高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数图片课件ppt

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试考察下列问题：(1) 正方体的边长为x，体积为 y，则 y＝x3.(2) 若某放射性物质每经过 1 年,其剩留量是原来的x倍，则质量为 1的这种物质经过 100 年后，其剩留量应为 C＝x100. (3) 如果某人驾车在 t s 内行进了1km，那么该车的平均速度为 v＝t－1 km/s.
● 函数 y＝x3，C＝x100，v＝t－1具有什么共同特征?
这些函数的表达式是一个指数幂的形式，底数是自变量，指数是常数，这样的函数称为幂函数.
一般地，我们把形如 __________ 的函数称为幂函数，其中 ______ 是自变量，________是常数.
下面我们结合第 5 章讨论的函数的基本内容，如函数的定义域值域、图象、单调性、奇偶性等，来认识一些幂函数的性质.
二、常见幂函数的图象与性质
(1) 本质： 幂函数的图象是函数的图形表示，幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.(2) 应用：①求定义域； ②求值域； ③比较大小； ④求单调区间.
在区间(0，＋∞)上，幂函数有怎样的单调性?
提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα 是增函数；当 α＜0 时，y＝xα 是减函数.
写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
解：函数 y＝x3 的定义城是 R . 因为对任意的x∈R，－x∈R， 且都有(－x)3＝(－1)3x3＝－x3， 所以由奇函数的定义知，函数 y＝x3 是奇函数.
思 考
观察图象，可以发现这 3 个函数有如下共同特性：(1) 函数的图象都过点(0，0)和(1，1)；(2) 在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数.一般地，对于函数 y＝xα，当α＞0 时，也具有上述两条性质.
试比较下列各组数的大小：
(1) 1.13，0.893；
解：因为函数 y＝x3 在区间[0，＋∞)上是增函数， 又1.1＞0.89， 所以 1.13＞0.893.
观察图象，可以发现，这 3 个函数有如下共同特性：(1) 函数的图象都过点(1，1)；(2) 在第一象限内，函数的图象随 的增大而下降函数在区间(0，＋∞)上是减函数.一般地，对于函数 y＝xα，当α＜0时，也具有上述两条性质.
解析：只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式.
解析：由于 f(x) 为幂函数，所以 m2－3＝1，m＝±2， 当m＝2时， f(x)＝x－2 在(0，＋∞)上为减函数， 不符合题意， 当m＝－2时，f(x)＝x2 在(0，＋∞)上为增函数， 符合题意.
4. 已知幂函数 f(x)＝xm2＋m＋1(m∈N*)的图象经过点(2，8). (1) 试确定m的值； (2) 求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围.
解 由题得 2 m2＋m＋1＝8⇒m＝1或m＝－2(舍).
GeGebra(简称 GGB)是一款用于大中小学数学教与学的免费开源软件，主界面包括代数区、绘图区、3D 绘图区、表格区等.代数区除了可以进行数值计算，还可以进行符号运算(如因式分解、求方程的根等)；绘图区可以作出各种平面几何图形或函数的图象；3D 绘图区能够作出空间三维图形；表格区具有类似 Excel 的功能，可以像Excel 那样进行操作.
用GGB作函数 y＝xa 的图象，可以直接在“输入”框中键入“y＝x^a”后，确认“创建滑动条：a”. 拖动滑动条就能直观地观察函数 y＝xa 的图象变化情况(图 6-1-3).
练 习
1. 分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
解 令 f(x)＝x4，它的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)， 所以函数 y＝x4为偶函数；
解：函数图象如图，单调递增区间为(－∞，＋∞).
4. 试比较下列各组数中两个数的大小：
(4) 0.25，0.35.
解：由幂函数的性质， y＝xa (0＜x＜1，a＞0) 单调递增， 故(0.2)5＜ (0.3)5.
解 令 f(x)＝x5，则 f(x) 的定义域为R， 且 f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)， ∴ f(x)是奇函数；
2. 比较下列各组数中两个数的大小：
(2) 0.26－1 ，0.27－1；
解 ∵y＝x－1 在 [0，＋∞) 内是减函数， 0.26＜0.27， ∴ 0.26－1 ＜0.27－1 .
(4) (－0.72)3，(－0.75)3.
解 ∵y＝x3 在 R 内是增函数， －0.72＞－0.75， ∴ (－0.72)3 ＞(－0.75)3.
解 函数图象如图. 函数是偶函数，在 [0，＋∞) 上为增函数，在(－∞，0] 上为减函数.
4. 在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：
(2) y＝x－1，y＝x－2.
解 y＝x－1 在区间 (－∞，0) 和(0，＋∞) 上是减函数，且图象过点(1，1)，函数的图象在第一象限和第三象限，函数是奇函数；y＝x－2 在区间(－∞，0) 上是增函数，在(0，＋∞) 上是减函数，图象过点(1，1)，且图象在第一象限和第二象限函数是偶函数；
在区间 (0，1) 上，y＝x－2 的图象在 y＝x－1的图象上方；在区间(1，＋∞)上，y＝x－2 的图象在y＝x－1的图象下方；
6. 汽车在隧道内行驶时，安全车距 d (单位：)正比于车 速 (单位：km/h)的平方与车身长(单位：m)的积，且 安全车距不得小于半个车身长. 假定车身长约为4 m， 车速为60 m/h，安全车距为 14.4 个车身长，试写出d 与v之间的函数关系式.