345，山东省潍坊市寿光市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份345，山东省潍坊市寿光市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，52分；第Ⅱ卷为非选择题，98分；共150分．考试时间为120分钟．
2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚。所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．
第Ⅰ卷（选择题，52分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝，则 csB 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据锐角三角函数的概念得：
sinA=，csB==sinA=.
故选：C.
2. 将二次函数化成形式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查将一般式化成顶点式，利用配方法，将其配成完全平方式，即可解题．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
3. 方程的解是（ ）
A. B. ，C. D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查“因式分解法”解一元二次方程，根据方程特点，用“因式分解法”进行求解即可．解题的关键是能够根据所给方程特点选择合适的求解方法．
【详解】解：
移项得：，
因式分解得：，
解得：，．
故选：B．
4. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，连接，由圆周角定理得到，由平角的定义可得，则由圆周角定理可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆与坐标轴的位置关系为( )
A. 与x轴相切，与y轴相离：B. 与x轴相交，与y轴相切
C. 与x轴，y轴都相交D. 与x轴，y轴相离
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】解：是以点为圆心，3为半径的圆，
则点到y轴的距离是3，与x轴的距离是2，
∵，，
这个圆与轴相交，与轴相切．
故选：B．
6. 小亮把牌面数字是3，6，9，10的四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并按照每次随机抽取一张得原则做重复试验记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（ ）
A. 牌面数字是奇数；B. 牌面数字是偶数；
C. 牌面数字是3的倍数；D. 牌面数字是5的倍数．
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了利用频率估计概率，折线统计图，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．掌握概率公式是解题的关键．
根据统计图可知，试验结果在0.25附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.25者即为正确答案．
【详解】解：A、、抽取的牌面数字是奇数的概率为，故此选项不符合题意；
B、抽取的牌面数字是偶数的概率为，故此选项不符合题意；
C、抽取的牌面数字是3的倍数的概率为，故此选项不符合题意；
D、抽取的牌面数字是5的倍数的概率为，故此选项符合题意；
故选：D．
7. 已知，点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别把已知点的坐标代入函数解析式中可求得y1，y2，y3的值，再比较大小即可．
【详解】解：分别把点代入二次函数中，得
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
8. 如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠性质及半径相等可得是等边三角形，即可得出的面积及弓形的面积，根据即可得答案．
【详解】解：如图，连接、，
∵将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、扇形面积、等边三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握求不规则面积的方法及扇形面积计算公式是解题的关键．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式，若一元二次方程的两个根为、，则，；根据一元二次方程根与系数的关系结合完全平方公式逐一判断即可得答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，，故A选项错误，不符合题意，B选项正确，符合题意，
∴，故C选项错误，不符合题意，
∴，故D选项正确，符合题意，
故选BD．
10. 将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，三角函数的定义及勾股定理及勾股定理逆定理，如图，延长交于，根据正方形的性质及三角函数的定义可判断、、，利用勾股定理的逆定理可判定，即可得答案．熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
【详解】解：如图，延长交于，
∵将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，
∴，，
∴，，
∵小正方形的边长为1，
∴，
∴，故A选项正确，符合题意，
∴，故B选项错误，不符合题意，
∵，，
∴，，
∴，
∴，故C选项正确，符合题意，
∵，，
∴，故D选项错误，不符合题意，
故选：AC
11. 某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利24元，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元．以下说法错误的是（ ）
A. 每件商品进价为40元
B. 降价后每件商品售价为元
C. 降价后每周可卖件
D. 每星期的利润为
【答案】D
【解析】
【分析】设商品进价为a元，根据“按标价的八折销售，仍可盈利24元”，列出方程求出商品进价，即可逐个进行判断．
【详解】解：A、设商品进价为a元，
，
解得：，
∴每件商品进价为40元，故A正确，不符合题意；
B、降价后每件商品售价为元，故B正确，不符合题意；
C、降价后每周可卖件，故C正确，不符合题意；
D、每星期的利润为，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是求出商品进价，根据题意，找出等量关系．
12. 若函数的图象过点和．则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程综合．解题的关键在于对知识的数量掌握与灵活运用．根据抛物线开口方向、与的交点位置及对称轴的位置可得出、、的符号，可判断①；根据时，可判断②；根据和是一元二次方程的两个根，结合根与系数的关系可判断③④；即可得答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下、与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
∴，，，
∴，
∴，故①错误，不符合题意，
由图像可知，当时，，
∴，
∴，故②正确，符合题意，
∵函数的图象过点和，
∴和是一元二次方程的两个根，
∴，，，
∴，故③正确，符合题意，
∵，
∴，
∴
故④正确，符合题意，
故选：BCD．
第Ⅱ卷（非选择题，98分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13. 今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坡度概念及勾股定理，根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程即可得到答案．熟练掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】解：设他下降的高度为米，
∵一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，
∴他滑行的是水平距离为米，
∴，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
14. 二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：，
平移后的解析式为：，
故答案为：．
15. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是__________．

【答案】##160度
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，，，，……，，都是一边在x轴上的等边三角形，点，，，……都在反比例函数的图象上，点，，，…，都在x轴上，则的坐标为__________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出、、的坐标是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先在中，表示出和的长度，表示出的坐标，代入反比例函数解析式，求出的长度和的长度，表示出的坐标，同理可求得、的坐标，即可发现一般规律．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
△为等边三角形，
，，
，
设的长度为，则的坐标为，
把代入得，解得或（舍去），
，
，
设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，
把代入得，解得或（舍去），
，，，
，
设的长度为，同理，为，的坐标表示为，，
把，代入得，
，，，
，，
……
总结规律可得：，，
∴，，即，，
故答案为：，．
四、解答题（本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 关于x的一元二次方程．
（1）若，求方程的两根；
（2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（3）若方程的两个实数根满足，写出一组满足条件的a，b的值．
【答案】（1）
（2）方程有两个不相等的实数根
（3）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，掌握根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）由方程的系数结合根的判别式、 ，可得出，进而可找出方程有两个不相等实数根;
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得，接下来结合已知条件 ，求得，故可得到，的值．
【小问1详解】
若 则
，
或 ，
；
【小问2详解】
关于的一元二次方程：，
则 ，
，
，
∴原方程有两个不相等实数根；
【小问3详解】
由一元二次方程根与系数的关系，得，
又，
，
，
故可以取．
18. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）18，6，
（2）480人 （3）
【解析】
【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．
【小问1详解】
解：参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
【小问2详解】
解：（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．
19. 如图，在楼观测点P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为，测得山脚B处的俯角为．已知该山坡的坡度，点P，H，B，C，A在同一个平面上．点H，B，C在同一条直线上，且，米．
（1）求观测点P与山脚B点之间的线段的长度；
（2）求观测点P与山顶A点之间的线段的长度．
【答案】（1）20米 （2）米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意可得：，，从而可得，再根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，由山坡的坡度可得，从而可得．由，可得，设，则，由列方程求出x的值，即可知的长，在中根据三角函数的定义即可求出的值．
【小问1详解】
由题意得：，，
，
，
，
在中，米，
(米，
观测点与山脚点之间线段的长度为20米；
【小问2详解】
如图，过点作，
山坡的坡度，即，
，
又，
，
，，
，
又，
，
，
设，
则，
，
，
解得，
即，
，
观测点与山顶点之间的线段的长度为米．
20. 如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点A，C．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点P的坐标；
（3）当时，根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）先根据正方形的性质求出点的坐标为，再将点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式； 同理，将点的坐标代入中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；
（2）设点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于的方程，解方程求出的值，再将的值代入即可求出点的坐标；
（3）求得反比例函数和一次函数的交点坐标，根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：∵点的坐标为 点的坐标为，
，
∵四边形为正方形，
，
∴，
把代入中得：，
∴反比例函数解析式为：，
把代入 得：
，解得 ，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
设，
的面积恰好等于正方形的面积，
，
，
解得或 ，
当时，，
当时，，
∴点坐标为或 ；
【小问3详解】
联立 ，解得： 或 ，
由函数图象可知当或 时，双曲线在直线的上方，
∴当 或 时, ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，运用方程思想是解题的关键．
21. 尺规作图：请过圆外一点作出满足下列条件的圆的切线．
（1）如图，已知和圆外一点P；(保留作图痕迹，简要写出作法)
（2）已知(圆心为点M，但未在图中标注)和圆外一点P，且点P到圆心M的距离是半径的两倍．请作出经过点P的切线并直接写出两切线夹角的度数．(注：作图保留痕迹，不写作法)
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质．
（1）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以点为圆心，为半径作圆交于点、，利用圆周角定理和切线的判定方法可得到、为的切线；
（2）先作的两弦的垂直平分线得到圆心点的位置，再与（1）方法一样作出的切线、，然后利用，得到，所以．
【小问1详解】
解：如图1，以为直径作圆交于点、，则、为所作；
【小问2详解】
如图2，、为所作，
连接、，则，
，
，
，
即两切线的夹角为．
22. 为保持室内空气的清新，某车间的自动换气窗采用以下设计，窗子的形状是六边形，它可以看作是由一个矩形和等腰梯形组成的．通风口是一个倒立的等腰，其顶点固定在矩形底边的中点O上，横杆在和两侧移动且保持与底边平行．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．
（1）设等腰的底边上的高为x，结合图1和图2分别表示并写出x的范围；
（2）横杆在两侧滑动时，有没有最大值？若有，请求出；若没有，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，当时，最大，最大为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答，当当时利用三角形的面积公式解答即可，当时，利用等腰直角三角形的判定与性质求得的长度，再利用三角形的面积公式解答即可；
（2）利用（1）中的函数解析式运用配方法和二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：当时，；
当时，过点M作于点G，过点N作于点H，
∵四边形为矩形，
∴，，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴；
∴；
【小问2详解】
解：时，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴当时，最大，最大为；
当时，，
∴当时，最大，最大为；
综上所述，当时，最大，最大为．
23. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断的形状并证明你的结论；
（3）如图2，点P在拋物线上的第二象限内且满足，求出点P的坐标．
【答案】（1），
（2）是直角三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）因为点在抛物线上，所以将点代入函数解析式即可求得；
（2）由函数解析式可以求得其与轴、轴的交点坐标，即可求得、、的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）连接并延长，交的延长线于点，首先求得，进而得到直线的解析式为，求得的坐标为，进一步得到直线的解析式为，联立方程组解答即可得解．
【小问1详解】
解：点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为；

，
顶点的坐标为．
【小问2详解】
是直角三角形，理由如下：
当时，
，．
当时，，
，，

，，．
，，，
．
是直角三角形．
小问3详解】
如图，连接并延长，交的延长线于点，

，，
由（2）知是直角三角形，
，
，
设直线的解析式为，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设的坐标为，
，
解得：(不合题意，舍去)或，
的坐标为，
设直线的解析式为，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
点的坐标为
【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．