2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.1 空间几何中的平行（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 7.1 空间几何中的平行（精练）（基础版）（原卷版+解析版），共41页。试卷主要包含了线面垂直的性质等内容，欢迎下载使用。
(2023·云南丽江）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，E为的中点，求证：平面
2 (2023·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC
3． (2023·浙江·瑞安市第六中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面
4． (2023·河北唐山）如图，在直三棱柱中，为的中点，求证：平面
5． (2023·吉林·长春市实验中学）已知直三棱柱中，D为AB中点，求证：平面
题组二 构造平行四边形
1． (2023·黑龙江·哈师大附中高一期末）四棱锥底面为直角梯形，，，为的中点，求证：平面
2． (2023·辽宁朝阳）如图，在直三棱柱中，分别是，的中点，求证：平面
3． (2023·吉林·长春市第五中学）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为侧棱的中点，求证：平面
4． (2023·辽宁抚顺·高一期末）在正方体中，分别是和的中点.求证：
(1)平面.
(2)平面平面.
5． (2023·辽宁抚顺·高一期末）直四棱柱，底面是平行四边分别是棱的中点，求证：平面
6． (2023·湖南衡阳）如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，，求证：平面∥平面
7． (2023·福建·厦门市湖滨中学）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
题组三 等比例
1． (2023·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
2． (2023·安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值
3． (2023·全国高三）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值
4． (2023·福建省）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，在线段上，且，证明：平面
5 (2023·安徽）如图，多面体中，底面为等腰梯形，，，，，且，求证：平面
6． (2023福建）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，.，证明:平面
题组四 线面平行的性质
1． (2023·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
2． (2023·山东·济南市章丘区第四中学）如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：；
3． (2023云南）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
4． (2023·北京海淀·高三期末）如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点F，求证：
5． (2023·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，点是的中点，在上，若过的平面交于，交于，求证：平面
6． (2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，是的中点．设平面与平面的交线为l，求证：平面
7． (2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：
8． (2023·全国·高三专题练习）在三棱柱中，
（1）若分别是的中点，求证：平面平面.
（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．
题组五 面面平行的性质
1． (2023·四川成都）如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：．
2． (2023·山东淄博·高一期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，证明：直线平面
3． (2023·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点，求证：PN∥面ACC1A1
4． (2023·河南驻马店）如图所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE，AC，证明：面BEF
5． (2023·湖南）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.证明：平面
6． (2023·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面
题组六 线面垂直的性质
1． (2023·河南南阳）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．求证：平面
2． (2023·广东揭阳）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.证明：面
3． (2023·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将分别沿折起，使，得到如图（2）所示的几何体．求证：
4． (2023·河南·三模）多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.求证：平面ECD
5． (2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，.证明：平面平面.
6． (2023·全国·高三专题练习）如图所示的多面体中，四边形为矩形，，平面，求证：平面.
7． (2023·全国·课时练习）如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中点，求证：平面．
7.1 空间几何中的平行（精练）（基础版）
题组一 三角形中位线
1． (2023·云南丽江）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，E为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形为正方形，∴O为的中点，∵E为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面；
2 (2023·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC
【答案】证明见解析；
【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.
3． (2023·浙江·瑞安市第六中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：设，连接，因为分别为中点，所以//，平面，平面，所以//平面．
4． (2023·河北唐山）如图，在直三棱柱中，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，设，连接，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，因此，平面.
5． (2023·吉林·长春市实验中学）已知直三棱柱中，D为AB中点，求证：平面
【答案】证明见解析；
【解析】在直三棱柱中，连，连，如图，则O为中点，而D为AB中点，则有，又平面，平面，所以平面.
题组二 构造平行四边形
1． (2023·黑龙江·哈师大附中高一期末）四棱锥底面为直角梯形，，，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析；
【解析】取的中点，连接，如图所示，
为的中点，为的中点，，且，又底面为直角梯形，,，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.
2． (2023·辽宁朝阳）如图，在直三棱柱中，分别是，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，分别是的中点，
取的中点，连接，
所以.
因为，所以，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为平面 平面，
所以平面.
3． (2023·吉林·长春市第五中学）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为侧棱的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；
4． (2023·辽宁抚顺·高一期末）在正方体中，分别是和的中点.求证：
(1)平面.
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面平面，所以平面，
连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所以平面.由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.
5． (2023·辽宁抚顺·高一期末）直四棱柱，底面是平行四边分别是棱的中点，求证：平面
【答案】见解析
【解析】证明：取的中点，连结，在中，分别为的中点，所以且，底面是平行四边形，是棱的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以平面平面，所以平面
6． (2023·湖南衡阳）如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，，求证：平面∥平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四棱柱的底面ABCD为正方形，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面，
同理∥平面．
又，
所以平面∥平面．
7． (2023·福建·厦门市湖滨中学）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
（1）证明：连接交于点，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.
（2）证明：因为且，为的中点，为的中点，所以，，，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，所以，平面，因为，因此，平面平面.
题组三 等比例
1． (2023·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，由，得，而，，则有，即，于是得，又平面，平面，则平面，因，平面，所以平面平面.
（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.
2． (2023·安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值
【答案】（1）1∶2；
【解析】连接与交于点N，连接，
，，，，
又平面，平面，且平面平面
．
3． (2023·全国高三）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值
【答案】
【解析】过点作交于点，连接，
，，与确定一个平面．
平面，平面平面，，
四边形为平行四边形，．
又，，，．
4． (2023·福建省）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，在线段上，且，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】连接交于点，连接，
因为四边形为菱形，则且，
为的中点，则且，故，
所以，，，
平面，平面，因此，平面；
5 (2023·安徽）如图，多面体中，底面为等腰梯形，，，，，且，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】中，，.
设，连结，
，，.
，又，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面.
6． (2023福建）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，.，证明:平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：四边形是梯形且，
又,
又,是等腰直角三角形．
，,
如图，连接交于点连接.
,
在中，由余弦定理得
解得故
又点在棱上，且在中，
又平面平面故平面;
题组四 线面平行的性质
1． (2023·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
【答案】证明见解析
【解析】(1)证明：因为四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
(2)证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
(3)证明：平面，平面，平面平面，
.
2． (2023·山东·济南市章丘区第四中学）如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：；
【答案】证明见解析
【解析】取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE
（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面所以
3． (2023云南）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.
因为面,面,所以AF//平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为面,面,所以AB//平面.
因为面,面面=EF.
所以AB//EF.
4． (2023·北京海淀·高三期末）如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点F，求证：
【答案】证明见解析；
【解析】由长方体的性质知：面面，又面，
∴面，又面面，且面，∴.
5． (2023·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，点是的中点，在上，若过的平面交于，交于，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为平面，平面，
平面，，
又平面，平面，平面；
6． (2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，是的中点．设平面与平面的交线为l，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：在正方体中，平面平面，
又因为平面平面＝l，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
7． (2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：
【答案】证明见解析
【解析】由题意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
而平面平面，平面平面，∴.
8． (2023·全国·高三专题练习）在三棱柱中，
（1）若分别是的中点，求证：平面平面.
（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】（1）∵分别是的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又∵，平面，
∴平面平面；
（2）连接交于O，连接，
由平面平面，且平面平面，
平面平面，
∴，
则，
又由题设，∴，即.
题组五 面面平行的性质
1． (2023·四川成都）如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【解析】(1)取PB中点，连接FG，EG，
因为点E、F分别为AD、PC的中点，
所以，，
因为四边形ABCD为长方形，所以，且，
所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；
由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.
2． (2023·山东淄博·高一期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，证明：直线平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接、、，
在正方体中，且，
、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则且，
又因为且，则且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
因为且，故四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，则，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
平面，平面.
3． (2023·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点，求证：PN∥面ACC1A1
【答案】证明见解析
【解析】∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面．
4． (2023·河南驻马店）如图所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE，AC，证明：面BEF
【答案】证明见解析
【解析】方法一：取ED中点H，连接HA，HC，HF，如下图：
由题意可知,即四边形AFEH为平行四边形，
可得，面EFB, 面EFB，可得面EFB，
四边形AFHD为平行四边形，则，，
可得四边形BCHF为平行四边形，则，面EFB, 面EFB，
可得面EFB，，面AHC, 面AHC,
根据面面平行的判定定理可得面面AHC，面AHC,
从而可得面EFB．
方法二：在面AFED内，延长EF，DA交于G点，连接BG，如下图：
则面EFB．由条件，则．
从而可得，四边形AGBC为平行四边形．
可得，又面EFB，面EFB，
根据线面平行的判定定理可得面EFB．
5． (2023·湖南）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】设为的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
6． (2023·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面
【答案】证明见解析；
【解析】取的中点，连接CG、GF、EO．
∵，
则，
∵点是的中点，故，且平面，
故平面．
又，故是的中点，是的中点，
则，且平面，
故平面，且，
故平面平面．
又平面，故平面．
题组六 线面垂直的性质
1． (2023·河南南阳）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接、，
因为、都垂直于平面，则且，
因为、分别为、的中点，则且，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面.
2． (2023·广东揭阳）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.证明：面
【答案】见解析
【解析】证明：连接，，，可得平面，
∵平面，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面；
3． (2023·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将分别沿折起，使，得到如图（2）所示的几何体．求证：
【答案】证明见解析；
【解析】图（1）中，，则，而，即，
在中，，有，
同理可得，则，
图（2）中，，则，而，平面，则有平面，
在中，，则，又，，平面，因此平面，
所以.
4． (2023·河南·三模）多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.求证：平面ECD
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为为等腰三角形，F为BC的中点，所以AF⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面平面，平面ABC.
所以AF⊥平面BCD，取CD的中点G，连接EG，因为是等边三角形，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面BCD，交线为CD，且EG平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以，
又平面ECD，平面ECD，所以平面ECD.
5． (2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，.证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵平面，平面，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵四边形是正方形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面，且，
∴平面平面.
6． (2023·全国·高三专题练习）如图所示的多面体中，四边形为矩形，，平面，求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】因，则，，而，平面ABCD，于是得平面ABCD，
因平面ABCD，则有，而平面BCF，平面BCF，从而得平面BCF，
在矩形ABCD中，则，平面BCF，平面BCF，于是得平面BCF，
而，平面ADE，因此，平面平面BCF，平面ADE，
所以平面BCF.
7． (2023·全国·课时练习）如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中点，求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接，，可得，．因为平面，平面，所以．
又因为．所以，．所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．