微专题2　三角恒等变换与解三角形-2024年高考数学二轮微专题系列

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1.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A.tan(α－β)＝1B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1D.tan(α＋β)＝－1
答案 C
解析 由题意得sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)sin β，整理，得sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.
2.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq \r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
答案 2eq \r(2)
解析 由题意得S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)ac＝eq \r(3)，则ac＝4，
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accs B＝12－2×4×eq \f(1,2)＝8，则b＝2eq \r(2).
3.(2021·浙江卷)在△ABC中，B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2eq \r(3)， 则AC＝________；cs ∠MAC＝________.
答案 2eq \r(13) eq \f(2\r(39),13)
解析 由B＝60°，AB＝2，AM＝2eq \r(3)，及余弦定理可得BM＝4，
因为M为BC的中点，所以BC＝8.
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cs B＝4＋64－2×8×2×eq \f(1,2)＝52，
所以AC＝2eq \r(13)，
所以在△AMC中，由余弦定理得
cs∠MAC＝eq \f(AC2＋AM2－MC2,2AC·AM)＝eq \f(52＋12－16,2×2\r(13)×2\r(3))＝eq \f(2\r(39),13).
4.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cs A＝eq \f(25,31)，求△ABC的周长.
(1)证明 法一
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acs B－sin Ccs Asin B＝sin Bsin Ccs A－sin Bcs Csin A，
结合正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可得accs B－bccs A＝bccs A－abcs C，
即accs B＋abcs C＝2bccs A(*).
由余弦定理可得
accs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2)，
abcs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2)，
2bccs A＝b2＋c2－a2，
则上述三式代入(*)式整理，
得2a2＝b2＋c2.
法二 因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)
＝sin2Acs2B－cs2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2 A＝sin2 B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
(2)解 由(1)及a2＝b2＋c2－2bccs A得，a2＝2bccs A，所以2bc＝31.
因为b2＋c2＝2a2＝50，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，
解得b＋c＝9，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
热点一 化简与求值(角)
1.同角三角函数的基本关系：sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.诱导公式的记忆口诀：在eq \f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.
3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.
例1 (1)(2022·天津模拟)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于( )
A.eq \f(5π,12)B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,6)
(2)已知α，β均为锐角，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,3)))＝eq \f(4,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))等于( )
A.eq \f(33,65)B.－eq \f(33,65)
C.eq \f(63,65)D.eq \f(33,65)或eq \f(63,65)
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由α，β为锐角，
则－eq \f(π,2)