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2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.5 空间向量求空间角(精练)(基础版)(原卷版+解析版)
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A.B.C.D.
2. (2023·贵州毕节·三模(理))在正四棱锥中,底面边长为,侧棱长为,点P是底面ABCD内一动点,且,则当A,P两点间距离最小时,直线BP与直线SC所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
3. (2023·青海·模拟预测(理))手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示,,,P,Q,M,N分别是棱AB,,,的中点,则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______.
4.(2023·全国·高三专题练习)如图所示,是棱长为的正方体,、分别是下底面的棱、的中点,是上底面的棱上的一点,,过、、的平面交上底面于,在上,则异面直线与所成角的余弦值为___________.
题组二 线面角
1. (2023·上海市七宝中学高三阶段练习)如图所示,在长方体中,,,是棱上的点,且.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2. (2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱柱中,底面,的中点为,四面体的体积为,四边形的面积为.
(1)求到平面的距离;
(2)设与交于点O,是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.
3. (2023·全国·高三专题练习)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==.
(1)证明:;
(2)点在棱上,且=,求直线与平面的夹角的正弦值.
4.(2023·全国·高三专题练习(理))如图,四面体中,,E为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值.
5.(2023·全国·高三专题练习)如图,在直三棱柱中,,,,E分别是,AB的中点,且.
(1)证明:;
(2)求与平面所成角的正弦值.
题组三 二面角
1. (2023·广东惠州·高三阶段练习)如图,在五面体中,为边长为2的等边三角形,平面,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若直线与平面所成角的正切值为,求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
2.(2023·全国·高三专题练习(理))如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,,平面平面.
(1)证明:.
(2)若四棱锥的体积为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
3.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AD⊥DC,AB∥DC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为;
①求三棱锥P-ACE的体积;
②求二面角P-AC-E的余弦值.
4. (2023·四川·成都七中模拟预测(理))如图1,在等边中,点D,E分别为边AB,AC上的动点且满足,记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.
(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值;
(2)试探究:随着λ值的变化,二面角BMDE的大小是否改变?如果改变,请说明理由;如果不改变,请求出二面角的正弦值大小.
5.(2023·山西大同·高三阶段练习)如图,在四棱锥中,平面平面,是等腰直角三角形,是底角.
(1)求证:平面平面.
(2)若,求二面角的余弦值.
6. (2023·广东惠州·高三阶段练习)如图,在四棱锥P−ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥CD,BC=BP,CD=2AB=4,△ADP是等边三角形,E为DP的中点.
(1)证明:AE⊥平面PCD;
(2)若,求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.
7.5 空间向量求空间角(精练)(基础版)
题组一 线线角
1. (2023·辽宁丹东·模拟预测)在三棱锥中,平面ABC,,是正三角形,M,N分别是AB,PC的中点,则直线MN,PB所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图,以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系,设
则
,则直线MN,PB所成角的余弦值为
故选:D.
2. (2023·贵州毕节·三模(理))在正四棱锥中,底面边长为,侧棱长为,点P是底面ABCD内一动点,且,则当A,P两点间距离最小时,直线BP与直线SC所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】如图所示,连接交于点,连接,
因为四棱锥为正四棱锥,可得底面,
由底面边长为,可得,所以,
在直角中,,可得,
又由,在直角中,可得,
即点在以为圆心,以为半径的圆上,
所以当圆与的交点时,此时两点间距离最小,最小值为,
以分别为轴、轴和轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
可得,
则,可得,
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选:A.
3. (2023·青海·模拟预测(理))手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示,,,P,Q,M,N分别是棱AB,,,的中点,则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______.
【答案】
【解析】如图,以为原点建立空间直角坐标系,
因为,,
所以可得,
所以,
所以,
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.
故答案为:.
4.(2023·全国·高三专题练习)如图所示,是棱长为的正方体,、分别是下底面的棱、的中点,是上底面的棱上的一点,,过、、的平面交上底面于,在上,则异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、,
因为平面平面,平面平面,平面平面,所以,,
设点,,,
因为,所以,,即点,
,,
所以,.
因此,异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为:.
题组二 线面角
1. (2023·上海市七宝中学高三阶段练习)如图所示,在长方体中,,,是棱上的点,且.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由,.
(2)以点为原点,、、所在直线分别为轴、轴和轴,建立空间直角坐标系,则,
,.
设平面的一个法向量为,则
,,
即,
令,则
设直线与平面所成角的为,则
,
所以设直线与平面所成角的正弦值为
2. (2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱柱中,底面,的中点为,四面体的体积为,四边形的面积为.
(1)求到平面的距离;
(2)设与交于点O,是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解:因为为的中点,,所以,
设到平面的距离为h,则到平面的距离为,
因为,
即,
即,得,即到平面的距离.
(2)因为是以为直角的等腰直角三角形,由(1)知,所以,
如图,以,,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则点,,,,.
则,,.
设平面的法向量为,
则由解得.
令,则,于是平面的一个法向量为.
所以直线与平面所成角的正弦值为
.
故直线与平面所成角的正弦值为.
3. (2023·全国·高三专题练习)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==.
(1)证明:;
(2)点在棱上,且=,求直线与平面的夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明:取的中点,连,,
∵为等边三角形,且是边的中点,
∴,
∵平面底面,且它们的交线为,
∴平面,则,
∵,且
∴平面,
∴;
(2)由(1)知,面,
,
故以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系,
易求
各点坐标如下,
则
设平面的一个法向量为
则
令,得平面的一个法向量为
4.(2023·全国·高三专题练习(理))如图,四面体中,,E为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
【解析】(1)因为,E为的中点,所以;
在和中,因为,
所以,所以,又因为E为的中点,所以;
又因为平面,,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)连接,由(1)知,平面,因为平面,
所以,所以,
当时,最小,即的面积最小.
因为,所以,
又因为,所以是等边三角形,
因为E为的中点,所以,,
因为,所以,
在中,,所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,所以,
设平面的一个法向量为,
则,取,则,
又因为,所以,
所以,
设与平面所成的角的正弦值为,
所以,
所以与平面所成的角的正弦值为.
5.(2023·全国·高三专题练习)如图,在直三棱柱中,,,,E分别是,AB的中点,且.
(1)证明:;
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)法一:(1),D为BC中点, 在直三棱柱中,平面ABC,又AD平面ABC,.又,平面,平面,又平面,.法二:如图建立空间直角坐标系A-xyz,设AB=2a,则,,,,,,,,
(2)法一:由(1)得,平面,设AB=a,由得,.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则,,,,,,设为平面的一个法向量,即令, 设与平面所成角为,则法二:,D为BC中点,在直三棱柱中,平面ABC,又AD平面ABC,又,平面,平面,设AB=a,由得,.则,,,,,,,设为平面的一个法向量,,即令,,设与平面所成角为,则.
题组三 二面角
1. (2023·广东惠州·高三阶段练习)如图,在五面体中,为边长为2的等边三角形,平面,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若直线与平面所成角的正切值为,求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取的中点为,的中点为,连接,,,
因为平面,平面,故,
而为等边三角形,,所以,
又M、N分别为BE、AB所在棱的中点,所以,
又,,所以,,故四边形为平行四边形,
所以,
则,,
又,平面,所以平面,
而平面,故平面平面.
(2)
由(1)可知,为直线与平面所成角,
设,则,,
则,解得
法一:向量法(通性通法)如图建立空间直角坐标系,
则、、
∴、
设平面的法向量,则,
令,解得,,则
∵平面,∴是平面的一个法向量
∴
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.
法二:几何法:延长ED交AC的延长线于S,连接BS,则平面平面
由(1)易知,,则,所以平面,
又平面,所以,,
故为平面与平面所成的锐二面角,
又,则,故
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.
2.(2023·全国·高三专题练习(理))如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,,平面平面.
(1)证明:.
(2)若四棱锥的体积为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)因为在中,,故,所以,解得,故,故.又平面平面且交于,故平面,又平面,故
(2)由(1)结合锥体的体积公式可得,故,解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
则,,,故,,设平面的一个法向量为,则,即,令有,故,又平面的一个法向量为,设平面与平面所成的锐二面角为,则
3.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AD⊥DC,AB∥DC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为;
①求三棱锥P-ACE的体积;
②求二面角P-AC-E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)①;②
【解析】(1)证明:∵平面,平面,∴.∵,有,且ABCD是直角梯形,∴,即,∴.∵,平面,平面,∴平面.∵平面,∴平面平面
(2)①由(1)易知平面,∴即为直线与平面所成角.∴,∴,则∴.②取的中点G,连接,以点C为坐标原点,分别以、、为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,∴,,设为平面的法向量,则,,得,取,,得设平面的法向量,则,,取,,,得.∴.所求二面角为锐角,二面角的余弦值为.
4. (2023·四川·成都七中模拟预测(理))如图1,在等边中,点D,E分别为边AB,AC上的动点且满足,记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.
(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值;
(2)试探究:随着λ值的变化,二面角BMDE的大小是否改变?如果改变,请说明理由;如果不改变,请求出二面角的正弦值大小.
【答案】(1)
(2)不改变,
【解析】(1)取的中点为,连接,,
因为,,所以NP∥BC,
又DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四点共面,
又EN∥平面BMD,EN⊂平面NEDP,
平面NEDP∩平面MBD=DP,
所以EN∥PD,即NEDP为平行四边形,
所以NP=DE,则DE=BC,即λ=.
(2)
取的中点,连接MO,则MO⊥DE,因为平面MDE⊥平面DECB,
平面MDE∩平面DECB=DE,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,
如图建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,,
所以,,
设平面的法向量为,则
,即,
令,即.
又平面的法向量,
所以,
即随着值的变化,二面角的大小不变.
且.
所以二面角的正弦值为.
5.(2023·山西大同·高三阶段练习)如图,在四棱锥中,平面平面,是等腰直角三角形,是底角.
(1)求证:平面平面.
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)证明:因为平面平面,
平面平面,平面
∴平面
又平面,所以
又,且
∴平面
又平面,所以平面平面
(2)
取的中点O,连接
如图:以O为坐标原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
则点
,,,
设平面的法向量
则有取,
设平面的法向量
即,取,可得
即平面的一个法向量
设二面角大小为,由图知为锐角
6. (2023·广东惠州·高三阶段练习)如图,在四棱锥P−ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥CD,BC=BP,CD=2AB=4,△ADP是等边三角形,E为DP的中点.
(1)证明:AE⊥平面PCD;
(2)若,求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取的中点,连接,,
因为是等边的中线,所以
因为是棱的中点,为的中点,
所以,且
因为,,所以,且,
所以四边形是平行四边形,所以.
因为,为的中点,所以,从而.
又,且平面,平面,
所以平面.
(2)
由(1)知,又,,且、平面,
所以面,从而平面.
以为坐标原点,,,的方向分别为,,轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,
所以,,
设平面的法向量为,
由得
令,则,,所以.
又平面的一个法向量为,
所以,
即平面与平面夹角的余弦值为.
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