华师大版八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 2.矩形的判定（课件）

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2 矩形的判定华东师大·八年级数学下册复习导入回顾复习有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一个角是直角矩形的性质边：矩形的对边平行且相等.角：矩形的四个角都是直角.对角线：矩形的两条对角线相等且互相平分.进行新课思考 有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？如图，作一个三个角都是直角的四边形.1.任意作两条互相垂直的线段AB、AD；2.过点B作垂直于AB的直线l；3.过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得一个三个角都是直角的四边形ABCD.ABDlm它是一个矩形吗？C证明：有三个角是直角的四边形是矩形.已知:在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形.由此可以得到判定矩形的一种方法：思考1.对角线相等的四边形是矩形吗?2.需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗?如图，作一个对角线相等的平行四边形.1.任意作两条相交的直线，交点记为O；2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；3.顺次连接所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD.证明：对角线相等的平行四边形是矩形.已知:四边形ABCD是平行四边形，AC=DB.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.∥矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形.由此可以得到判定矩形的另一种方法： 木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求.例4 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH.求证四边形EFGH是矩形.分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证.证明:∵ 四边形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO.∴OE=OF=OG=OH，∵AE=BF=CG=DH，∴四边形EFGH是平行四边形.∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.例5 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形.分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.证明:∵ △ABD和△BCD是全等三角形，∴∠ADB=∠CDB=60°.∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM=30°，又∵M、N分别为BC、AD的中点，∴∠DNB=∠DMB=90°， ∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.例6 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形.分析：根据已知条件AB=AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=AB=AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.证明:∵ AB=AC，AD⊥BC∴∠B=∠ACB，BD=DC.∴∠1= ∠CAF= (∠B+∠ACB)=∠B，又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，∴AE∥BC.又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD，AB=DE，∴AC=DE，AE=DC.又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形.∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.随堂练习1.下列判定矩形的说法是否正确？为什么？(1)有一个角是直角的四边形是矩形.（ ）(2)四个角都相等的四边形是矩形. （ ）(3)对角线相等的四边形是矩形. （ ）(4)对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形. （ ）×√×√2. 已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm.(1)这个平行四边形是矩形吗？说明你的理由；(2)求这个平行四边形的面积.3.如图，在△ABC中，D在AB边上，AD=BD=CD，DE∥AC，DF∥BC.求证：四边形DECF是矩形.证明：∵AD=BD=CD，∴△ABC为直角三角形，∠FCE=90° ∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF为平行四边形，又∵∠FCE=90°，∴平行四边形DECF是矩形.课堂小结对角线相等的平行四边形是矩形.有一个角是直角的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.矩形的判定定理课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.