备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-6 空间向量求空间距离（精练）（基础版）（解析版）

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7.6 空间向量求空间距离（精练）（基础版）1．（2022·湖南益阳）在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（       ）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，得，，，，，所以在上的投影为，所以点到直线的距离为故选：B2．（2022·山东）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．【答案】【解析】由题意，点和，可得，且，所以点到直线的距离是.故答案为：.3．（2022云南）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．(1)证明：平面平面ABC；(2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)取AC的中点O，连接，，，所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，由，，所以所以平面ABC；平面,所以平面平面ABC；(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，所以设可得，设平面的法向量为则即取所以因为为平面ABC的一个法向量，设平面与平面ABC夹角为，解得，所以所以点M到直线距离1．（2022·新疆）如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角．(1)求证：平面；(2)点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）以点为空间直角坐标系的坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建如图所示的空间直角坐标系，证明：∵平面，∴为与平面成的角，∴．∵，∴，，∴，，，，．∴，，．设平面的法向量为，由，即，可得，，∴．又，∴，又不在平面内，∴平面． （2）取的中点，如图所示，则，，，∴．又，∴，即，又，平面，平面，∴平面，∴ 是平面的法向量，平面的单位法向量为，又，∴点到平面的距离为2．（2022·重庆一中）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，平面ABCD，求证：(1)平面SAC；(2)若，求点C到平面SBD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，又四边形ABCD为正方形，，又，平面；（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以两两垂直，所以以A为坐标原点，AB､AD､AS分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系则，所以，，设平面BDS的法向量为，则，令，则所以点C到平面SBD的距离3．（2022·上海）如图，是矩形，平面，，，、分别是、的中点，求点到平面的距离.【答案】【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则、 、、、，、分别是、的中点，，设为平面的一个法向量，，， 即且，令，得，在上的射影长，即点到平面的距离.4．（2022·北京）已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面． (1)求证：平面．(2)若，，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：如图所示，连接交于，因为是正方形边，的中点，，所以，又因为垂直于所在平面，平面，所以，因为且平面，所以平面．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则，，，，可得，，设平面的法向量，则，令时，可得，所以又因为向量，则点到面的距离.5．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)求证见解析(2)(3)【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为面是边长为2的正方形，，且，为的中点，所以，，，，，，，所以，因为平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；（2）解：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，所以平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；（3）解：由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离；6．（2022·湖南·周南中学）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角是直二面角，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：取线段中点，连接、，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，∴O是线段BF与CE的中点，且，在图1中知且，且，所以在图2中，且，且，∴四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，∴平面. (2)由图1，，折起后在图2中仍有，，∴即为二面角的平面角，∴，以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，则、、、、，∴设平面的一个法向量为由，得，取，则于是平面的一个法向量点B到平面的距离为.7．（2022·重庆长寿）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．(1)求直线DE和PF夹角的余弦值；(2)求点E到平面PBF的距离．【答案】(1)；(2).【解析】(1)因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，，所以直线DE和PF夹角的余弦值为.(2)由（1）知，，，，设平面PBF的法向量，则，令，得，所以点E到平面PBF的距离为.8．（2022·河北唐山）如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；(2)求点A到平面BDF的距离．【答案】(1)(2)【解析】(1)在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．由已知AB＝＝1，可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝从而易得∵＝＝（－1，0，1）．设异面直线AE与BF所成的角为，则．即异面直线AE、BF所成的角的余弦为(2)设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．由 ∴ ，即取＝所以点A到平面BDF的距离1．（2022·全国·课时练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．【答案】【解析】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,∴,,设是，的公垂线方向上的单位向量，则，即①，，即②，易知③，联立解得，，或，，；不妨取，又∵,则异面直线与的距离，故答案为：.2．（2022·福建）如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.【答案】【解析】以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，，设同时垂直于，由，令，得，又，则异面直线，EN间的距离为.故答案为：.3．（2022·浙江）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则有：，，，，，可得：设，且则有：，可得：则有：故则当且仅当时，故答案为：4．（2022·湖北）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为____. 【答案】【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，.设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，由，，得，令x=2，则z=6，y=-7，∴，设直线BM与B1N之间的距离为d，则d===.故答案为：.1．（2022·重庆一中）如图，在正三棱柱中，已知，D为的中点，E在上．(1)若，证明：DE⊥CE；(2)若平面CDE，求直线和平面CDE的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：因为，，由余弦定理，所以，又因为平面，平面，所以，由于，故DE⊥平面，而平面，故DE⊥EC；(2)以C为坐标原点，CA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．此时，，，，，设，此时，，设平面CDE的一个法向量为，则，即，因为平面CDE，所以，故，即，解得，故由于平面CDE，直线和平面CDE的距离等于点和平面CDE的距离．此时，，取，所以点和平面CDE的距离，所以直线和平面CDE的距离为.2．（2022·河南）如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：(1)顶点B到平面的距离；(2)直线到平面的距离．【答案】(1)(2)【解析】(1)以点D为原点，分别以、与为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，.设平面的法向量为，所以，．因为，，由，得，不妨取，则.而向量，所以B到平面的距离；(2)直线到平面的距离等于到平面的距离．因为，所以到平面的距离．3．（2022·北京市）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面.(1)求证：为中点；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求直线到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】(1)连接，交于点，则平面平面，又因为平面，平面，则，由于底面为正方形，所以点为的中点，因此可得为中点.(2)由（1）知是的中点.由于平面，所以，故两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，，设平面的法向量为，所以，故可设，平面的法向量为，平面与平面夹角为，则.(3)由于平面，则到平面的距离，即到平面的距离.,到平面的距离为.即直线到平面的距离为.1．（2022·河北）正方体的棱长为，则平面与平面的距离为_______.【答案】【解析】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，因为，所以，且，所以平面平面，所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，又因为，所以.故答案为：.2．（2022·全国·高二专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)法一:证明：连接分别为的中点，分别是的中点，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四边形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，(2)法一:平面与平面的距离到平面的距离．中，，，，由等体积可得，．法二:设平面的一个法向量为，则，则可取，，平面与平面的距离为3．（2022·湖南）在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．【答案】【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，，，则，因为、不在同一条直线上，则，平面，平面，则平面，同理可证平面，，故平面平面，设平面的法向量为，，，由，取，可得，又因为，因此，平面与平面之间的距离为.4．（2022·湖南）在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．【答案】．【解析】以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，又，，所以平面MNA与平面EFBD之间的距离．5．（2022·湖南）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．(1)求证：平面平面EFG；(2)求平面与平面EFG间的距离．【答案】(1)证明见详解；(2)﹒【解析】(1)∵E是AB中点，F是BC中点，∴连接AC得，EF∥AC，∵是平行四边形，∴，又平面平面，∥平面，同理，连接可得，可得EG∥平面，与平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒(2)如图：以D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒则∴，设平面的法向量为，则，取，则平面与平面EFG间的距离为