2024年中考数学几何模型专项复习讲与练 模型36 圆——四点共圆模型-原卷版+解析

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四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆
知识点一：四点共圆的性质
◎结论1：如图 A、B、C、D四点共圆

①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等）
∠ACB＝∠ADB，AB为底；∠BAC＝∠BDC，BC为底；
∠CAD＝∠CBD，CD为底；∠ABD＝∠ACD，AD为底；
②圆内接四边形的对角互补
∠ABC＋∠ADC＝180º；∠BCD＋∠BAD＝180
③圆内接四边形的外角等于内对角
∠BCE为圆内接四边形的一个外角，
则∠BCE＝∠A

知识点二：四点共圆的判定
①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆）

【证明】【共斜边直角三角形】：
取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半
AO＝BO＝CO＝DO，
∴A、B、C、D四点共圆.
②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.
若∠A＋∠C＝180º,则A、B、C、D四点共圆

【证明】（反证法）以B、C、D三点作⊙O，现证明A在⊙O上，
假设点A不在圆上：
①假设点A在⊙O内，在A上方⊙O上取一点P，
∵B,C,D,P四点共圆，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P
而图中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P与∠A＝∠P矛盾
∴假设不成立，点A不在圆内


②假设点A在⊙O外，在A上方⊙O上取一点P，
∵B,C,D,P四点共圆，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P
而图中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P与∠A＝∠P矛盾
∴假设不成立，点A不在圆外。
综上：A只能在圆上，即A，B，C，D四点共圆。
③若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形四点共圆
若∠BCD＝∠A，则A、B、C、D四点共圆
【本质：对角互补】

④若两个点在一条线段的同旁，且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点四点共圆
若∠BAC＝∠BDC，则A、B、C、D四点共圆

证明：以A.B.C作圆，在弧BC上取点P，
则∠BAC＋∠P＝180°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠P＋∠BDC＝180°，
∴四点共圆
∵四点共圆，
B.P.C确定唯一圆
∴四点共圆.
1． (2023·全国·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
2． (2023·全国·九年级专题练习）如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是________．
3． (2023·黑龙江哈尔滨·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．
1． (2023·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．
（1）用等式表示线段与的数量关系：______；
（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系并证明．
2． (2023·福建·厦门市松柏中学九年级阶段练习）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的长．
（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．
1． (2023·福建·中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
圆
模型（三十六）——四点共圆模型
四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一圆上，则称这四个点共圆
知识点一：四点共圆的性质
◎结论1：如图 A、B、C、D四点共圆

①同侧共底的两个三角形顶角相等（同弧所对的圆周角相等）
∠ACB＝∠ADB，AB为底；∠BAC＝∠BDC，BC为底；
∠CAD＝∠CBD，CD为底；∠ABD＝∠ACD，AD为底；
②圆内接四边形的对角互补
∠ABC＋∠ADC＝180º；∠BCD＋∠BAD＝180
③圆内接四边形的外角等于内对角
∠BCE为圆内接四边形的一个外角，
则∠BCE＝∠A

知识点二：四点共圆的判定
①若四个点到一个点的距离相等，则这四个点在同一圆上（四点共圆）

【证明】【共斜边直角三角形】：
取斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半
AO＝BO＝CO＝DO，
∴A、B、C、D四点共圆.
②若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.
若∠A＋∠C＝180º,则A、B、C、D四点共圆

【证明】（反证法）以B、C、D三点作⊙O，现证明A在⊙O上，
假设点A不在圆上：
①假设点A在⊙O内，在A上方⊙O上取一点P，
∵B,C,D,P四点共圆，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P
而图中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P与∠A＝∠P矛盾
∴假设不成立，点A不在圆内


②假设点A在⊙O外，在A上方⊙O上取一点P，
∵B,C,D,P四点共圆，∴∠P＋∠C＝180°，∵∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝∠P
而图中∠A＝∠P＋∠PBA＋∠PDA，即∠A＞∠P与∠A＝∠P矛盾
∴假设不成立，点A不在圆外。
综上：A只能在圆上，即A，B，C，D四点共圆。
③若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形四点共圆
若∠BCD＝∠A，则A、B、C、D四点共圆
【本质：对角互补】

④若两个点在一条线段的同旁，且和这条线段的两个端点连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点四点共圆
若∠BAC＝∠BDC，则A、B、C、D四点共圆

证明：以A.B.C作圆，在弧BC上取点P，
则∠BAC＋∠P＝180°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠P＋∠BDC＝180°，
∴四点共圆
∵四点共圆，
B.P.C确定唯一圆
∴四点共圆.
1． (2023·全国·九年级专题练习）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】A
【详解】
如图，AB=AC=AD
∵
，
故选A．
2． (2023·全国·九年级专题练习）如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是________．
【答案】①③④
【分析】由矩形的性质得出，，，由证明，①正确；由的面积的面积，得出的面积的面积，②不正确；证明、、、四点共圆，得出，③正确；延长交矩形的外接圆于，连接，由圆周角定理得出，由三角形的外角性质得出，得出，④正确；即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴①正确；
∵的面积的面积，
∴的面积的面积，
∴②不正确；
∵，
∴，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
∴③正确；
∵、、、四点共圆，
如图所示：
延长交矩形的外接圆于，连接，
则，
∵，
∴，
∴④正确；
正确的代号是①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角的性质，掌握四点共圆的证明方法进行转化是解题关键．
3． (2023·黑龙江哈尔滨·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．
【答案】17
【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，
∵∠AFE=60°，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，
∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，
∴∠BAF=∠CAG，
∵DT=CE，
∴∠DBT=∠BTD，
∵∠BAD=∠CBE，
∴∠BAD=∠BTD，
∴A、B、D、T四点共圆，
∴∠BAD=∠DAT，
∴∠FAT=∠GAE，
在△FAT和△GAE中，
，
∴△FAT≌△GAE（ASA），
∴FT= GE，
∵FG=50，TE=16，
∴FT=(FG- TE)=17．
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT≌△GAE是解本题的关键．
1． (2023·全国·九年级课时练习）如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．
（1）用等式表示线段与的数量关系：______；
（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系并证明．
【答案】（1）；（2）①画图见解析；②，证明见解析
【分析】（1）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，从而得到△BGF为等腰直角三角形，即可．
（2）①画图2即可；②如图2，连接BF、BG，证明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得结论．
【详解】解：（1）BF＝，
理由是：如图1，连接BG，CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∵EF⊥BC，FE＝FC，
∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG＝CG＝AG，
∵BG＝BG，
∴△AGB≌△CGB（SSS），
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，
∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，
∴△EFG≌△CFG（SSS），
∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF＝FG．
故答案为：BF＝FG；
（2）①如图2所示，
②；理由如下：
如图2，连接BF、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，
∴AG＝EG＝BG＝FG，
∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，
∵，∠BAC＝45°，
∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴DF＝FG．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点．
2． (2023·福建·厦门市松柏中学九年级阶段练习）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的长．
（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．
【答案】（1）BC=；（2）EF的最小值为
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的性质得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性质得BM=，进而即可求解；
（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，易得B，D，E，F四点共圆，从而得∆OEF是等边三角形，进而得EF=BD，由BD⊥CD时， BD的值最小，进而即可求解．
【详解】（1）过点A作AM⊥BC于点M，
∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，
∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，
∴BM=3÷2×=，
∴BC=2 BM=2×=3；
（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴在Rt∆BDF与Rt∆BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，
∴B，D，E，F四点共圆，
∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，
∴∆OEF是等边三角形，
∴EF=OF=BD，
∵∠C=∠EBF =30°，
∴当BD⊥CD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，
∴EF的最小值=BD =×=．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造四边形的外接圆，是解题的关键．
1． (2023·福建·中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．