2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6
C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5
2．已知⊙O的半径是5，OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定
3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则AP的长约为（ ）
A．0.382B．0.618C．3.82D．6.18
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝0D．（x﹣1）2＝0
5．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝3
C．顶点坐标为（﹣3，6）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
7．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．3D．
8．如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（ ）
A．0.9B．1.2C．1.5D．1.8
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若2x＝5y，则＝ ．
10．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 ．
11．小聪这学期的数学平时成绩90分，期中考试成绩80分，期末考试成绩82分，计算总评成绩的方法：平时成绩：期中成绩：期末成绩＝3：3：4，则小聪总评成绩是 分．
12．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝ cm．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径作⊙O与边AC相切于点A，若BC＝9，则OB的长等于 ．
14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB．若AD＝2，CD＝3，AC的长为 ．
16．如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，AB长为πcm，则原扇形纸板的圆心角度数为 °．
17．若点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝x2+4x+3的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是 ．
18．在正方形ABCD中，AB＝2，点P是CD边上一动点（不与点D、C重合），连接BP，过点C作CE⊥BP，垂足为E，点F在线段BP上，且满足EF＝EC，连接AF，则AF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算和解方程：
（1）sin60°﹣tan30°+cs45°；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）说明：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根．
21．我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
（1）求出表格中a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
22．如图，在6×6正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）
（1）在图1中作出△ABC的外心D；
（2）图2中D是AB的中点，作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB的中点．
求证：
（1）△AED∽△BFE．
（2）EF⊥ED．
24．已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围 ；
（3）若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ．
25．如图，四边形ABOD是平行四边形，以O为圆心，OB为半径的圆经过点A，延长BO交⊙O于点E，＝，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝，求图中阴影部分面积．
26．某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个．
（1）当每个售价为52元时，日均销售量为 个；
（2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元；
（3）当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
27．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【理解应用】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为 ．
【深度思考】
（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为 ．
【拓展升华】
（4）如图④，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 ．
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当a＝6时，直接写出点A、B、C、D的坐标：
A ，B ，C ，D ；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若，求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．
①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6
C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；
B、1×6＝2×3，所以B选项符合题意；
C、2×4≠2×3，所以C选项不符合题意；
D、1×5≠3×4，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
2．已知⊙O的半径是5，OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
解：∵⊙O的半径是5，OP的长为4，4＜5，
∴点P在圆内．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则AP的长约为（ ）
A．0.382B．0.618C．3.82D．6.18
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴≈0.618，
∵AB＝10，
∴AP＝0.618AB＝6.18，
故选：D．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝0D．（x﹣1）2＝0
【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：移项得，x2﹣2x＝1，
配方得，x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝3
C．顶点坐标为（﹣3，6）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
解：A、二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+6中a＝﹣2＜0，故函数图象开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、由函数解析式可知，函数图象的对称轴为直线x＝3，正确，符合题意；
C、由函数解析式可知，函数图象的顶点坐标为（3，6），原说法错误，不符合题意；
D、由函数解析式可知，抛物线开口向下，顶点坐标为（3，6），故当x＜3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数中图象的性质与系数的关系是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
方法二：根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
解：方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．3D．
【分析】过点G作GF⊥AC，垂足为G，过点G作GE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AG平分∠BAC，从而利用角平分线的性质可得GF＝GE，然后利用三角形的面积公式可得＝，从而可得△ACG的面积＝△ABC的面积，进行计算即可解答．
解：如图：过点G作GF⊥AC，垂足为G，过点G作GE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AG平分∠BAC，
∴GF＝GE，
∴＝＝＝＝，
∵△ABC的面积＝AB•AC＝×2×4＝4，
∴△ACG的面积＝△ABC的面积＝×4＝，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（ ）
A．0.9B．1.2C．1.5D．1.8
【分析】点P在正方形边AD上运动，当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，此时tan∠BPC＝tan45°＝1；当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，证明△BCE∽△CP′D，然后得到1≤tan∠BPC≤，进而可以进行判断．
解：点P在正方形边AD上运动，
当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，
此时tan∠BPC＝tan45°＝1；
当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，
如图，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，
设正方形的边长为1，则AP′＝DP′＝，
∴BP′＝＝＝，
同理CP′＝＝＝，
∵BE⊥CP′，
∴∠BEC＝∠CDP′＝90°，
∵∠BCE+∠DCP′＝DCP′+∠CP′D＝90°，
∴∠BCE＝∠CP′D，
∴△BCE∽△CP′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BE＝，CE＝，
∴P′E＝CP′﹣CE＝﹣＝，
∴tan∠BP′C＝＝×＝，
∴1≤tan∠BPC≤，
∴tan∠BPC的值可能是1.2，
故选B．
【点评】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BCE∽△CP′D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若2x＝5y，则＝ ．
【分析】根据内项之积等于外项之积即可求解．
解：∵2x＝5y，
∴＝．
故答案为：．
【点评】考查了比例的性质，是基础题型，比较简单．
10．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝0代入关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，然后解关于m的一元二次方程即可．
解：根据题意，得
x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件．
11．小聪这学期的数学平时成绩90分，期中考试成绩80分，期末考试成绩82分，计算总评成绩的方法：平时成绩：期中成绩：期末成绩＝3：3：4，则小聪总评成绩是 83.8 分．
【分析】根据加权平均数的定义求解即可．
解：小聪总评成绩是＝83.8（分），
故答案为：83.8．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
12．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝ cm．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O'作O'N⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO'，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝12﹣7＝5（cm），
∴＝，
∴AB＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径作⊙O与边AC相切于点A，若BC＝9，则OB的长等于 3 ．
【分析】根据切线的性质可得∠OAC＝90°，从而可得∠B+∠OAB+∠C＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠B＝∠BAO，从而可得∠B＝∠C＝∠BAO＝30°，然后在Rt△OAC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得OA＝OC，从而可得OD＝OC，进而可得OB＝OD＝DC＝BC＝3，即可解答．
解：∵⊙O与边AC相切于点A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠B+∠OAB+∠C＝180°﹣∠OAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OA，
∴∠B＝∠BAO，
∴∠B＝∠C＝∠BAO＝30°，
∴OA＝OC，
∵OD＝OA，
∴OD＝OC，
∴OD＝DC，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝DC＝BC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】解方程﹣x2+2x+3＝0，得出抛物线与x轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．
解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
由函数图象可得y＞0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与性质，明确题意并掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB．若AD＝2，CD＝3，AC的长为 ．
【分析】由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠ACD，再证明∠ACD＝∠B，CD＝BD＝3，根据角平分线的性质得到DE＝DF，接着利用面积法证明AC：BC＝2：3，则设AC＝2x，BC＝3x，CF＝x，然后证明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE＝CF＝x，所以AE＝x，利用勾股定理得到22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，从而得到AC的长．
解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠B，
∴CD＝BD＝3，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△CAD：S△CBD＝AD：BD＝2：3，
∴DE•AC：DF•BC＝2：3，
∴AC：BC＝2：3，
设AC＝2x，BC＝3x，
∵DB＝DC，
∴CF＝BF＝BC＝x，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE＝CF＝x，
∴AE＝x，
∵DE2＝DA2﹣AE2＝CD2﹣CE2，
∴22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，
∴AC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是明确角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，AB长为πcm，则原扇形纸板的圆心角度数为 108 °．
【分析】根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
解：圆锥的底面半径为＝7（cm），
底面周长为2π×7＝14π（cm），
设原扇形纸板的圆心角度数为n度，
∴＝14π+π，
解得n＝108．
故答案为：108．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
17．若点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝x2+4x+3的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是 m ．
【分析】根据y1＞y2列出关于m的不等式即可解得答案．
解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝x2+4x+3的图象上，
∴y1＝（m﹣1）2+4（m﹣1）+3，y2＝m2+4m+3，
∵y1＞y2，
∴（m﹣1）2+4（m﹣1）+3﹣（m2+4m+3）＞0，
即﹣2m﹣3＞0，
∴m＜﹣．
故答案为：m．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
18．在正方形ABCD中，AB＝2，点P是CD边上一动点（不与点D、C重合），连接BP，过点C作CE⊥BP，垂足为E，点F在线段BP上，且满足EF＝EC，连接AF，则AF的最小值为 ．
【分析】不论P怎么运动，∠BFC＝135°保持不变，则△BCF的外接圆中所对的圆心角为90°，从而⊙O的圆心与半径确定，于是可得当点F在OA与⊙O的交点位置时，AF就取最小值，求出此时的AF值便可．
解：作△BCF的外接⊙O，连接OB、OC、OA、OF，在优弧上取点M，连接MB、MC，过O作ON⊥AB，与AB的延长线交于点N，
∵CE⊥BP，CE＝CF，
∴∠CFE＝45°，
∴∠BMC＝∠CFE＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵AB＝BC＝2，
∴OB＝OC＝OF＝BC＝，∠OBC＝45°
∵ON⊥AB，∠ABC＝90°，
∴ON∥BC，
∴∠ONB＝45°，
∴BN＝ON＝OB＝1，
∴OA＝，
∵AF≥OA﹣OF，
当A、F、O三点依次在同一直线上时，AF＝OA﹣OF＝的值最小，
故AF的最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，关键是构造圆与直角三角形．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算和解方程：
（1）sin60°﹣tan30°+cs45°；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（1）sin60°﹣tan30°+cs45°
＝﹣+
＝﹣+1
＝+1；
（2）x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
x1＝6，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解一元二次方程，能熟记特殊角的三角函数值是解（1）的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（2）的关键．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）说明：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根．
【分析】（1）先计算判别式得到Δ＝（k﹣2）2，根据非负数的性质得△≥0，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，则方程变为x2﹣4x+4＝0，然后利用因式分解法求解．
解：（1）Δ＝（k+2）2﹣4•2k
＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）根据题意得Δ＝（k﹣2）2＝0，
解得k＝2，
则方程变形为x2﹣4x+4＝0
所以x1＝x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
21．我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
（1）求出表格中a＝ 85 ；b＝ 80 ；c＝ 85 ．
（2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）通过题目条形图得到初中组、高中组的参赛学生成绩，根据中位数、众数、平均数的意义计算即可；
（2）根据方差的计算公式先算出初中代表队的方差，再根据方差的意义得结论．
解：（1）初中组五名同学的成绩为：75，80，85，85，100，
成绩的平均数a＝（75+80+85+85+100）÷5＝85，
该组数据中，85出现的次数最多，故其众数c＝85；
高中组五名同学的成绩为：70，75，80，100，100，故该组数据中的中位数b＝80．
故答案为：85，80，85；
（2）初中代表队决赛成绩的方差是：[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]
＝（100+25+0+0+225）
＝70．
∵70＜160，
所以初中代表队选手成绩较为稳定．
【点评】本题考查了条形图、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解决本题的关键．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
22．如图，在6×6正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）
（1）在图1中作出△ABC的外心D；
（2）图2中D是AB的中点，作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF．
【分析】（1）分别作线段AC，BC的垂直平分线，交点即为△ABC的外心D．
（2）取格点G，使AG⊥BC，连接AG交BC于点F，连接DF，则△ABF为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD＝DF，即点F为所求．
解：（1）如图1，分别作线段AC，BC的垂直平分线，交于点D，
则点D即为所求．
（2）如图2，取格点G，使AG⊥BC，连接AG交BC于点F，连接DF，
则△ABF为直角三角形．
∵D是AB的中点，
∴DF为Rt△ABF斜边上的中线，
∴DF＝AB＝BD，
则点F即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的外接圆与外心、直角三角形的性质，熟练掌握三角形的外接圆与外心、直角三角形的性质是解答本题的关键．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB的中点．
求证：
（1）△AED∽△BFE．
（2）EF⊥ED．
【分析】（1）由正方形的性质推出∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝4，由线段中点定义汽车AE＝BE＝AB＝2，于是得到AE：AD＝BF：BE，而∠A＝∠B，即可证明△AED∽△BFE．
（2）由相似三角形的性质推出∠ADE＝∠BEF，得到∠BEF+∠AED＝90°，由平角定义定义求出∠DEF＝90°，即可证明EF⊥ED．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCDC是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝4，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝AB＝2，
∵BF＝1，
∵AE：AD＝2：4＝1：2，BF：BE＝1：2，
∴AE：AD＝BF：BE，
∵∠A＝∠B，
∴△AED∽△BFE．
（2）∵△AED∽△BFE，
∴∠ADE＝∠BEF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BEF+∠AED＝90°，
∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥ED．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是由正方形的性质得到AE：AD＝BF：BE，即可证明△AED∽△BFE，由平角定义求出∠DEF＝90°．
24．已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围 0≤y≤4 ；
（3）若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 y＝（x+1）2+4 ．
【分析】（1）把点M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定自变量为0和﹣3对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解；
（3）根据顶点旋转180°可直接得出答案．
解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：
﹣4﹣2m+3＝3，
解得m＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，
∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
（3）抛物线y＝﹣（x+1）2+4，线绕其顶点旋转180°，得出y＝（x+1）2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．
25．如图，四边形ABOD是平行四边形，以O为圆心，OB为半径的圆经过点A，延长BO交⊙O于点E，＝，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）连接OA，由平行四边形的性质可知，AD∥BO，AD＝BO＝OE，可得四边形AOED是平行四边形；由同弧所对的圆心角相等及邻补角的性质可知，∠AOB＝∠AOE＝90°，由此可得，平行四边形AOED是矩形，再结合切线的性质可得结论；
（2）根据（1）中所求，可得∠AOD＝45°，OA＝AD＝1，分别利用三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴AD∥BO，AD＝BO，
∵BO＝OE，
∴AD∥OE，AD＝OE，
∴四边形AOED是平行四边形．
∵＝，
∴∠AOB＝∠AOE，
∵∠AOB+∠AOE＝180°，
∴∠AOB＝∠AOE＝90°，
∴平行四边形AOED是矩形．
∴∠OED＝90°，
∴OE⊥ED，
∵OE是⊙O半径，
∴ED是⊙O的切线．
（2）由（1）知，∠AOB＝90°，AO＝BO，
∴∠B＝∠BAO＝45°，
在Rt△ABO中，AB＝，
∴AO＝OB＝1，
由（1）知，四边形OADE是矩形，
∴∠OAD＝90°，OA＝AD＝1，
∴S△OAD＝OA•OD＝，
S扇形OAF＝．
∴S阴影＝S△OAD﹣S扇形OAF＝﹣．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理的推理，扇形的面积公式，是一道圆的综合题，解题关键是得到四边形OADE是矩形．
26．某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个．
（1）当每个售价为52元时，日均销售量为 180 个；
（2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元；
（3）当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【分析】（1）根据日均销售量为200﹣20计算可得；
（2）根据“总利润＝每瓶利润×日均销售量”列方程求解可得；
（3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可
解：（1）当每个的售价为52元时，日均销售量为200﹣20＝180（个），
故答案为：180；
（2）设每个的售价为x元，
根据题意可得：（x﹣40）（200﹣5×）＝2000，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60，
答：当每瓶售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元；
（3）设日均利润为y，
则y＝（x﹣40）（200﹣5×）＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250，
当x＝55时，y取得最大值，最大值为2250，
答：当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元．
【点评】本题主要考查二次函数和一元二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．
27．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【理解应用】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为 ．
【深度思考】
（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为 6 ．
【拓展升华】
（4）如图④，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 3 ．
【分析】（1）选择小明的思路，过点BD∥AP交PC的延长线于点D，易证△ACP∽△BCD，得到，由角平分线的性质和平行线的性质得∠BPC＝∠D，可得PB＝BD，等量代换即可证明；选择小红的思路，根据角平分线的性质得到CD＝CE，再利用等面积；
（2）利用（1）中的结论得到，再利用勾股定理即可解答；
（3）利用（1）中的结论得到，再利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠FAC，再根据相似三角形得到AF的值；
（4）作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，在AP的延长线上截取PE＝PB，易得△BPD≌△EPD（SAS），由（1）结论可得，由等量代换可得，利用（1）中的结论得到，求得⊙O的半径为，当P运动到点P′，P′O⊥AD时，△APB的面积最大，计算即可．
【解答】（1）证明：选择小明的思路，如图，过点BD∥AP交PC的延长线于点D，
∵BD∥AP，
∴∠APC＝∠D，
又∵∠ACP＝∠BCD，
∴△ACP∽△BCD，
∴，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴∠APC＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠D，
∴PB＝BD，
∴；
选择小红的思路，如图，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，作PF⊥BC于点F，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴CD＝CE，
∴，，，，
∴BC•PF＝PB•CE，PA•CD＝AC•PF，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处，
∴AD平分∠BAC，
∴，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵AD为∠BAC的角平分线，
∴，∠BAD＝∠DAC，
∵△ABC中，AB＝6，AC＝4，BD＝3，
∴，
∴CD＝2，
∵AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠AFB＝∠CFA，
∴△FBA∽△FAC，
∴，
∴，
∴AF＝6，
故答案为：6．
（4）解：如图，在AP的延长线上截取PE＝PB，
作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，
∵PD是△APB的外角平分线，
∴∠BPD＝∠EPD，
又∵PD＝PD，
∴△BPD≌△EPD（SAS），
∴DB＝DE，∠BDP＝∠EDP，
∴，
∵PE＝PB，DB＝DE，
∴，
∵PC是△APB的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝2，
∴CD＝3，
∵，
∴点P在以半径为的⊙O上，
如图，当P运动到点P′，P′O⊥AD时，
△APB的面积最大，最大值为，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
28．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当a＝6时，直接写出点A、B、C、D的坐标：
A （﹣3，0） ，B （﹣1，0） ，C （0，18） ，D （﹣2，﹣6） ；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若，求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．
①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
【分析】（1）令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2，即可求解；
（2）由tan∠AED＝＝＝，求出a＝，即可求解；
（3）①证明△FJH∽△ECO，故，则FH＝＝﹣t+1，即可求解；
②由f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0），当﹣5＜m＜﹣3时，fmax＝﹣m2﹣4m+，即可求解．
解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2，
故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；
故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；
（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6），
函数的对称轴为x＝﹣2，故点D的坐标为（﹣2，﹣6），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，
令y＝0，则x＝﹣2，故点E（﹣2，0），则OE＝﹣2，
tan∠AED＝＝＝，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣；
（3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J，
由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，
故点A、C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，﹣），则点N（0，﹣），
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x﹣；
设点P（t，t2+t﹣），则点F（t，﹣t﹣）；
则PF＝﹣t2﹣3t+，
由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x﹣，
则点J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+，
∵FH⊥DE，JF∥y轴，
故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO，
∴△FJH∽△ECO，故，
则FH＝＝﹣t+1，
f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+；
②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）；
∴当﹣5＜m＜﹣3时，fmax＝﹣m2﹣4m+；
当﹣3≤m＜0时，fmax＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似的判定与性质等，综合性较强，难度较大．
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．