2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型33 旋转——奔驰模型-原卷版+解析

这是一份2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型33 旋转——奔驰模型-原卷版+解析，共20页。


◎结论：如图 ,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，
则①∠APB=150º， ②S△ABC＝AB2＝

关键：旋转可以让线段动起来
①【证明】以AP为边向左侧作等边△APD，连接BD,
∵△ABC,△ADP为等边三角形
∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP
∴∠DAB＝∠PAC
可得△DAB≌△PAC
∴DB＝PC＝5
∵DP²＋BP²＝DB²，
∴∠DPB＝90°，∠APB＝150°
②过B作BQ⊥AP于Q,
∵∠APB＝150°
∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2
∴PQ＝＝2
∴AB²＝AQ²＋BQ²＝25＋12
∴AB²＝
各种旋法：


超酷炫又实用：S=a2

1． (2023·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·贵州毕节·八年级期末）如图，P是等边三角形内的一点，且，将绕点B顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·广西桂林·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点P是内一点，，，，则的度数为（ ）
A．160°B．155°C．150°D．145°
4． (2023·全国·九年级专题练习）如图，等边三角形ABC内一点P到三角形三个顶点的距离PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的大小是（ ）
A．150°B．120°C．100°D．以上都不对
1． (2023·辽宁·丹东第九中学八年级期末）如图，点是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为______．
2． (2023·浙江温州·八年级期中）如图，点P到等边三角形ABC各顶点的距离分别是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．则∠APB的度数是______度．
3． (2023·广东顺德德胜学校八年级阶段练习）如图，等边三角形内有一点P，分别连接、、，若，，．
(1)则线段、、构成的三角形是______三角形（填“钝角、直角、锐角”）；
(2)将绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的，并由此求出的度数；
(3)求三角形的面积．
1．（1）如图，在等边三角形内有一点，且，，，冰墩墩同学作了如图的辅助线，将绕点按逆时针方向旋转、如图所示，连接，请你按照冰墩墩的方法求出的度数．
（2）如图，在正方形内有一点，且，，，类比第（1）题的方法．
求的度数；
与的面积之和．
（3）如图，在（2）的基础上请求出正方形的面积．
2．如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的面积．
旋转
模型（三十三）——奔驰模型

◎结论1：如图 ,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，
则①∠APB=150º， ②S△ABC＝AB2＝

关键：旋转可以让线段动起来
①【证明】以AP为边向左侧作等边△APD，连接BD,
∵△ABC,△ADP为等边三角形
∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP
∴∠DAB＝∠PAC
可得△DAB≌△PAC
∴DB＝PC＝5
∵DP²＋BP²＝DB²，
∴∠DPB＝90°，∠APB＝150°
②过B作BQ⊥AP于Q,
∵∠APB＝150°
∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2
∴PQ＝＝2
∴AB²＝AQ²＋BQ²＝25＋12
∴AB²＝
各种旋法：


超酷炫又实用：S=a2

1． (2023·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题．
【详解】解：如图，连接PQ．
∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，
∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ＝PA＝2，
∵PB＝4，
∴，
∴∠PQB＝90°，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
2． (2023·贵州毕节·八年级期末）如图，P是等边三角形内的一点，且，将绕点B顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断A、D；依据△BPQ是等边三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，进而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判断C、B选项．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，
∴△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，△BPQ的面积=，故A正确，D错误；
∴PQ=BP=4，
∵，，
∴，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面积=×3×4=6，故C正确，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定理进行推理．
3． (2023·广西桂林·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点P是内一点，，，，则的度数为（ ）
A．160°B．155°C．150°D．145°
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得∠PAE=60°，AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，可证△PAE是等边三角形，可得PE=AE=3，∠AEP=60°，由勾股定理的逆定理可求∠PEB=90°，即可求解．
【详解】解：如图，将△ACP绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE，连接PE，
∴△ACP≌△ABE，∠PAE=60°，
∴AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，
∴△PAE是等边三角形，
∴PE=AE=3，∠AEP=60°，
∵=25，+=9+16=25，
∴=+，
∴∠PEB=90°，
∴∠AEB=150°=∠APC，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，熟练利用勾股定理逆定理得出是解题关键．
4． (2023·全国·九年级专题练习）如图，等边三角形ABC内一点P到三角形三个顶点的距离PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的大小是（ ）
A．150°B．120°C．100°D．以上都不对
【答案】A
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
如图②，连接EP，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
1． (2023·辽宁·丹东第九中学八年级期末）如图，点是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为______．
【答案】##150度
【分析】将绕点逆时针旋转后得到的，由旋转的性质可得，，可得为等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转后得到的．

≌，
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
为直角三角形，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，利用旋转的性质和勾股定理的逆定理得到为直角三角形是解题的关键．
2． (2023·浙江温州·八年级期中）如图，点P到等边三角形ABC各顶点的距离分别是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．则∠APB的度数是______度．
【答案】150
【分析】连接PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝PQ＝2，∠PAQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝2，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝2.5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，于是得到结论．
【详解】连接PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，AP=2，PB=1.5，PC=2.5，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP＝AQ＝2，∠PAQ＝60°，
∴△APQ为等边三角形，∠APQ＝60°，
∴PQ＝AP＝2，
∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△AQB中，
∴△APC≌△AQB（SAS），
∴PC＝QB＝2.5，
∵在△BPQ中，，，，
而，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴∠APB＝90°＋60°＝150°．
故答案为：150．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；还考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理以及等边三角形的知识．证明△BPQ是直角三角形是解答本题的关键．
3． (2023·广东顺德德胜学校八年级阶段练习）如图，等边三角形内有一点P，分别连接、、，若，，．
(1)则线段、、构成的三角形是______三角形（填“钝角、直角、锐角”）；
(2)将绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的，并由此求出的度数；
(3)求三角形的面积．
【答案】(1)直角；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）由旋转的性质可得，，，证明是等边三角形，，进而可得的度数；
（3）将绕点B顺时针旋转60°得到，根据是等边三角形，是直角三角形，求出＝，同理，将绕点C顺时针旋转60°得到，将绕点A顺时针旋转60°得到，可得＝，＝，求出的面积，进而根据得出答案．
（1）
解：∵，，，
∴，，
∴，
∴线段、、构成的三角形是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）
解：如图，将绕点B顺时针旋转60°得到，点与点C重合，
由旋转的性质可得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：如图，将绕点B顺时针旋转60°得到，点与点C重合，
由（2）可得是等边三角形，是直角三角形，，，
过点P作PH⊥，则BH＝，
∴PH＝，
∴，
∴＝，
将绕点C顺时针旋转60°得到，
同理可得，是以PC＝10为边的等边三角形，是以6、8、10为边的直角三角形，＝，
将绕点A顺时针旋转60°得到，
同理可得，是以AP＝6为边的等边三角形，是以6、8、10为边的直角三角形，＝，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理的应用等知识，通过旋转构造出等边三角形和直角三角形是解答本题的关键．
1．（1）如图，在等边三角形内有一点，且，，，冰墩墩同学作了如图的辅助线，将绕点按逆时针方向旋转、如图所示，连接，请你按照冰墩墩的方法求出的度数．
（2）如图，在正方形内有一点，且，，，类比第（1）题的方法．
求的度数；
与的面积之和．
（3）如图，在（2）的基础上请求出正方形的面积．
【答案】（1）150°；（2）①135°；②；（3）5
【分析】（1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接，可得△是等边三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，而；
（2）①求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出；
②由（1）知，，，，，即可求出答案．
（3）过点作，交的延长线于点，求出，，关键勾股定理即可求出，即可求出答案．
【详解】解：（1）是等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转得出，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，则△是 直角三角形；
；
（2）①如图，将绕点逆时针旋转得到，
与（1）类似：可得：，，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
；
②由①知，，，，，
，
与的面积之和为
；
（3）由（2）知，，，
过点作，交的延长线于点；
，
，
；
在中，由勾股定理，得；
正方形的面积为5．
【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，解题的关键是正确作辅助线并能根据性质进行证明．
2．如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转后所得的图形与原图形大小相等，可得BD、AD的长和，可证明是等边三角形，得到，利用勾股定理得出即可证明；
（2）通过求解，作AP边上的高BH，则 ，根据即可求出．
(1)
由题意得：，，
是等边三角形
，
是直角三角形；
(2)
是等边三角形
是直角三角形，
作．则
【点睛】本题考查了三角形和旋转，熟练运用旋转的性质特殊三角形的性质是解题的关键．