江苏省扬州市邗江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省扬州市邗江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．扬州2021年1月9号的最高气温为4℃，最低气温为﹣10℃，则该日的气温极差为（ ）
A．4℃B．6℃C．10℃D．14℃
2．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．有一种游戏的中奖概率是，则做次这样的游戏一定会有一次中奖
B．数据的中位数是
C．抛掷一枚硬币次，其中有7次正面朝上，则硬币正面朝上的概率为
D．若甲乙两组数据的平均数相等，方差分别为，则甲的成绩比乙的稳定
5．如图，是的直径，与相切于点B，连接与于点C，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ）
A． B． C．D．
7．如图，抛物线与直线的交点A的横坐标是2，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C． D．
8．如图，四边形是的内接四边形，是直径，，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若，则 ．
10．如图，，若，则 ．
11．用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
12．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
13．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是线段的黄金分割点，，则的长为 ．(，精确到)

14．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大值为 ．
15．若抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标是 ．
16．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．

17．将关于的一元二次方程变形为，就可以将关于x的二次多项式表示为x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知，则的值为 ．
18．已知二次函数的对称轴是直线，点、在这个二次函数的图象上，若，则的取值范围是 ．
三、解答题
19．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
20．为丰富学校的文化娱乐活动，某学校开展了插画、书法、剪纸等丰富多彩的社团活动，该校为了解参加社团活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：a的值为 ，图①中m的值为 ，并补全条形统计图；
(2)求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
21．今年春节档多部贺岁片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军2》、《射雕英雄传：侠之大者》、《热辣滚烫》、《传说》四部电影中随机选择一部观看．
(1)小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《志愿军2》的概率为 ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
22．某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为．

(1)求小路的宽度；
(2)某公司希望用万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
23．如图，在中，点D、E分别在、上，且．

(1)求证：；
(2)连接、，求证：．
24．电商小王为拓展销售渠道在抖音平台上对一款成本价为15元的商品进行直播销售，如果按每件20元销售，每天可卖出100件．通过市场调查，该商品售价每提高1元，日销售量减少4件．
(1)当售价为何值时，每天销售盈利取值最大，最大值是多少？
(2)小王热心公益事业，从每天的销售利润中捐出100元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于700元，试确定该商品销售单价的范围．
25．如图，是的直径，是的弦，点F是延长线上的一点，平分交于点C，过点C作，垂足为点E．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的半径和的长．
26．小明同学在学习过《对称图形---圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成．
问题背景：已知点是四边形中边上一点，请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点.
问题1.如图，，；
问题2.如图，，；
问题3.如图，，．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
27．在矩形中，，，动点从顶点出发沿方向向点运动，动点从顶点出发沿射线方向运动，动点的速度是动点速度的两倍，当点运动到终点时，两点同时停止运动，连接交边于点．
(1)如图，点、在运动的过程中，请判断点的位置是否发生变化，并说明理由；
(2)如图，连接，当是等腰三角形时，求的长；
(3)如图，过点作的垂线，垂足为点，直接写出点在运动过程中所经过的路径长．
28．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，自变量x与函数值y的部分对应取值如表：
(1)请选择你喜欢的方法求二次函数表达式；
(2)如图1，点D为线段的中点，点 E为线段上任意一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．

①求面积的最大值；
②直接写出的最小值.
x
…
2
…
y
…
0
0
…
参考答案：
1．D
【分析】用最大值减去最小值即可求得极差．
【详解】解：该日的气温极差为4﹣（﹣10）＝14（℃）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查极差的定义，解题的关键是了解最大值和最小值的差是极差，难度不大．
2．C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据两根之积求解即可．
【详解】解：设方程另外一个根为t，
根据一元二次方程根与系数的关系得，
解得．
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查概率的理解，中位数的计算，方差的含义，命题真假的判段，掌握以上知识是解题的关键．
根据概率的计算机含义即可判定A，C；根据中位数的计算方法可判定B；根据方差的含义可判定D，由此即可求解．
【详解】解：A、概率为，则做次，不一定中奖，该选项错误，不符合题意；
B、的中位数是，该选项错误，不符合题意；
C、银币正面向上的概率为，该选项错误，不符合题意；
D、甲的方差小于乙的方差，则甲的成绩比乙的成绩稳定，该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据与相切得出，然后根据角度关系求出的度数即可．
【详解】解：∵与相切，
，
，
，
，
．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可知，因此只要添加一组角相等，或与的对应边的比相等即可．
【详解】解：，
，
添加后，两组对角相等，可证，故A选项不合题意；
添加后，两组对角相等，可证，故B选项不合题意；
添加后，两组对应边的比相等且相应的夹角相等，可证，故C选项不合题意；
添加后，对应边成比例但无法证明其夹角相等，不能说明，故D选项符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了二次函数与正比例函数图象的综合，图形的对称性，求不等式的解集；由于直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称，则直线与抛物线的交点B、直线与抛物线的交点A关于y轴对称，由此得点B的横坐标，结合函数图象即可求得不等式的解集．
【详解】解：如图，与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称，
∴直线与抛物线的交点B、直线与抛物线的交点A关于y轴对称，
∴B的横坐标是，
由得，表明抛物线在直线的上方时，自变量的范围，
观察图象知，，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查的知识点是半圆（直径）所对的圆周角是直角，三角函数综合，解题关键是利用辅助线划分四边形面积，结合三角函数求解．延长交圆于点，连，，结合三角函数可得：，推得，，，根据即可求解．
【详解】解：延长交圆于点，连，，
设，
，，
，
，
是直径，
，
又，，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
9．
【分析】本题考查了代数式的求值以及分式约分的运用，解题方法在于用含有的式子来表示，用代入法计算即可．
【详解】
即：
将代入得：
故答案为：．
10．6
【分析】直接根据平行线分线段成比例求解即可．
【详解】，
．
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是关键．
11．5
【分析】先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解即可.
【详解】扇形的弧长=，
设圆锥的底面半径为R，则，解得．
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解、扇形的半径和圆锥母线等长.
12．/
【分析】本题考查了几何概率求解，设正方形得边长为4，可以得出正方形的面积和阴影部分的面积，进而求出概率即可．
【详解】解：设大正方形的边长为4，
大正方形的面积为，
阴影部分的面积为，
则飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了黄金分割知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，利用黄金分割的定义得到，然后把长代入计算即可．
【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，，
∴．
故答案为．
14．9
【分析】本题考查了根的判别式， 根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴m的最大值为9．
故答案为：9．
15．
【分析】本题主要考查二次函数顶点式，根据二次函数的顶点坐标为即可求解，掌握二次函数图象顶点坐标的计算方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
∴顶点坐标为：，
故答案为：．
16．10
【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
17．4
【分析】本题考查代数式求值．理解并掌握降次法，是解题的关键．根据降次法，由，求出，，再化简，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故答案为：4．
18．
【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征及二次函数的性质，把、分别代入，得出，，根据列不等式组可得，根据对称轴为直线即可得答案．熟练掌握二次函数图像上点的坐标一定满足该函数解析式是解题关键．
【详解】解：∵点、在二次函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴，
∴．
故答案为：
19．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，
∴，
解得：，．
（2）解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴，，
解得：．
20．(1)50，30，补全图形见解析
(2)平均数是，众数是14，中位数是
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、平均数、众数和中位数，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据15岁学生的条形统计图和扇形统计图即可得的值，据此求出的值和补全条形统计图即可得；
（2）根据加权平均数公式、众数和中位数的定义求解即可得．
【详解】（1）解：，
则12岁学生的人数为（名），
，
所以，
故答案为：50，30；
补全条形统计图如下：
．
（2）解：统计的这组学生年龄数据的平均数为，
因为14岁的学生人数最多，
所以统计的这组学生年龄数据的众数为14，
将统计的这组学生年龄数据按从小到大排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数，
所以中位数为．
21．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查概率公式，根据求解即可得到答案；
（2）本题考查树状图法求概率，列出树状图，找到所有情况及需要的情况结合公式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（2）解：记《志愿军2》、《射雕英雄传：侠之大者》、《热辣滚烫》、《传说》分别为A、B、C、D，树状图如下，
∴，
答：小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率为；
22．(1)小路的宽度为；
(2)每次降价的百分率为．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（）设小路的宽度为，根据总面积为，列方程求解即可；
（）设每次降价的百分率为，根据等量关系列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）设小路的宽度为，根据题意，
得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
答：小路的宽度为；
（2）设每次降价的百分率为，
根据题意，得：，
解得：，（舍去），
答：每次降价的百分率为．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，牢记性质及判定是解题关键，
（1）根据，，可得，进一步可证；
（2）根据，可知，根据即可得证；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴．
24．(1)当 时， 元
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，设售价为x元，每天销售盈利为w元，从而，再由二次函数的性质可以判断得解；
（2）依据题意，可得，再令，进而解方程，求得x后即可得解．
【详解】（1）解：设售价为x元，每天销售盈利为w元，根据题意得：

）
∵，
∴当 时， 元．
答：售价为30元时，每天销售盈利取值最大，最大值是900元．
（2）由题可知；，
即： ，
令，
解得 ：，
由二次函数性质可得商品销售单价的范围为.
25．(1)是的切线．证明见解析
(2)的半径为，的长为3．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
（1）连接，证得，由平行线的判定得到，再证得，即可证得结论；
（2）连接，由圆周角定理得到，再证得，根据相似三角形的性质即可证得结论．
【详解】（1）解：是的切线．
证明：连接，
∵，
∴，
∵．
∴，
∵平分，
∴，则，
∴，
∴，
∴半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；即的半径为．
作于H，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∴的半径为，的长为3．
26．详见解析
【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交于，连接，于是得到；
（2）作的垂直平分线交于，以点为圆心，为半径作圆，交于点，于是得到；
（3）作的垂直平分线，过点作的垂线交于点，以为顶点，为角的一条边，作，交的垂直平分线于一点，以为圆心，以为半径作圆，与的交点即为所求作的点．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）如图，即为所求．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
27．(1)的位置不会发生变化.理由见解析
(2)或
(3)
【分析】结合矩形性质判定相似三角形，再根据相似三角形的性质即可得解；
分类讨论：、、，设，，，结合等腰三角形的三线合一、三角形边长关系、勾股定理及一元二次方程即可得到的值；
利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半将问题转化为求圆的弧长，根据圆周角定理求得弧长对应的圆心角度数即可求解．
【详解】（1）解：不会发生变化，证明如下：
在矩形中，，
，
的位置不会发生变化．
（2）解：①当时，
作，垂足为点，则，
设，易知，，
，
即，
解得：，即；
②当时，
由得，，
且在矩形中，，，
，
，
③当时，
有，
即，
解得或，
当时，，
舍去，
即此时．
综上可得：或．
（3）解：连接，取的中点，连接，，
在矩形中，易知，，
和都是直角三角形，
，分别为和斜边上的中线，
，
、、、四点在以点为圆心，为半径的圆上，
点在为直径的上运动，
根据勾股定理易求圆的半径为 ，
当点与重合时，点运动轨迹是弧，
此时，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、三角形三边关系、勾股定理、解一元二次方程、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、圆的周长、圆周角定理，解题关键是分类讨论及熟练运用圆的性质解决问题．
28．(1)
(2)①8，②
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最小值问题．
（1）由表中的数据得顶点为，设函数的表达式为：，将代入即可求解；
（2）①分三种情况求面积的最大值，即可得出答案；
②由，可得求出的最小值即可，作C关于x轴的对称点M，连接，过点E作，连接，当D、E、K在同一条直线上时取最小值，用等面积法易求的最小值为，即可求解．
【详解】（1）解：由表中的数据得二次函数的顶点为，
设函数的表达式为：，
将代入得，解得，
∴二次函数表达式为；
（2）解：设，
①当时，如图1，作轴于H，过点D作轴于N，于M，

∴，，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴，
由表中的数据得，，
∵，
∴，
∵点D为线段的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值为；
当时，如图2，作轴于H，过点D作轴于N，于M，

同理得，，
∴，
∴当时，面积的最大值为4；
当时，如图3，作轴于H，过点D作轴于N，于M，

同理得，，
∴，
∴当，面积的最大值为8，
综上所述：面积的最大值是8；
②∵，
∴求出的最小值即可得的最小值，
作C关于x轴的对称点M，连接，过点E作于K，连接，

∴，
旋转得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
当D、E、K在同一条直线上时取最小值，
∵，
∴，解得，
∴的最小值为，
∴的最小值为．