x≤100),下面给出 了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48,62,79,95,88,70,88,55,74, 87,88,93,66,90,74,86,63,68,84,82;
九年级被抽取的学生测试得分中C 等级包含的所有数据为：72,77,78,79,75;
八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中： a= b= C= ;
九年级被抽取的学生测试得分扇形统计图
平均数
众数
中位数
八年级
77
a
80.5
九年级
77
89
b
(2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对乒乓球项目的关注与了 解程度更高?请说明理由(一条理由即可);
(3)若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试 得分在C 组的人数一共有多少人?
22.近日，无人驾驶网约车“萝卜快跑”已获准在重庆进行服务测试。为了推进项目进行，现 需在某站点引入甲、乙两种无人驾驶车。已知购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元； 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元 .
(1)求购进1辆甲车和1辆乙车各需多少万元；
(2)若该站点购进乙车数比甲车数的2倍少3辆，且购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元，求最多可以购进甲车多少辆?
23. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC,BD 交于点O, 且 AO 的 长 为 9 , ∠AOB=60°,
动 点P,Q 分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A, 点 B 出 发 ， 点P 沿
A→0→C 方向运动，点Q 沿折线B→0→D 方向运动，当点P 到达点C 时 ，P,Q
两点停止运动.设运动时间为t 秒，点P,Q 两点间的距离为y.
(1)请直接写出y 关 于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当点P,Q 两点距离小于5个单位长时，t 的范围 . (结果保 留一位小数)
2 4 . 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 某 工 厂 的 平 面 图 ， 经 测 量 AB=BC=AD=80 米 ， 且
∠ABC=90°,∠DAB=135°. (参考数据： √ 2≈1.41, √ 3≈1.73)
( 1 ) 求CD 的长；(结果精确到1米)
(2)若直线AB 为工厂的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计),工作人员想要在点D 处 安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为40 √ 6米， 求被监控到的道路长度为多少米?
25. 已知反比例函数 直线l:y=kx+m(k≠0), 直 线l₁与反比例函数交于点 A(a,4),B(-2,b ), 与 x 轴交于点C.
(1)求直线l₁的解析式；
( 2 ) 过 点C 作x 轴的垂线l₂,l₂ 上有一动点M, 过 点M 作y 轴的垂线段与y 轴交于点N, 连 接AM,BN, 求 AM+MN+NB 的最小值和此时M 点的坐标；
(3)在(2)问的前提下，当AM+MN+NB 取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q
在坐标轴上有一动点P, 若 ∠PAC=∠QCA, 求 点P 的坐标，并写出其中一种情况的
过程。
图 1
备用图
26. 在△ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC,BC 绕 点C 顺时针旋转角度α(0°(1)如图1,若α=30°,连接 AD交 BC 于 点E, 若 AC=6, 求 DE 的长；
(2)如图2,若0°<α<90°,CF 平分∠BCD 交AD 于点F, 连接BF, 过点C 作CG⊥AD,
在射线CG 上取点G 使得∠BGC=45°, 连 接BG, 请用等式表示线段CG 、CF 、BF 之
间的数量关系并证明；
( 3 ) 如 图 3 , 若BC=8, 点 P 是 线 段AB 上 一 动 点 ， 将CP 绕 点P 逆时针旋转90°得到QP,
连接AQ,M 为AQ 的中点， 当2CM+CQ 取得最小值时，请直接写出△ABM 的面积.
图 1 图 2
图 3