北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 第二课时 三角形三个内角的平分线（课件）

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第2课时 三角形三个内角的平分线北师版八年级数学下册作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？ 　　发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 例 2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：P 点在∠BAC 的角平分线上. 证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E， ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 即∠A 的平分线经过点 P.比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 练习 如图：直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ 满足条件共4个 例 3 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. （2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）.∵BE = DE = CD，∴AB = AE + BE = AC + CD. 1. 已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点， PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____.5 2. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = ________.25° 3. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D. 求证：（1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的垂直平分线. 证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， OP = OP，PC = PD， ∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）. ∴OC = OD（全等三角形对应边相等）. （2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线， ∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）. 4. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，且∠B +∠D = 180°，求证：AE = AD + BE.证明：过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F. ∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE ＝ CF，AE ＝ AF （角平分线性质），∠CEB ＝∠CFD ＝ 90°.∵∠B +∠ADC ＝ 180°，∠CDF +∠ADC ＝ 180°，∴∠B ＝ ∠CDF，∴△CBE ≌△CDF （AAS），∴DF ＝ BE.∵AF ＝ AD + DF，∴AF ＝ AD + BE，∴AE ＝ AD + BE .　　三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.