初中人教版18.1.2 平行四边形的判定课后测评

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必备知识 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.【2021河北中考】如图1，在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）

A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是 C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是
【练能力】
2.如图，在等边△ABC中，D，F分别为CB，BA上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求证：△ACD≌△CBF.
(2)求证：四边形CDEF是平行四边形.
3.【教材P47T4变式】如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形.
【练素养】
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，以AD，AE为腰作等腰三角形ADE，且∠ADE=∠ABC，连接CE，过点E作EM∥BC交CA的延长线于点M，连接BM.
(1)求证：△BAD≌△CAE.
(2)若∠ABC=30°，求∠MEC的度数.
(3)求证：四边形MBDE是平行四边形.
参考答案
【练基础】
1.A 【解析】对于甲方案，连接AC(图略).因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC经过BD的中点O，且AO=CO.又因为BO=DO，BN=NO，OM=MD，所以NO=OM，所以四边形ANCM是平行四边形.对于乙方案，易证△ABN≌△CDM，所以AN=CM.因为AN⊥BD，CM⊥BD，所以AN∥CM，所以四边形ANCM是平行四边形.对于丙方案，易证△BAN≌△DCM，所以AN=CM，∠ANB=∠CMD，所以∠ANM=∠CMN，所以AN∥CM，所以四边形ANCM是平行四边形.综上可知，甲、乙、丙三种方案都是正确的.
【练能力】
2.【证明】(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°.
在△ACD和△CBF中，AC=CB,∠ACD=∠CBF,CD=BF,
∴△ACD≌△CBF(SAS).
(2)∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，∠CAD=∠BCF.
∵△AED为等边三角形，∴∠ADE=60°，
且AD=DE，∴CF=DE.
∵∠EDB+60°=∠BDA=∠CAD+∠ACD=∠BCF+60°，
∴∠EDB=∠BCF，∴ED∥FC，
∴四边形CDEF为平行四边形.
3.【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB(SAS).
在△ABE和△CDF中，AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
(2)证法一 由(1)可知，△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD，
即∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF.
∵AE=CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
证法二 由(1)可知，△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
同(1)可得△ADF≌△CBE，∴AF=CE.
∵AE=CF，AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
【练素养】
4.【解析】(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC=180°-2∠ABC.
∵以AD，AE为腰作等腰三角形ADE，
∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∴∠DAE=180°-2∠ADE.
∵∠ADE=∠ABC，∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=30°.
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∴∠ACB=∠ACE=30°，
∴∠ECB=∠ACB+∠ACE=60°.
∵EM∥BC，∴∠MEC+∠ECD=180°，
∴∠MEC=180°-60°=120°.
(3)证明：∵△BAD≌△CAE，
∴DB=EC，∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACE.
∵EM∥BC，∴∠EMC=∠ACB，
∴∠ACE=∠EMC，
∴ME=EC，
∴DB=ME.
又∵EM∥BD，∴四边形MBDE是平行四边形.