2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了幂函数及性质，一元二次函数，一元二次函数与其他知识综合，图像问题等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 幂函数及性质
【例1-1】 (2023·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6B．1C．6D．1或﹣6
【例1-2】 (2023·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．2
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（ ）
A．函数是偶函数B．函数是增函数
C．当时，D．当时，
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3． (2023·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．
考点二 一元二次函数
【例2-1】 (2023·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知，则函数在上是增函数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
2． (2023·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3 (2023·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习（理））若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
考点三 一元二次函数与其他知识综合
【例3】 (2023·山东济宁·三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·广东·湛江二十一中）若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点四 图像问题
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．（江西省2022届高三5月高考适应性大练兵联考数学（理）试题）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（安徽省十校联盟2022届高三下学期最后一卷文科数学试题）函数在R上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 幂函数及性质
【例1-1】 (2023·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6B．1C．6D．1或﹣6
【答案】B
【解析】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴，且为偶数或
当时，满足条件；当时，，舍去因此：m＝1故选：B
【例1-2】 (2023·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．2
【答案】A
【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，解得，
又，所以或，
当时，定义域为，且，所以是偶函数，满足题意；
当时，定义域为，而，所以是奇函数，不满足题意，舍去；综上，.故选：A
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（ ）
A．函数是偶函数B．函数是增函数
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，则，
所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错；
又，所以是增函数，故B正确；
因此当时，，故C正确；
当时，因为，，
则
，所以，故D正确.故选：BCD.
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BC
【解析】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.易见，故函数是单调递增的奇函数.
由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.综上可知，，且或或.故选：BC.
3． (2023·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．
【答案】
【解析】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，
又，即，的图像关于轴对称，
即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为：.
4． (2023·上海·高三专题练习）已知函数为幂函数，且为奇函数，则实数a的值_____．
【答案】1
【解析】因为函数为幂函数，所以或.
当时，为偶函数，不符合题意，所以舍去；当时，为奇函数，符合题意.
故答案为：1
考点二 一元二次函数
【例2-1】 (2023·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的图象如图所示，
因为当或时，；当时，，
因为函数的定义域为，所以．故选：C．
【例2-2】 (2023·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知，则函数在上是增函数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设对称轴为，而，函数开口向上，
所以的增区间为，故在上是增函数有，综上，对应可行域如下阴影部分：
所以阴影部分面积为，而的面积为1，故在上是增函数的概率为.故选：D
【例2-3】 (2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BC
【解析】函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.故选： BC.
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【答案】D
【解析】由，，成等差数列，可得，
所以，
所以二次函数的图象与轴交点的个数为1或2.故选：D.
2． (2023·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，
因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为，故选：B
3 (2023·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，需，解得
故实数a的取值范围是故选：C
4． (2023·全国·高三专题练习（理））若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.
考点三 一元二次函数与其他知识综合
【例3】 (2023·山东济宁·三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若，则函数的值域为，不合乎题意，
因为二次函数的值域为，则，
且，所以，，可得，则，
所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.
【一隅三反】
1． (2023·广东·湛江二十一中）若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，要使函数有最大值，
则内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，可知0＜a＜1．
要使内层函数要有最小正值，则，解得．综合得a的取值范围为．故选：B.
2．（2022·黑龙江）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程有解，有解，
令，则可化为有正根，
则在有解，又当时，所以，故选：．
3． (2023·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的值域为，可得真数部分取到所有的正数，
即函数取到所有的正数，所以是函数的值域的子集，
所以解得：或，所以实数的取值范围是：.故选：A.
考点四 图像问题
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；
当时，指数函数递增，，B不符合题意．故选：C．
【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B选项；
当时，可得，则，
当时，，单调递减；排除A选项
当时，，单调递增，
所以排除D选项，选项C符合.
故选：C.
【一隅三反】
1． (2023·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题可得和是方程的两个根，且，
，解得，则，
则函数图象开口向下，与轴交于.故选：C.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数，
因为，令，可得，即函数图象过点，
又由，可得，所以抛物线的开口向上，可排除D项，
令，可得，可排除B、C项；
故选：A.
3． (2023·全国·高三专题练习）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数，满足，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；该函数是幂函数，，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误.
故选：A.
4．（江西省2022届高三5月高考适应性大练兵联考数学（理）试题）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题得，则f(x)为偶函数，排除A；又，排除B；当时，当时，所以排除D，
故选：C．
5．（安徽省十校联盟2022届高三下学期最后一卷文科数学试题）函数在R上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除D；
，排除B；
，排除C，
故选：A.