285，江苏省扬州市邗江区梅岭中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份285，江苏省扬州市邗江区梅岭中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟；命题人： 审核人： ）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】B
【解析】
【分析】能组成比例线段是指或，由此即可求解．
【详解】解：根据能成比例线段的定义得，
选项，或，不能组成比例线段，不符合题意；
选项，或，能组成比例线段，符合题意；
选项，或，不能组成比例线段，不符合题意；
选项，或，不能组成比例线段，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查组成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义，即两条线段的比值相等则组成比例线段是解题的关键．
2. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在圆上B. 点P在圆内C. 点P在圆外D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：的半径是5，的长为4，，
点在圆内．
故选：B
3. 已知点P是线段的黄金分割点，若，则的长约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，
，
，
，
故选：D
4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】解：利用配方法如下：
．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．
5. 二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴为直线
C. 顶点坐标为D. 当时，随的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：关于二次函数，
，开口向下，A不符合题意；
对称轴为直线，B符合题意；
顶点坐标为，C不符合题意；
当时，随的增大而增大，D不符合题意；
故选：B
6. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ）
A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案．
【详解】∵为⊙的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵四边形内接于⊙，
∴，
∴，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．
7. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先证明出，然后得到，然后求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，

∵
∴，
∴
∴
∵
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．
8. 如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（ ）
A. 0.9B. 1.2C. 1.5D. 1.8
【答案】B
【解析】
【分析】作正方形ABCD的外接圆，根据圆周角的定理，当在上动时，由圆心角与圆周角的关系可知，，当在的中点处时，作的外接圆，根据圆内角大于圆外角，会发现到的中点处时最大，过点作的垂线交于，利用勾股定理求解出边长，算出最大的正切值，确定范围后即可得出答案．
【详解】解：作正方形ABCD的外接圆，根据圆周角的定理，
当在外接圆上动时，，，
当在上动时，由圆心角与圆周角的关系可知，，
当在的中点处时，作的外接圆，
根据圆内角大于圆外角，会发现到的中点处时最大，
过点作的垂线交于，
不妨设正方形的边长为2，
则，
，
同理，
设，
则，
，
解得：，
，
，
，
当在上动时，，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，正切函数、勾股定理、外接圆、圆心角，解题的关键是得出到的中点处时最大．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 已知，则______．
【答案】．
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
10. 关于的一元二次方程有一根为0，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，将已知根代入方程，求得待定参数值．
【详解】解：由题意，，
∵方程一根为0，
∴，解得（舍去），．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，方程根的定义，解方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
11. 小聪这学期的数学平时成绩90分，期中考试成绩80分，期末考试成绩82分，计算总评成绩的方法：平时成绩期中成绩期末成绩，则小聪总评成绩是____分．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义求解即可．
【详解】解：小聪总评成绩是（分，
故答案为：83.8
12. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据两三角形相似列出比例式进而求解即可．
【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，通过相交线的性质列出比例式是解题的关键．
13. 如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心，为半径作与边相切于点A，若，则的长等于____．
【答案】3
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而求出，从而求出，，再进行求解得到答案．
【详解】解：连接，
是圆的切线，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，，
，
，
∵，
，
故答案为：3
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14. 已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】解方程，得出抛物线与轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．
【详解】解：当时，，
解得：
∴二次函数的图象与轴的交点为，
由函数图象可得的的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与性质，明确题意并掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
15. 如图，在中，，平分．若，，的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是明确角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的定义得到，再证明，，根据角平分线的性质得到，接着利用面积法证明，则设，，，然后证明得到，所以，利用勾股定理得到，解得，从而得到的长．
【详解】解：过点作于点，于点，如图，
平分，
，
，
，
，
平分，，，
，
，
，
，
设，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，解得，
．
故答案为：
16. 如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为______°．
【答案】108
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
【详解】解∶圆锥的底面半径为，底面周长为，
设原扇形纸板的圆心角度数为度，
解得．
故答案为∶108
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
17. 若点，都在二次函数的图像上，且，则m的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．根据列出关于的不等式即可解得答案．
【详解】解：点，都在二次函数的图象上，
，，
，
，
即，
．
故答案为：
18. 在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】不论P怎么运动，保持不变，则外接圆中所对的圆心角为，从而的圆心与半径确定，于是可得当点F在与的交点位置时，就取最小值，求出此时的值便可．
【详解】解：作的外接，连接、、、，在优弧上取点M，连接、，过O作，与的延长线交于点N，
∵，，
∴，
∴，
∴点F在的外接上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当A、F、O三点依次在同一直线上时， 的值最小，
故AF的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是构造圆与直角三角形，找出点F的运动轨迹．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算和解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解一元二次方程，能熟记特殊角的三角函数值是解（1）的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（2）的关键．
（1）先根据特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，
，
或，
，
20. 已知关于的方程－（k＋2）＋2k＝0
（1）说明：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根.
【答案】（1）详见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系：由可得方程有两个不相等的实数根；可得方程有两个相等的实数根；可得方程没有实数根，再证明即可．
（2）由先求解 再解方程即可.
【详解】解：（1）由△


所以原方程总有实数根；
（2）由方程有两个相等的实数根可得，

解得
则原方程可化为，解得.
21. 我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
（1）求出表格中a、b、c．
（2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）a=85，b=80 ，c=85；（2）初中代表队决赛成绩的方差为70，初中代表队选手成绩较为稳定
【解析】
【分析】（1）直接利用平均数、中位数、众数的定义分别求出a、b、c即可；
（2）利用方差公式求出初中代表队决赛成绩的方差，然后根据方差的意义即可得出结论．
【详解】解：（1）a=（75＋80＋85＋85＋100）÷5=85
将高中部5名选手的决赛成绩从小到大排列为：70、75、80、100、100
∴b=80
初中部5名选手的决赛成绩中，85出现的次数多
∴c=85
（2）初中代表队决赛成绩的方差为，
∵70＜160
∴初中代表队选手成绩较为稳定．
【点睛】此题主要考查了平均数公式、众数、中位数的定义和方差公式及意义，正确把握相关定义、公式及方差的意义是解题关键．
22. 如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
（1）在图1中作出的外心D；
（2）图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．
（2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得．
【小问1详解】
如图1，点D即为的外心；
【小问2详解】
如图2，点F即为所作；
23. 如图，正方形边长为4，，E为的中点．
求证：
（1）．
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证．
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
，
又，
．
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
，
，
24. 已知抛物线经过点．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出y的取值范围 ．
（3）若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ．
【答案】（1），顶点坐标
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．
（1）把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解；
（3）根据顶点旋转可直接得出答案．
【小问1详解】
把代入得：
，
解得，
，
抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
，
抛物线开口向下，有最大值4，
当时，，当时，，
当时，的取值范围是．
【小问3详解】
抛物线，线绕其顶点旋转，得出．
25. 如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆经过点，延长交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可知，，，可得四边形是平行四边形；由同弧所对的圆心角相等及邻补角的性质可知，，由此可得，平行四边形是矩形，再结合切线的性质可得结论；
（2）根据（1）中所求，可得，，分别利用三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出阴影部分的面积．
【小问1详解】
解：证明：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
，
，
，
，
平行四边形是矩形．
，
，
是半径，
是的切线．
【小问2详解】
由（1）知，，，
，
在中，，
，
由（1）知，四边形是矩形，
，，
，
．
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理的推理，扇形的面积公式，是一道圆的综合题，解题关键是得到四边形是矩形．
26. 某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个．
（1）当每个售价为52元时，日均销售量为 个；
（2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元；
（3）当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【答案】（1）180 （2）50元或60元
（3）每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大为2250元
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．
（1）根据日均销售量为计算可得；
（2）根据“总利润每瓶利润日均销售量”列方程求解可得；
（3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可
【小问1详解】
当每个的售价为52元时，日均销售量为（个，
故答案为：180；
【小问2详解】
设每个的售价为元，
根据题意可得：，
整理，得：，
解得：，，
答：当每瓶售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元；
【小问3详解】
设日均利润为，
则
，
当时，取得最大值，最大值为2250，
答：当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元．
27. “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，是的角平分线，求证：．

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【理解应用】
（2）如图②，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，使点恰好落在边上的点处，落，，则的长为___________．

【深度思考】
（3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，的长为___________．

【拓展升华】
（4）如图④，是的角平分线，若，，则的面积最大值是___________．

【答案】（1）见解析 （2）
（3）6 （4）3
【解析】
【分析】（1）选择小明的思路，过点交的延长线于点D，易证，得到，由角平分线的性质和平行线的性质得，可得，等量代换即可证明；选择小红的思路，根据角平分线的性质得到，再利用等面积；
（2）利用（1）中的结论得到，再利用勾股定理即可解答；
（3）利用（1）中的结论得到，再利用垂直平分线的性质得到，再根据相似三角形得到的值；
（4）作的外角平分线，交的延长线于D，在的延长线上截取,易得，由（1）结论可得，由等量代换可得，利用（1）中的结论得到，求得的半径为，当P运动到点，时，的面积最大，计算即可．
【小问1详解】
解：选择小明的思路，如图，过点交的延长线于点D，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择小红的思路，如图，过点分别作交于点，作交于点，作于点，

∵是的角平分线，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵将沿所在直线折叠点恰好落在边上的点处，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为；
【小问3详解】
解：∵为的角平分线，
∴，，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵的垂直平分线交延长线于，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【小问4详解】
解：如图，
如图，作的外角平分线，交的延长线于D，

在的延长线上截取,
∵是的外角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴点P在以半径为的上，
如图，当P运动到点，时，

的面积最大，最大值为，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当时，直接写出点A、B、C、D的坐标：
A ，B ，C ，D ；
（2）如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记．
①用含t的代数式表示f；
②请直接写出f的最大值为： ．
【答案】（1），，，
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，即可求解；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，进而求出点，，利用，即可求，解，故点、的坐标分别为、，，代入抛物线即可作答；
（3）①证明，故，则，即可求解；
②，即可求解．
【小问1详解】
当时，抛物线的表达式为：，
令，则或；当时，，函数对称轴为，
故点、、、的坐标分别为、、、；
故答案为：、、、；
【小问2详解】
，令，则，则点，
函数的对称轴为，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，故点，，
则，
，
解得：，
故点、的坐标分别为、，，
抛物线的表达式为：，
【小问3详解】
①如图，作与延长线交于点，
由（2）知，抛物线的表达式为：，
故点、的坐标分别为、，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
设点，则点；
则，
由点，、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，故，
，轴，
故，，
，故，
则，
；
②；
当时，．
故答案为：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”．