2021-2022学年江西省赣州市南康区中考数学模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，下列结论中：①abc>1；②b+2a=1；③a-b<m（am+b）（m≠-1）；④ax2+bx+c=1两根分别为-3，1；⑤4a+2b+c>1．其中正确的项有(    )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．已知a为整数，且<a<，则a等于　　

A．1 B．2 C．3 D．4

3．化简的结果是（       ）

A．±4 B．4 C．2 D．±2

4．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形. 其中，正确的有（ ） 个

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图为（     ）

A． B． C． D．

6．一、单选题

如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，则BE的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（    ）

A．点M B．点N C．点P D．点Q

8．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）

A．110 B．158 C．168 D．178

9．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是(     )

A． B． C． D．

10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S1．若S2=48，S1=9，则S1的值为（　　）

A．18 B．12 C．9 D．1

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为p=1．111 15，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币． 平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本．

12．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：

数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：

这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；

甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少；

乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．

上述评估中，正确的是______填序号

13．因式分解：3x2-6xy+3y2=______．

14．已知函数是关于的二次函数，则__________．

15．已知m=，n=，那么2016m﹣n=_____．

16．不等式组的解集是_____．

17．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）已知：如图.D是的边上一点，，交于点M，.

（1）求证：；

（2）若，试判断四边形的形状，并说明理由.

19．（5分）化简：（x-1- ）÷.

20．（8分）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

(1)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获利润最大？

21．（10分）解不等式组，

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得_____；

（2）解不等式②，得_____；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集为_____．

22．（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？

23．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AB边上一点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，且交BC于点F，AG平分∠BAC交CD于点G.

求证：BF=AG.

24．（14分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．求证：△BDE≌△BCE；试判断四边形ABED的形状，并说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
根据二次函数的图象与性质判断即可．

【详解】

①由抛物线开口向上知: a＞1; 抛物线与y轴的负半轴相交知c＜1; 对称轴在y轴的右侧知:b＞1;所以:abc<1,故①错误;

②对称轴为直线x=-1,，即b=2a,

所以b-2a=1.故②错误;

③由抛物线的性质可知，当x=-1时,y有最小值，

即a-b+c＜（），

即a﹣b＜m（am+b）（m≠﹣1），

故③正确；

④因为抛物线的对称轴为x=1, 且与x轴的一个交点的横坐标为1, 所以另一个交点的横坐标为-3.因此方程ax+bx+c=1的两根分别是1,-3.故④正确；

⑤由图像可得，当x=2时，y＞1，

即: 4a+2b+c＞1，

故⑤正确.

故正确选项有③④⑤，

故选B.

【点睛】

本题二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键.

2、B

【解析】
直接利用，接近的整数是1，进而得出答案．

【详解】

∵a为整数，且<a<，

∴a=1．

故选：．

【点睛】

考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．

3、B

【解析】
根据算术平方根的意义求解即可．

【详解】

4，

故选：B．

【点睛】

本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.

4、D

【解析】
先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．

【详解】

解：∵DE∥CA，DF∥BA，

∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；

若∠BAC=90°，

∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；

若AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD，

又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，

∴∠EAD=∠EDA，

∴AE=DE，

∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；

若AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC，

同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，

则其中正确的个数有4个．

故选D．

【点睛】

此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．

5、B

【解析】
根据左视图的定义,从左侧会发现两个正方形摞在一起.

【详解】

从左边看上下各一个小正方形，如图

故选B．

6、B

【解析】
根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB．

【详解】

解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，

∴AB=AE，∠BAE=60°，

∴△AEB是等边三角形，

∴BE=AB，

∵AB=1，

∴BE=1．

故选B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．

7、C

【解析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，逐一判断即可.

【详解】

解：连接OA、OM、ON、OP，根据旋转的性质，点A的对应点到旋转中心的距离与OA的长度应相等

根据网格线和勾股定理可得：OA=，OM=，ON=，OP=，OQ=5

∵OA=OM=ON=OQ≠OP

∴则点A不经过点P

故选C.

【点睛】

此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等和用勾股定理求线段的长是解决此题的关键.

8、B

【解析】

根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，

∵8=2×4−0，22=4×6−2，44=6×8−4，

∴m=12×14−10=158.

故选C.

9、A

【解析】
根据“用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可以列出相应的方程组，本题得以解决．

【详解】

由题意可得，

，

故选A．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

10、D

【解析】
过A作AH∥CD交BC于H，根据题意得到∠BAE=90°，根据勾股定理计算即可．

【详解】

∵S2=48，∴BC=4，过A作AH∥CD交BC于H，则∠AHB=∠DCB．

∵AD∥BC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH=BH=AD=2，AH=CD=1．

∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=1，∴S1=1．

故选D．

【点睛】

本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、21

【解析】

每次约有111名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿41万人民币，共计4111万元，由题意可得一次飞行中飞机失事的概率为P=1.11115，所以赔偿的钱数为41111111×1.11115=2111元，即可得至少应该收取保险费每人 =21元．

12、

【解析】
根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答，即可得出答案．

【详解】

解：∵甲班的平均成绩是92.5分，乙班的平均成绩是92.5分，

∴这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；

故正确；

∵甲班的中位数是95.5分，乙班的中位数是90.5分，

甲班学生中数学成绩95分及以上的人数多，

故错误；

∵甲班的方差是41.25分，乙班的方差是36.06分，

甲班的方差大于乙班的方差，

乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；

故正确；

上述评估中，正确的是；

故答案为：．

【点睛】

本题考查平均数、中位数和方差，平均数表示一组数据的平均程度中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

13、3（x﹣y）1

【解析】

试题分析：原式提取3，再利用完全平方公式分解即可，得到3x1﹣6xy+3y1=3（x1﹣1xy+y1）=3（x﹣y）1．

考点：提公因式法与公式法的综合运用

14、1

【解析】
根据一元二次方程的定义可得：，且，求解即可得出m的值．

【详解】

解：由题意得：，且，

解得：，且，

∴

故答案为：1．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是1”且“二次项的系数不等于0”．

15、1

【解析】
根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m=n，再根据任何非零数的零次幂等于1解答.

【详解】

解：∵m===，

∴m=n，

∴2016m-n=20160=1．

故答案为：1

【点睛】

本题考查了同底数幂的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m的分母并得到m=n.

16、2＜x≤1

【解析】
本题可根据不等式组分别求出每一个不等式的解集，然后即可确定不等式组的解集．

【详解】

由①得x＞2，

由②得x≤1，

∴不等式组的解集为2＜x≤1．

故答案为：2＜x≤1．

【点睛】

此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

17、x1＝1，x2＝﹣1．

【解析】
直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x＝﹣1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解．

【详解】

解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），

∴一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣1．

故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣1．

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程-x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=-x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（2）四边形ADCN是矩形，理由见解析.

【解析】
（1）根据平行得出∠DAM＝∠NCM，根据ASA推出△AMD≌△CMN，得出AD＝CN，推出四边形ADCN是平行四边形即可；

（2）根据∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC求出∠MCD＝∠MDC，推出MD＝MC，求出MD＝MN＝MA＝MC，推出AC＝DN，根据矩形的判定得出即可．

【详解】

证明：（1）∵CN∥AB，

∴∠DAM＝∠NCM，

∵在△AMD和△CMN中，

∠DAM＝∠NCM

MA＝MC

∠DMA＝∠NMC，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD＝CN，

又∵AD∥CN，

∴四边形ADCN是平行四边形，

∴CD＝AN；

（2）解：四边形ADCN是矩形，

理由如下：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，

∴∠MCD＝∠MDC，

∴MD＝MC，

由（1）知四边形ADCN是平行四边形，

∴MD＝MN＝MA＝MC，

∴AC＝DN，

∴四边形ADCN是矩形．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．

19、

【解析】
根据分式的混合运算先计算括号里的再进行乘除.

【详解】

（x-1- ）÷

=·

=·

=

【点睛】

此题主要考查分式的计算，解题的关键是先进行通分，再进行加减乘除运算.

20、（1）商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；（2）y=﹣10x2+100x+2000，当x=5时，商场获取最大利润为2250元．

【解析】
（1）根据“总利润=每件的利润×每天的销量”列方程求解可得；
（2）利用（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．

【详解】

解：（1）依题意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160，

即x2﹣10x+16=0，

解得：x1=2，x2=8，

经检验：x1=2，x2=8，

答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；

（2）依题意得：y=（100﹣80﹣x）（100+10x）

=﹣10x2+100x+2000

=﹣10（x﹣5）2+2250，

∵﹣10＜0，

∴当x=5时，y取得最大值为2250元．

答：y=﹣10x2+100x+2000，当x=5时，商场获取最大利润为2250元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是由题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式．

21、（1）x＞1；（1）x≤1；（3）答案见解析；（4）1＜x≤1．

【解析】
根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．

【详解】

解：（1）解不等式①，得x＞1；

（1）解不等式②，得 x≤1；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为：1＜x≤1．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．

22、（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．

【解析】
（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；

（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．

【详解】

（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，

依题意有   ，

解得：x=30，

经检验，x=30是原方程的解，

x+10=30+10=40，

答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；

（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有

30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，

解得y≤11，

∵y为整数，

∴y最大为11，

答：他们最多可购买11棵乙种树苗．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.

23、见解析

【解析】
根据角平分线的性质和直角三角形性质求∠BAF=∠ACG.进一步证明△ABF≌△CAG，从而证明BF=AG.

【详解】

证明：∵∠BAC=90°，，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，

又∵AG平分∠BAC，∴∠GAC=∠BAC=45°，

又∵∠BAC=90°，AE⊥CD，

∴∠BAF+∠ADE=90°，∠ACG +∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ACG.  又∵AB=CA,

∴

∴△ABF≌△CAG（ASA），

∴BF=AG

【点睛】

此题重点考查学生对三角形全等证明的理解，熟练掌握两三角形全等的证明是解题的关键.

24、证明见解析.

【解析】
（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；

（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形．

【详解】

（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，

∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，

∵AB⊥EC，

∴∠ABC=90°，

∴∠DBE=∠CBE=30°，

在△BDE和△BCE中，

∵，

∴△BDE≌△BCE；

（2）四边形ABED为菱形；

由（1）得△BDE≌△BCE，

∵△BAD是由△BEC旋转而得，

∴△BAD≌△BEC，

∴BA=BE，AD=EC=ED，

又∵BE=CE，

∴BA=BE=ED= AD

∴四边形ABED为菱形．

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．