2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了不等式的性质，代数式的范围，比较大小，已知一元二次不等式的解求参，一元二次不等式恒成立问题，解含参的一元二次不等式等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 不等式的性质
【例1-1】 (2023·北京·高三学业考试）已知a，b是实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】 (2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【一隅三反】
1． (2023·江西上饶·高三阶段练习（理））若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2． (2023·重庆市育才中学高三阶段练习）已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
考点二 代数式的范围
【例2】 (2023·全国·高三专题练习）设实数、满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点三 比较大小
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）设＜＜＜1，则( )
A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa
【例3-2】 (2023·山东·滕州市第一中学新校高三开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．a【一隅三反】
1． (2023·江苏江苏·高三期末）已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b
2． (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的序号是（ ）
①，②，③，④若，则
A．①②B．①③C．①④D．②④
考点四 已知一元二次不等式的解求参
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为_____.
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习（理））若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】 (2023·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13B．18C．21D．26
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
2． (2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．4
3． (2023·浙江·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
考点五 一元二次不等式恒成立问题
【例5-1】 (2023·浙江·高三专题练习）已知不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】 (2023·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）已知“，使得不等式”不成立，则下列a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．或
考点六 解含参的一元二次不等式
【例6】 (2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：()．
2． (2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式.
3． (2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）
2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 不等式的性质
【例1-1】 (2023·北京·高三学业考试）已知a，b是实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于，所以，A选项正确.，BD选项错误.
，C选项错误.故选：A
【例1-2】 (2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【解析】．若，当时， ，所以不成立；
．若，当时，则，所以不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以成立
．若且，当时，则，所以，则不成立．故选：．
【一隅三反】
1． (2023·江西上饶·高三阶段练习（理））若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，若，则，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，
故选：D
2． (2023·重庆市育才中学高三阶段练习）已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A. 当时， ，故错误；
B. 当时，，故错误；
C. 当时，，不成立，故错误；
D. 由，则，则，故正确；故选：D
3． (2023·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】取满足，且，此时，A错误；
取满足，且，此时，B错误；
可得，C正确；
取满足，且，此时，D错误.故选：C.
考点二 代数式的范围
【例2】 (2023·全国·高三专题练习）设实数、满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知得，，，故，故选：B.
【一隅三反】
1． (2023·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则解得，∴，
又，，∴即.故选：B.
2． (2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，由，得.故选：A.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
设，所以，解得：，
，
因为，，所以，
因为单调递增，所以.故选：C
考点三 比较大小
【例3-1】 (2023·全国·高三专题练习）设＜＜＜1，则( )
A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa
【答案】C
【解析】∵＜＜＜1，∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.
∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.故答案为C
【例3-2】 (2023·山东·滕州市第一中学新校高三开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．a【答案】D
【解析】，
设，， 当时，
与相交于点和原点时，
，即故选：D.
【一隅三反】
1． (2023·江苏江苏·高三期末）已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【答案】C
【解析】，,即，
，，
，，，故选：C
2． (2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
又因，所以且，
所以，所以，故选：D
3． (2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的序号是（ ）
①，②，③，④若，则
A．①②B．①③C．①④D．②④
【答案】B
【解析】因为，即，则，得.
对于①，因为指数函数为上的减函数，则，①对；
对于②，，则，②错；
对于③，构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，则，即，
故，③对；
对于④，，则，则，④错.故选：B.
考点四 已知一元二次不等式的解求参
【例4-1】 (2023·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为_____.
【答案】（﹣2，3）
【解析】∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|}，∴，是ax2+bx+2＝0的一元二次方程的两个实数根，∴，解得a＝﹣12，b＝﹣2.
则不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣2x﹣12＜0，即x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3.
∴不等式2x2+bx+a＜0的解集为（﹣2，3）.故答案为：（﹣2，3）.
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习（理））若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据原不等式可以推出，
因为不等式的解集为或，所以，是方程的两根，且，所以.故选:A
【例4-3】 (2023·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13B．18C．21D．26
【答案】C
【解析】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
根据题意可得，，解得，
因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得，即，
解得，又所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.故选：C
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
2． (2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【解析】由且不等于1，由题意得，，解得.故选：D.
3． (2023·浙江·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】一元二次不等式的解集为，所以，是方程的两个根，所以，，即，，则，可知其解集为，故选：C．
考点五 一元二次不等式恒成立问题
【例5-1】 (2023·浙江·高三专题练习）已知不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由解得故选：B
【例5-2】 (2023·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，对恒成立；
当时，若，对恒成立，
则必须有，解之得，综上，的取值范围为.
故“对恒成立”的一个充要条件是，故选：B
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）已知“，使得不等式”不成立，则下列a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为“，使得不等式”不成立，则不等式对恒成立，
等价于时恒成立，因为．故BCD不正确．故选：A.
2． (2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【解析】当时，该不等式为，解集为，不成立；
当时，由不等式的解集为，得，解得，故选：B.
考点六 解含参的一元二次不等式
【例6】 (2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．
【答案】答案见解析.
【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．
②当a＞0时，原不等式化为 (x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1．
③当a＜0时，原不等式化为 (x＋1)≤0．
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1．
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为或；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：()．
【答案】当①或时，不等式的解集为；
②当或时，不等式的解集为；
③当或时，不等式的解集为．
【解析】原不等式化为，
①或时，不等式为，所以不等式的解集为；
②当或时，，不等式的解集为；
③当或时，，不等式的解集为．
综上所述：当①或时，不等式的解集为；②当或时，不等式的解集为；③当或时，不等式的解集为．
2． (2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式.
【答案】答案见解析.
【解析】当时，不等式的解为；
当时，不等式对应方程的根为或2，
①当时，不等式即 的解集为；
②当时，不等式的解集为 ；
③当时，不等式的解集为 ；
④当时，不等式的解集为 .
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
3． (2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）
【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解.
【解析】（1）由可得：，
又因为，解得：,所以原不等式的解集为；
（2），
当时，，无实数解，
当时，，的无实数解，
当时，，的解为，
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为
（3）由可得，
当时，的解为，
当时，的解为或，
当时，的解为，
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为.