2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）（原卷版+解析版），共32页。

2． (2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：
3． (2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面．证明：
4． (2023·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上．
(1)求四棱锥的全面积；
(2)求证：．
5． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．
(1)若D是BC的中点，求证：；
(2)过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若，求证：截面侧面．
6． (2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在AD上，且，，为的中点，，．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
7． (2023·河南安阳）如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．
(1)证明：；
(2)若，，求点A到平面PDC的距离．
8． (2023·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，．
(1)求证：；
(2)求到平面的距离．
题组二 线面垂直
1． (2023·广东珠海）如图，在三棱柱中，，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面为菱形，求证：平面.
2． (2023·山东省莱西市第一中学）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
3． (2023·山东菏泽）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.
(1)若F为PA的中点，求证平面PCD
(2)求证平面PCD.
4． (2023·北京平谷）如图，在三棱锥中，底面，，分别为，的中点.设平面与平面交于直线
(1)求证：平面；
(2)求证：∥.
5． (2023·北京通州）如图，在三棱维中，，平面平面.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
6． (2023·广西钦州）如图，在三棱锥V—ABC中，M，N分别为的棱VA，VB的中点，，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．
(1)求证：AB//平面CMN；
(2)求证：AB⊥平面VBC．
7． (2023·广东江门）如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．
(1)求证：平面；
(2)当为何值时，使得？
8． (2023·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：
(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
9． (2023·河南·新蔡县第一高级中学）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在点P，使得平面？说明理由.
10． (2023·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
题组三 面面垂直
1． (2023·四川省内江市第六中学）如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求几何体的体积
2． (2023·湖北武汉·高三开学考试）在直三棱柱中，已知侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，，证明：平面⊥平面；
3 (2023·全国·高三专题练习（文））如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
4． (2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
5． (2023·福建龙岩）如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，，，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
6． (2023·辽宁）如图，在直四棱柱中，四边形为菱形，且为棱上的一个动点.已知.
(1)当点为的中点时，证明：平面；
(2)若平面平面，求的长.
7.2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）
题组一 线线垂直
1． (2023·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：
【答案】证明见解析；
【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，
又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
2． (2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连，，
∵为等边三角形，且是边的中点，
∴，
∵平面底面，且它们的交线为，
∴平面，则，
∵，且
∴平面，
∴；
3． (2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面．证明：
【答案】证明见解析；
【解析】证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
4． (2023·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，， 是的中点，点在棱上．
(1)求四棱锥的全面积；
(2)求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴,
同理可得,
∴
.
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．
5． (2023·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．
(1)若D是BC的中点，求证：；
(2)过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若，求证：截面侧面．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：∵，D是BC中点，∴，
∵底面侧面，交线为BC，
∴侧面，
又∵侧面，
∴；
(2)证明：取中点E，连接DE，ME，
在中，D，E分别是BC，的中点，∴且
又且，∴且，
∵，
∴且，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴，
由（1）知面，∴侧面，
又∵面，
∴面侧面．
6． (2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在AD上，且，，为的中点，，．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：如图所示，连接，因为平面平面，且，为AB的中点，所以，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为矩形，，所以，，且，所以，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以.
（2）解：设，点到平面的距离为，由（1）知平面，所以，所以 ，因为，即，所以，解得，即点到平面的距离为.
7． (2023·河南安阳）如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．
(1)证明：；
(2)若，，求点A到平面PDC的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取中点，连接，，
因为底面是直角三角形，，所以，
因为D为AB的中点，所以，所以，
又，所以，
因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以.
(2)连接，，
由（1），因为，，，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
因为，，，平面，
所以平面，
所以，
因为是的中点，所以，
因为直角三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
所以在等腰中，边上的高为，
所以，
设点A到平面PDC的距离为，因为，
所以，则，
所以点A到平面PDC的距离为.
8． (2023·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，．
(1)求证：；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为在底面内的射影为，所以面面，
又因为，面面，面
所以面，
又因面因此，
同理，
又,面,面
所以面，
又面,所以，
连接，易得，，又，
故，
又,面,面
因此面，
又面
即；
(2)
在中.
在中.
把到平面的距离看作三棱锥的高h，
由等体积法得，，
故，即，
故到平面的距离为．
题组二 线面垂直
1． (2023·广东珠海）如图，在三棱柱中，，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面为菱形，求证：平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.
由，而，面，所以面，又面，则，由侧面为菱形，故，又，面，故平面.
2． (2023·山东省莱西市第一中学）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)证明：（1）取的中点，连接，，
∵是的中点，∴，，
∵和都垂直于平面，∴，
∵，∴，，
∴四边形为平行四边形，从而，
∵平面，平面，∴平面．
(2)证明∵垂直于平面，平面，∴，
∵，∴，
∵，平面，∴平面，
由（1）可知：，∴平面．
3． (2023·山东菏泽）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.
(1)若F为PA的中点，求证平面PCD
(2)求证平面PCD.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示
因为E、F分别为PD、PA中点，
所以，且，
又因为，且，
所以且，
所以四边形EFBC为平行四边形，
所以，
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD
(2)因为，F为PA中点，
所以，则，
因为，平面PCD，
所以平面PCD.
4． (2023·北京平谷）如图，在三棱锥中，底面，，分别为，的中点.设平面与平面交于直线
(1)求证：平面；
(2)求证：∥.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】(1)因为 平面， 平面， 所以 .
因为 ，， 所以 平面.
(2)在中，因为 ，分别为，的中点，所以 .
因为 平面，平面，所以 平面.
因为平面与平面交于直线，所以∥.
5． (2023·北京通州）如图，在三棱维中，，平面平面.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)在三棱维中，因，，平面，
于是得平面，而平面，
所以.
(2)在平面内过点A作于，如图，
因平面平面，平面平面，则有平面，而平面，
于是得，由（1）知，，平面，
所以平面.
6． (2023·广西钦州）如图，在三棱锥V—ABC中，M，N分别为的棱VA，VB的中点，，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．
(1)求证：AB//平面CMN；
(2)求证：AB⊥平面VBC．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)证明：因为M，N分别为的棱VA，VB的中点，
所以，
又平面CMN，平面CMN，
所以AB//平面CMN；
(2)证明：因为，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，
所以，
因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC平面ABC，平面VAC，
所以平面，
又平面，所以，
因为，
所以平面.
7． (2023·广东江门）如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．
(1)求证：平面；
(2)当为何值时，使得？
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又侧面是正三角形，E为侧棱的中点，
所以，
因为，，，
所以平面；
(2)设的中点为，连接，
则，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
所以是在平面上的射影，
要使得，只需要，
在矩形中，设，
由，可知，
又，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
所以，
所以当为何值时，使得
8． (2023·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：
(1)平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.
∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴，.
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形DEFM为平行四边形.
∴，
∵平面PDC，平面PDC.
∴平面PDC.
(2)
∵ 四边形ABCD为正方形，∴.
又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵平面PAB，∴.
连接AF，∵，F为PB中点，∴.
又，AD，平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
9． (2023·河南·新蔡县第一高级中学）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在点P，使得平面？说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为的中点，理由见解析.
【解析】(1)由题知，平面平面，且交线为，
因为平面，所以平面，
又平面，故，
因为M为半圆弧上异于C，D的点，且为直径，所以，
又，且、平面，所以平面；
(2)当P为的中点时，平面，证明如下：
连接和交于O，因为为矩形，所以O为中点，
连接，因为P为中点，所，
又平面，平面，所以平面.
10． (2023·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线平面ADF；
(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，
所以，
又，平面，
所以平面；
(2)证明：依题意可得且，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
(3)证明：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
过点作，交于点，
若选①，，，所以，
所以，此时，
所以
如图过点作交的延长线于点，
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，显然平面与平面不垂直；
若选②：，则，所以，，
所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
若选③：，又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面；
题组三 面面垂直
1． (2023·四川省内江市第六中学）如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求几何体的体积
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：因为是边长为2的菱形，，所以和都是边长为2的正三角形，因为平面，所以、，又因为与平面所成的角为，所以，所以，取中点，连接、，又因为，，所以四边形为矩形，于是平面，，，又因为，取中点，连接、，因为，所以，因为，所以，所以为平面与平面构成二面角的平面角，又因为，，，所以，所以，所以平面平面．
解：因为平面平面所以平面平面设的中点，连接，有因为平面平面所以面，即是四棱锥B-CDEF的高易求 所以
2． (2023·湖北武汉·高三开学考试）在直三棱柱中，已知侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，，证明：平面⊥平面；
【答案】证明见解析
【解析】由题设条件可知，∵ 四边形为正方形∴∵ E，F分别为BC，的中点∴ ∴又∵ ∴∴，又∵且∴平面，又BF平面，∴平面⊥平面.
3 (2023·全国·高三专题练习（文））如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明详见解析(2)
【解析】(1)由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
(2)依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以.
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以,
所以.
4． (2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接.三棱柱中，，．则，则，则，∴，又∵，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．
（2）取AB的中点D，连接CD，∵ ，∴ ，又由（1）知平面平面，平面平面则平面，且．则三棱锥的体积为，则三棱柱的体积为6，∵，∴在四边形中，，又∵四棱锥的体积为，∴三棱锥的体积为．
5． (2023·福建龙岩）如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，，，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)连接交于，连接，易得为中点，又为线段的中点，则，
又平面，平面，则平面；
(2)由余弦定理得：，即，则，则，
平行四边形为矩形，则，又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，则，又是半圆弧上的点，则，又，平面，则平面，又平面，则平面平面.
6． (2023·辽宁）如图，在直四棱柱中，四边形为菱形，且为棱上的一个动点.已知.
(1)当点为的中点时，证明：平面；
(2)若平面平面，求的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接，交于点，连接，
在菱形中，为的中点，又点为的中点，
所以，因为平面平面，
所以平面；
(2)连接,在直三棱柱中，平面，又平面，
所以，
由勾股定理可知，，
在菱形中，为中点，且，所以，
且，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
由于共面， 则 ,而，
故,故 ,
所以，
因为，所以.