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初中苏科版10.1 分式一课一练
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这是一份初中苏科版10.1 分式一课一练,文件包含核心考点05分式的运算原卷版docx、核心考点05分式的运算解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共68页, 欢迎下载使用。
考点一:分式的加减法
考点二:分式的乘除法
考点三: 分式的混合运算
考点四:分式的化简求值
考点考向
一.分式的加减法
(1)同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
(2)异分母分式加减法法则:把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫做通分,经过通分,异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.
说明:
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘.
②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去,将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的;通分则是对两个或两个以上的分式来说的.
二.分式的乘除法
(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.
(2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
(3)分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方.
(4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算,再进行分式的乘除运算,即“先乘方,再乘除”.
(5)规律方法总结:
①分式乘除法的运算,归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再约分.
②整式和分式进行运算时,可以把整式看成分母为1的分式.
③做分式乘除混合运算时,要注意运算顺序,乘除法是同级运算,要严格按照由左到右的顺序进行运算,切不可打乱这个运算顺序.
三.分式的混合运算
(1)分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.
(2)最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.
(3)分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律进行灵活运算.
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1.注意运算顺序:分式的混合运算,先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.
2.注意化简结果:运算的结果要化成最简分式或整式.分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式.
3.注意运算律的应用:分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律运算,会简化运算过程.
四.分式的化简求值
先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.
2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.
考点精讲
一.分式的加减法(共7小题)
1.(2022春•惠山区校级期中)计算的结果是 3 .
【分析】先根据同分母分式加减法则进行运算,然后再进行约分化简即可.
【解答】解:===3.
故答案为:3.
【点评】本题考查同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.注意:结果应化为最简形式.熟练运用同分母分式的加减运算法则是解题的关键.
2.(2022春•宿豫区期中)计算的结果为 .
【分析】根据分式的加减法则进行计算便可.
【解答】解:原式=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查了分式加减法则,熟记分式加减法则是解题的关键.
3.(2022春•工业园区期末)化简﹣1的结果为 .
【分析】先通分后计算即可.
【解答】解:原式=
=
=.
【点评】本题考查分式的加减法,解题关键是熟知分式加减法的计算法则.
4.(2022春•海陵区校级期中)若,则的值是 ﹣ .
【分析】先根据题意得出a﹣b=﹣2ab,再代入原式进行计算即可.
【解答】解:∵﹣=2,
∴a﹣b=﹣2ab,
∴原式====﹣.
故答案为:﹣.
【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
5.(2022春•无锡期中)已知﹣=2,= ﹣ .
【分析】根据条件变形得到x﹣y=﹣2xy,整体代入到代数式求值即可.
【解答】解:∵﹣=2,
∴=2,
∴x﹣y=﹣2xy,
∴原式=
=
=﹣.
故答案为:﹣.
【点评】本题考查了分式的加减法,分式的值,考查了整体思想,将x﹣y=﹣2xy整体代入到代数式求值是解题的关键.
6.(2021春•沛县月考)阅读理解
材料1:小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题,在这个计算的过程中,先计算分子中有几个分母求出整数部分,再把剩余的部分写成一个真分数,例如:=1+=1.
类似的,我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如:=1+.
==1+.
材料2:为了研究字母x和分式值的变化关系,小明制作了表格,并得到数据如下:
请根据上述材料完成下列问题:
(1)把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式:= 1+ ;= 1+ ;
(2)当x>0时,随着x的增大,分式的值 减小 (增大或减小);
(3)当x>﹣1时,随着x的增大,分式的值无限趋近一个数,请写出这个数,并说明理由.
【分析】(1)先变形得出=+,=再求出答案即可;
(2)分别求出x=2,x=3,x=4时,的值,再比较大小即可;
(3)得出原式=2+,再求出答案即可.
【解答】解:(1)=1+,==1+,
故答案为:1+,1+;
(2)当x=2时,==2,
当x=3时,==,
当x=4时,=,
…,
∵2>>,
∴当x增大时,的值越来越小,
故答案为:减小;
(3)2,
理由如下:
∵,
随着x的值的增大,的值逐渐减小,
∴随着x的值的增大,的值无限趋近于2.
【点评】本题考查了分式的加减,能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键.
7.(2022春•兴化市月考)已知a+b=5,ab=3,= .
【分析】将a+b=5、ab=3代入原式==,计算可得.
【解答】解:当a+b=5、ab=3时,
原式=
=
=
=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查分式的加减法,解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式.
一.分式的乘除法(共6小题)
8.(2021春•江阴市期中)计算•= ﹣ .
【分析】根据分式的乘除法法则“分式乘分式,分子分母分别相乘,能约分的先约分”可知原式=.
【解答】解:原式=﹣=,
故答案为:.
【点评】本题考查了分式的乘除,关键是根据法则化简,注意结果要化为最简二次根式.
9.(2021春•无锡期中)计算:= a5b5 .
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则化简得出答案.
【解答】解:原式=a6b3•
=a5b5.
故答案为:a5b5.
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及分式的乘除运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
10.(2022春•宜兴市校级月考)计算:8x2y4•(﹣)÷(﹣).
【分析】先将除法转为乘法,然后根据分式的乘法法则计算即可.
【解答】解:8x2y4•(﹣)÷(﹣)
=8x2y4••
=12x.
【点评】本题考查了分式的乘除法,熟练掌握分式的乘除法法则是解决此题的关键.
11.(2022春•宿豫区期中)计算的结果为( )
A.B.C.x2y2D.y2
【分析】把除法转为乘法,再约分即可.
【解答】解:
=
=y2.
故选:D.
【点评】本题主要考查分式的乘除法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
12.(2022春•无锡期末)a÷b×= .
【分析】直接利用分式乘除运算法则化简求出即可.
【解答】解:a÷b×=×=.
故答案为:.
【点评】此题主要考查了分式的乘除运算,正确掌握运算法则是解题关键.
13.(2021春•沛县月考)﹣3x2y÷= ﹣4y2 .
【分析】原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣3x2y•=﹣4y2.
故答案为:﹣4y2
【点评】此题考查了分式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
三.分式的混合运算(共7小题)
14.(2022春•吴中区校级期中)计算:= .
【分析】括号内先通分后计算,再将除法转化为乘法计算.
【解答】解:原式=
=
=.
故答案为:.
【点评】本题考查分式的混合运算,解题关键是熟知分式混合运算的计算法则.
15.(2022春•工业园区校级期中)已知x﹣=3,则x2+= 11 .
【分析】将原式两边平方即可得.
【解答】解:∵x﹣=3,
∴x2+﹣2=9,
∴x2+=11,
故答案为:11.
【点评】本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是掌握完全平方公式和分式的运算法则.
16.(2022春•东海县期末)若“计算”的运算结果是1,则被墨迹覆盖的这个运算符号是( )
A.+B.﹣C.×D.÷
【分析】根据分式的加法,减法,乘法,除法法则进行计算,逐一判断即可解答.
【解答】解:A、+
=
=,
故A不符合题意;
B、﹣
=
=
=1,
故B符合题意;
C、•
=
=,
故C不符题意;
D、÷
=•
=,
故D不符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查了分式的混合运算,有理数的混合运算,熟练掌握分式的四则运算法则是解题的关键.
17.(2022春•惠山区期末)下列运算结果正确的是( )
A.=x+yB.=x3
C.a÷b×=aD.=0
【分析】根据分式的加法,乘法,除法法则进行计算,逐一判断即可解答.
【解答】解:A、≠x+y,故A不符合题意;
B、=x4,故B不符合题意;
C、a÷b×=a••=,故C不符合题意;
D、+=﹣=0,故D符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查了分式的混合运算,准确熟练地进行计算是解题的关键.
18.(2022春•太仓市校级月考)a2﹣3a+1=0,则的值为 7 .
【分析】已知等式两边除以a求出a+的值,原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值.
【解答】解:∵a2﹣3a+1=0,
∴a﹣3+=0,即a+=3,
则原式=(a+)2﹣2=9﹣2=7.
故答案为:7.
【点评】此题考查了分式的混合运算,以及完全平方公式,熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键.
19.(2022春•宿豫区期中)计算:.
【分析】先把除法转化为乘法,然后约分,再算分式的减法即可.
【解答】解:
=1﹣
=1﹣
=
=.
【点评】本题考查分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
20.(2022春•姑苏区校级期中)对于正数x,规定.例如,,
(1)求:;
(2)= 4043 .
【分析】(1)根据给出的规定计算即可;
(2)运用加法的交换律结合律,再根据规定的运算可求得结果.
【解答】解:(1)
=+
=+
=
=2;
(2))
=[g(2022)+g()]+[g(2021)+g()]+……+[g(2)+g()]+g(1)
=2×2021+
=4042+1
=4043.
故答案为:4043.
【点评】本题考查的是分式的混合运算,有理数的混合运算,根据题意找出规律是解答此题的关键.
四.分式的化简求值(共9小题)
21.(2023•沭阳县模拟)先化简,再求值:();从﹣1,0,1,2中任选一个代入求值.
【分析】先根据分式的混合运算法则对式子进行化简,再根据分式有意义的条件得出x的值,再将其代入即可求解.
【解答】解:()
=
=
=
=,
根据分式有意义的条件得x≠±1且x≠0,
∴x只能为2,
当x=2时,原式==1.
【点评】本题主要考查分式的化简求值、分式有意义的条件,分式化简求值时需注意的问题:①化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.②代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.
22.(2022秋•启东市期末)已知(a2+4)(b2+1)=8ab,则的值为 ﹣ .
【分析】根据题中所给的多项式求出a和b之间的关系,然后代入求解即可.
【解答】解:∵(a2+4)(b2+1)=8ab,
∴a2b2+a2+4b2+4﹣8ab=0,
即(a2﹣4ab+4b2)+(a2b2﹣4ab+4)=0,
∴(a﹣2b)2+(ab﹣2)2=0,
∵(a﹣2b)2≥0,(ab﹣2)2≥0,
∴a﹣2b=0,ab﹣2=0,
即a=2b,ab=2,
∵b•(﹣a)
=﹣ab
=﹣2
=﹣.
故答案为:﹣.
【点评】本题考查了多项式乘多项式,解答本题的关键在于将(a2+4)(b2+1)=8ab进行恰当的变形并求出a和b的关系.
23.(2022春•洪泽区期末)如图,数轴上有四条线段分别标有①、②、③、④,若x为正整数,则表示﹣的值的点落在线段 ② 上(填序号).
【分析】原式第一项变形后约分,两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,判断其值的范围即可作出判断.
【解答】解:∵原式=﹣
=1﹣
=
=,
∴0.5≤<1,
则表示﹣的值的点落在线段②上.
故答案为:②.
【点评】此题考查了分式的化简求值,以及数轴,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
24.(2022秋•高邮市期末)先化简,然后在﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值.
【分析】根据分式的运算法则化简,x取一个满足条件的值,代入计算即可.
【解答】解:
=
=
=,
∵x=±1,﹣2时,原分式无意义,﹣2≤x≤2,
∴x 可以为0或2,
当x=0时,原式=.
【点评】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件,根据分式有意义的条件确定x的值是解题的关键.
25.(2019春•惠山区期末),其中.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=•=•=,
当x=+1时,原式==1+.
【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
26.(2021春•工业园区校级期末)已知:a>0,a﹣=2,则a+= 2 .
【分析】根据完全平方公式,可以求得(a﹣)2=8,然后变形,即可求得所求式子的值.
【解答】解:∵a>0,a﹣=2,
∴(a﹣)2=8,
∴a2﹣2+=8,
∴a2+2+=12,
∴(a+)2=12,
∴a+=2或a+=﹣2(舍去),
故答案为:2.
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
27.(2022春•镇江期末)若x2﹣3x=﹣1,则的值为 2023 .
【分析】根据x2﹣3x=﹣1,可以得到x2=3x﹣1,x+=3,然后将所求式子变形,再将x2=3x﹣1,x+=3代入所求式子计算即可.
【解答】解:∵x2﹣3x=﹣1,
∴x2=3x﹣1,x﹣3=﹣,
∴x+=3,
∴
=2(3x﹣1)﹣5x+2022+
=6x﹣2﹣5x+2022+
=x﹣2++2022
=(x+)+(2022﹣2)
=3+2020
=2023,
故答案为:2023.
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序.
28.(2021春•秦淮区期末)先化简(﹣a+1)÷,然后从﹣2≤a≤2的范围内选择一个合适的整数作为a的值代入求值.
【分析】根据分式的运算法则进行化简,然后将a的值代入原式即可求出答案.
【解答】解:原式=[﹣]•
=•
=
=
=,
由分式有意义的条件可知:a≠﹣1,a≠2,
∴故a可取,a=0,
∴原式==1.
【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算,本题属于基础题型.
29.(2022秋•启东市校级期末)定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”.如:==+=1+,==+=2+,则和都是“和谐分式”.
(1)下列式子中,属于“和谐分式”的是 ①③④ (填序号);
①;②;③;④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为:= a﹣1 + ;
(3)应用:先化简﹣÷,并求x取什么整数时,该式的值为整数.
【分析】(1)由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得;
(2)由原式===a﹣1+可得;
(3)将原式变形为=2+,据此得出x+1=±1或x+1=±2,即x=0或﹣2或1或﹣3,又x≠0、1、﹣1、﹣2,据此可得答案.
【解答】解:(1)①=1+,是和谐分式;③==1+,是和谐分式;④=1+,是和谐分式;
故答案为:①③④;
(2)===a﹣1+,
故答案为:a﹣1、;
(3)原式=﹣•
=﹣
=
=
=2+,
∴当x+1=±1或x+1=±2时,分式的值为整数,
此时x=0或﹣2或1或﹣3,
又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2,
∴x=﹣3.
【点评】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义,解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解.
巩固提升
一、单选题
1.(2023春·江苏·八年级专题练习)计算的结果是( )
A.B.C.D.1
【答案】B
【分析】利用同分母分式的减法法则计算再约分即可得到结果.
【详解】解:
故选:B.
【点睛】本题考查了同分母分式减法运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.
2.(2022秋·江苏·八年级统考期末)若,则的值为( )
A.1B.C.3D.
【答案】D
【分析】由于原式化简为,因为,所以,,,整体代入即可求出代数式的值.
【详解】
解:原式
,
,
,
,
,
原式.
故选:D.
【点睛】本题考查了分式的化简求值,解此题的关键是把所求的代数式展开整理成条件中有关的形式把,,整体代入即可.
3.(2023春·江苏·八年级专题练习)计算的结果是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】先计算乘方,再计算除法,然后化简即可.
【详解】解:
故选:D.
【点睛】本题考查了分式的乘除运算,熟记运算法则是解题关键.
4.(2023春·江苏·八年级专题练习)化简的结果是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据分式的除法进行计算即可求解.
【详解】解:
,
故选:A.
【点睛】本题考查了分式的除法运算,将除法转化为乘法运算是解题的关键.
5.(2023春·江苏·八年级专题练习)计算的结果是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据分式乘法运算法则计算即可获得答案.
【详解】解:.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了分式乘法运算,熟练掌握相关运算法则是解题关键.
6.(2022·江苏·八年级假期作业)已知,在的分子分母同时加2,得分式,此分式的值在原分式的值上有所( )
A.增大B.不变C.减小D.无法比较
【答案】A
【分析】计算-,再根据判断结果与0的大小关系,即可得到结论.
【详解】解:-
=
=
=
∵
∴,
∴
∴->0
∴>
∴分式的值在原分式的值上有所增大
故选:A
【点睛】本题考查了异分母分式的减法,关键要熟练掌握分式加减的法则,保证计算结果准确无误,才能正确判断大小关系.
7.(2022春·江苏扬州·八年级校联考期中)某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次,在没有风时,飞行器的速度为v,所需时间为t1;如果风速度为p时(0<p<v),飞行器顺风飞行速度为(v+p),逆风飞行速度为(v﹣p),所需时间为t2.则t1、t2的大小关系为( )
A.t1<t2B.t1≤t2C.t1≥t2D.t1>t2
【答案】A
【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值,进而利用分式的性质计算得出答案.
【详解】解∶∵,
,
∵,
∴
故选∶A.
【点睛】此题主要考查了列代数式,正确进行分式的加减运算法则是解题关键.
8.(2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末)下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则,将分子分母分别乘方,再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可.
【详解】解:A、,本选项错误,不符合题意;
B、,本选项错误,不符合题意;
C、,本选项正确,符合题意;
D、,本选项错误,不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识,掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键.
二、填空题
9.(2022春·江苏苏州·八年级校考期末)化简的结果为_________.
【答案】
【分析】先通分,再根据同分母分式的加法法则计算即可
【详解】解:
故答案为:
【点睛】本题考查了分式和整式的减法,熟练掌握运算法则是解题的关键
10.(2022春·江苏·八年级专题练习)(1)________; (2)________;
(3)________; (4)________.
【答案】
【分析】根据分式乘方的运算法则计算即可;
【详解】解:(1),
(2)
(3),
(4),
故答案为:,,
【点睛】本题考查了分式的乘方,熟练掌握运算法则是解题的关键
11.(2022·江苏·八年级假期作业)计算的结果是_________.
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则,先通分,再加减.
【详解】解:原式
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的加减运算,解题的关键是掌握运算法则和运算顺序.
12.(2021秋·江苏南通·八年级统考期末)化简的结果为____________.
【答案】
【分析】先根据负指数幂的运算法则计算乘方,再算乘法,即可得出结果.
【详解】解:
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的混合运算,掌握分式乘方的运算法则及运算顺序是解答本题的关键.
13.(2023春·江苏·八年级专题练习)已知,其中,,,为常数,则______.
【答案】6
【分析】由于,利用这个等式首先把已知等式右边通分化简,然后利用分母相同,分式的值相等即可得到分子相等,由此即可得到关于、、、的方程组,解方程组即可求解.
【详解】解:,且,
当时,①
当时,②
当时,③
∵,
即
∴④
联立解之得
、、,
.
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算,题目比较复杂,解题时首先正确理解题意,然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题.
三、解答题
14.(2020春·江苏无锡·八年级校联考期中)计算:
(1) ;
(2) .
【答案】(1);(2).
【分析】(1)先计算分式的乘方,再利用分式的乘除运算法则计算得出答案;
(2)直接利用分式的加减运算法则计算得出答案.
【详解】(1)
;
(2)
.
【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算,正确掌握运算法则是解题关键.
15.(2021春·江苏苏州·八年级校考期中)计算:.
【答案】
【分析】利用整体通分法,进行求解即可.
【详解】解:原式
.
【点睛】本题考查分式的加减运算.熟练掌握分式的加减法则,运用整体通分法进行计算,是解题的关键.
16.(2022秋·江苏·八年级统考期末)先化简:,(再给x在-2,0,2,4中取一个合适的值代入求值.
【答案】;
【分析】先将分式分子分母分别因式分解,通分然后化简,最后取一个令分式分母都不为0的数代值即可.
【详解】原式=
=
=
因为,
所以当时,原式
【点睛】此题考查分式的混合运算和分式的性质,解题关键是分式计算要将分子分母分别因式分解,以及取到令分母不为0的值代入.
17.(2021春·江苏无锡·八年级校考期中)计算:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据异分母分式加减法计算法则解答;
(2)根据异分母分式加减法计算法则解答.
【详解】(1)解:
;
(2)
.
【点睛】此题考查了异分母分式加减法计算,正确掌握异分母分式的加减法计算法则是解题的关键.
18.(2023春·江苏·八年级专题练习)计算:.
【答案】
【分析】根据负整数指数幂进行计算,将除法变为乘法,然后再算乘法即可.
【详解】解:原式
.
【点睛】本题考查分式的乘除混合运算,掌握负整数指数幂的运算法则和分式乘除法混合运算法则是解题关键.
19.(2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习)将克糖放入水中,得到克糖水,此时糖水的含糖量我们可以记为.
(1)再往杯中加入克糖,生活中的经验告诉我们糖水变甜了,用数学关系式可以表示为______;
A. B. C.
(2)请证明你的选择.
【答案】(1)A;(2)见解析
【分析】(1)根据题意,可以写出相应的不等式,从而可以解答本题;
(2)根据作差比较法,可以证明(1)中的结论成立.
【详解】(1)由题意可得,
故选A
(2)利用作差法比较大小:
,,
,即,
,即.
【点睛】本题考查分式的混合运算,解答本题的关键是写出相应的式子,会用作差比较法比较两个式子的大小.
20.(2023春·江苏·八年级专题练习)课堂上,李老师提出这样一个问题:已知,求整数A,B的值.小明回答了解题思路:首先对等式右边进行通分,得,即,利用多项式相等,则对应的系数相等可列方程组,解这个方程组即可求出整数A,B的值. 李老师肯定了小明的解题思路是正确的,请你根据上述思路解答下列问题:已知,求整数A,B的值.
【答案】
【分析】先通分计算,可得再建立方程组,从而可得答案.
【详解】解:∵
∴
∴
解得:
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用,分式的加减运算的逆运算,掌握“分式的加减运算的逆运算”是解本题的关键.
21.(2023秋·江苏南通·八年级统考期末)(1)已知,求代数式的值;
(2)先化简,再求值:,其中.
【答案】(1);(2),
【分析】(1)先化简代数式,再整体代入数值计算即可.
(2)先化简原代数式,再将数值代入计算即可.
【详解】解:(1)原式,
∵,
∴,
∴原式.
(2)原式
,
当时,
原式.
【点睛】本题考查了整式的化简求值和分式的化简求值以及混合运算,解题关键是掌握运算法则,利用整体的思想.
22.(2021春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中)计算:(1); (2)﹣a﹣1.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)先计算分式的乘方,幂的乘方,再算分式的乘除,最后化为最简分式;
(2)先通分,利用公式展开,再合并同类项.
【详解】解:(1);
=,
=,
=;
(2),
=,
=,
=,
=.
【点睛】本题考查分式的加减,分式的乘方,幂的乘方,分式乘除混合运算,掌握分式的加减,分式的乘方,幂的乘方,分式乘除混合运算是解题关键.
23.(2021春·江苏扬州·八年级统考期中)如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式,则称这个分式为“复分式”如:;;则和都是“复分式”.
(1)下列分式属于“复分式”的是________(填序号);①;②;③
(2)将复分式化成一个整式与一个分子为常数的和的形式;
(3)应用:若分式的值为整数,求整数x的值.
【答案】(1)①③;(2);(3)x=-4,-2,0,2
【分析】(1)①根据分式通分的逆运算将一个分式分裂为两部分和,②=1+,③,然后根据定义判断即可;
(2)先把分子与分母字母相同部分配方变成分母的幂形式后,裂项即可;
(3)先把分子化为分母的倍数然后裂项即可,利用是3的约数即可.
【详解】解:(1)①,②=1+,③
属于“复分式”的是①,③;
(2);
(3),
∵分式的值为整数,
∴是3的约数,
∴=-3,-1,1,3,
解得x=-4,-2,0,2.
【点睛】本题考查新定义分式问题,仔细阅读掌握其实质,会利用新定义来构造复分式是解题关键.
24.(2021春·江苏淮安·八年级统考期中)阅读下列材料:
分式和分数有着很多的相似点,例如类比分数的基本性质,我们得到了分式的基本性质;类比分数的运算法则,我们得到了分式的运算法则.我们知道,分子比分母小的叫做“真分数”;分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫做“假分数”.
类似地,我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:,这样的分式就是假分式,例如,这样的分式就是真分式.假分数可以化成(即)带分数的形式.类似地,假分式也可以化为带分式(即整式与真分式的和的形式),例如.
解决下列问题:
(1)分式是______(填“真分式”或“假分式”);
(2)假分式可化为带分式______形式;
(3)如果分式的值为整数,求满足条件的整数的值;
(4)若分式的值为,则的取值范围是______(直接写出答案).
【答案】(1)真分式;(2);(3)4,2,5,1;(4).
【分析】(1)根据“真分式”的定义可得;
(2)根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式;
(3)先将分式化为带分式,再根据分式部分为整数求得的值;
(4)将分式化为带分式,再判断的取值范围即可.
【详解】(1)的分母次数大于分子次数,
故分式是真分式;
故答案为:真分式;
(2)
故答案为:;
(3)分式的值为整数,
,
即是整数,则;
解得或或或;
的值为:4,2,5,1;
(4)
,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的加减运算,不等式的应用,掌握计算法则,理解题意是解题的关键.
25.(2022春·江苏·八年级专题练习)阅读下列材料:我们知道,分子比分母小的数叫做“真分数”;分子比分母大,或者分子、分母同样大的分数,叫做“假分数”.类似地,我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.如:,这样的分式就是假分式;再如:,这样的分式就是真分式.假分数可以化成(即)带分数的形式,类似的,假分式也可以化为带分式.如:,解决下列问题:
(1)分式是____(填“真分式”或“假分式”);假分式可化为带分式_____;
(2)如果分式的值为整数,求满足条件的整数的值;
【答案】(1)真分式, ;(2)0,1,3,4
【分析】(1)根据当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,假分式化为带分式的方法,即可求解;
(2)先将化为带分式,可得到只需要 为整数,再由为整数,可得到当 时, 为整数,即可求解.
【详解】解:(1)根据题意得:分式是真分式;
;
(2),
∵分式的值为整数,
∴只需要 为整数即可,
又∵为整数,
∴当 时, 为整数,
解得: 或1或3或4,
即满足条件的整数的值为0,1,3,4.
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算,理解“真分式”“假分式”“带分式”的定义以及转化方法是解题的关键.
26.(2022·江苏·八年级假期作业)有这样一段叙述:“要比较与的大小,可以先求出与的差,再看这个差是正数、负数还是0”.由此可见,要比较两个代数式的值的大小,只要考查它们的差即可.
问题:甲、乙两人两次同时去同一个商店购买水果(假设两次购水果的单价不同,分别为元,元,),甲每次购水果20千克,乙每次购水果用去20元.
(1)用含,的代数式表示:甲两次购水果共付 元;乙两次共购 千克水果;甲两次购水果的平均单价为 元/千克,乙两次购水果的平均单价为 元/千克;
(2)现规定:谁购水果的平均单价低,谁购水果的方式就合算,请你判断甲、乙两人的购水果方式哪一个更合算?并说明理由.
【答案】(1)(20x+20y);();;(2)乙购买水果的方式更合算些,理由见解析
【分析】(1)根据两次购买水果的单价及买的千克数,表示出甲两次买水果的钱数即可;用20元除以两次单价,相加即可得到乙购买水果的千克数;表示出甲两次购买水果的平均单价为Q1元,乙两次购买水果的平均单价为Q2元即可;
(2)由(1)得到Q1−Q2,通分并利用同分母分式的减法法则计算,利用完全平方公式整理后判断差为正数,可得出Q1>Q2,即乙购买水果的方式更合算些.
【详解】解:(1)甲每次购买水果共需要付款(20x+20y)元;
乙两次共购买()千克的水果;
甲两次购水果的平均单价Q1=,乙两次购水果的平均单价Q2=40÷()=;
故答案为:(20x+20y);();;
(2)乙购买水果的方式更合算些,理由为:
Q1−Q2=-=,
∵x≠y,x>0,y>0,
∴(x−y)2>0,2(x+y)>0,
∴>0,
∴Q1−Q2>0,即Q1>Q2,
∴乙购买水果的方式更合算些.
【点睛】此题考查了分式混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.在通常情况下,判断两个代数式值的大小,只要考虑它们的差就可以.
27.(2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习)对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=axy+bx﹣4(其中a、b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:T(0,1)=a×0×1+b×0﹣4=﹣4.若T(2,1)=2,T(﹣1,2)=﹣8.
(1)求a,b的值;
(2)若T(m,n)=0(n≠﹣2),
①用含n的代数式表示m;
②若m、n均取整数,求m、n的值;
③当n取s、t时,m对应的值为c、d.当t<s<﹣2时,试比较c、d的大小.
【答案】(1)的值为1,的值为2
(2)①;②或或或或或;③
【分析】(1)根据新运算的定义和可得一个关于的二元一次方程组,解方程组即可得;
(2)①先根据和(1)的结论即可得;
②根据(2)①可得,再根据均取整数进行分析即可得;
③先求出,,再根据分式的减法法则可得,然后根据即可得.
【详解】(1)解:,
,
解得,
即的值为1,的值为2.
(2)解:①由(1)可知,,
,
,
;
②由(2)①可知,,
取整数,
是整数,
又也是整数,
的所有可能的取值为,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
综上,或或或或或;
③由题意得:,,
则
,
,
,
,
.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式减法的应用,理解新运算的定义是解题关键.
28.(2021春·江苏苏州·八年级校考期中)阅读下面的材料:
如果函数满足:对于自变量的取值范围内的任意,.
(1)若,都有,则称是增函数;
(2)若,都有,则称是减函数.
例题:证明函数是减函数.
证明:设,
,
∵,
∴,,
∴,即,
∴,
∴函数是减函数.
根据以上材料,解答下面的问题:
已函数,
,.
(1)计算:______.
(2)猜想,函数是______函数(填“增”或“减”).
(3)请仿照例题证明你的猜想.
【答案】(1)
(2)增
(3)见解析
【分析】(1)根据题目中函数,将代入,即可求解的值;
(2)根据的值,结合(1)比较和的大小,再根据材料信息进行判断即可;
(3)根据题目中例子的证明方法,结合(1)和(2)可证明猜想成立.
【详解】(1)解:.
故答案为:.
(2)解:由(1)知,,根据题干可知,,
∵,,
∴猜想:函数是增函数.
故答案为:增.
(3)证明:设,
,
=,
∵,
∴,,,
∴,
即,
∴,
∴函数是增函数,猜想得证.
【点睛】本题考查函数的概念,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数的性质解答.
29.(2021春·江苏南京·八年级统考期中)比较两个数的大小时,我们常常用到“作差法”:
如果,那么;
如果,那么;
如果,那么.
(1)已知,且,,试用“作差法”比较、的大小,并说明理由;
(2)比较两数和的大小;
(3)对于正,,,,如果,则、满足的关系是______.
【答案】(1) ;(2) ;(3)
【分析】用作差法求解.
【详解】(1),
∵,∴,∴.
∵,∴,
∴,即.
故答案为:.
(2)令,,
,
∵,∴,
∵,则,∴,
∴.
(3),,,
为正数,所以分母不为0
∴,.
故答案为:.
【点睛】本题考查了作差法比较大小:
如果A-B>0,那么A>B;
如果A-B=0,那么A=B;
如果A-B<0,那么A<B.
30.(2022春·江苏·八年级专题练习)我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如:.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:像,…这样的分式是假分式;像,,…这样的分式是真分式.类似的,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如:;
=x+2+.
(1)下列分式中,属于真分式的是: (填序号)
①;②;③;④.
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式;
(3)如果分式的值为整数,求x的整数值.
【答案】(1)③
(2);
(3)0,2.
【分析】(1)根据阅读材料中的定义判断即可;
(2)分式分子变形后,化为整式与真分式的和即可;
(3)分式分子变形后分为整式和真分式,根据分式的值为整数且整式的值为整数,确定出x的整数值即可.
(1)
解:由阅读材料知道:当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,
由此可知只有为真分式,故答案为:③
(2)
解:
=
=;
(3)
解:
=
=
=
∵分式的值为整数,是整数,
∴ 是整数
则的整数值为0,2.
【点睛】此题考查了分式的加减法,整式的加减,分式的定义,以及分式的值,弄清题意是解本题的关键.
31.(2023春·江苏·八年级专题练习)已知,求、的值.
【答案】,
【分析】首先化简方程,然后根据等式关系,列出二元一次方程组,解得即可.
【详解】解:原方程可化为,
,
可得,
解得,.
【点睛】此题主要考查分式加减运算的恒等式,关键是列出关于、的二元一次方程组.
32.(2022春·江苏南京·八年级统考期中)已知b>a>0.
(1)比较大小: (填“>”、“<”或“=”);
(2)若c>0,比较与的大小;
(3)下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号).
①若n>m>0,则;
②若n>m>2,则;
③若n>m>2,则;
④若n>m>2021,则.
【答案】(1)<
(2)
(3)②④
【分析】(1)利用作差法判断大小即可.
(2)利用作差法比较大小即可.
(3)利用作差法逐项进行比较判断即可.
(1)
解:,
,
,,
,
,
即.
故答案为:.
(2)
,
,,
,,
,
即;
(3)
①,
,
,,
,
则,故①错误;
②,
,
,,
,
则,故②正确;
③,
,
,,
,
则,故③错误;
④
,
,
,,
,
则,故④正确.
故答案为:②④.
【点睛】本题考查分式的混合运算,熟练掌握作差法以及分式混合运算的运算法则是解答本题的关键.
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
…
﹣0.25
﹣0.
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.
0.25
…
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