初中数学苏科版八年级下册第10章 分式10.1 分式课堂检测

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考点一：分式的定义 考点二：分式有意义的条件
考点三：分式的值为零的条件 考点四：分式的值
考点五：分式的基本性质 考点六：约分
考点七：通分 考点八：最简分式
考点九：最简公分母 考点十：列代数式（分式）
考点考向
一．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
二．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
三．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
四．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
五．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
六．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
七．通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
八．最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
九．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
十．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
考点精讲
一．分式的定义（共1小题）
1．（2022春•赣榆区校级月考）下列各式：，﹣，xy2，，，其中是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：分式有﹣，，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子（A、B是整式）中，分母B中含有字母，则叫分式．
二．分式有意义的条件（共1小题）
2．（2022春•六合区校级月考）分式有意义，x的取值范围是 ．
【分析】根据分式有意义的条件，使分式分母不等于0，列出不等式，解不等式即可得出答案．
【解答】解：∵分式 有意义，
∴3x﹣2≠0，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查分式有意义的条件，即：分母不等于0，如果式子中含有多个分母，那么这几个分母都不能为0．
三．分式的值为零的条件（共1小题）
3．（2022•亭湖区校级开学）当x＝ 3 时，分式的值为零．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：分式的值为零，即x2﹣9＝0，
∵x≠﹣3，
∴x＝3．
故当x＝3时，分式的值为零．
故答案为3．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
四．分式的值（共7小题）
4．（2022秋•高邮市期末）已知x2﹣3x﹣m＝0，则代数式的值是（ ）
A．3B．2C．D．
【分析】先将已知等式变形为x2﹣m＝3x，再代入求解即可．
【解答】解：由x2﹣3x﹣m＝0得x2﹣m＝3x，
则，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的化简求值，根据所求式子，正确变形已知等式是解题关键．
5．（2022春•溧水区期中）关于分式的判断，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，分式的值为零
B．当x＝﹣1时，分式无意义
C．当x≠2时，分式有意义
D．无论x为何值，分式的值总为负数
【分析】利用分式有无意义、值为0的条件，逐个判断得结论．
【解答】解：当x＝2时，分式无意义，故A说法错误；
当x＝﹣1时，分式的值为0，故B说法错误；
当x≠2时，分式有意义，故C说法正确；
当x＝3时，分式的值不为负数，故D说法错误．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有无意义及值为0的条件．当分式的分母为0时，分式无意义；当分式的分子为0，分母不为0时分式的值为0；当分式的分母不为0时，分式总有意义．
6．（2021春•沭阳县校级期末）已知＝0，求的值．
【分析】直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质结合分式有意义的条件得出x，y的值，进而代入求出答案．
【解答】解：∵＝0，
∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
则＝＝2．
所以的值是2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质以及绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
7．（2022春•鼓楼区期中）阅读材料．
已知，求的值．
解：由，得，
颠倒分子与分母的位置为，
因为＝，
所以．
回答问题：
已知a，b，c为非零实数，，，求代数式的值．
【分析】先分别求得的倒数，再将计算结果代入的倒数进行计算即可．
【解答】解：∵，，，
∴＝6，＝8，＝10，
∴++＝6+8+10，
∴，
∴＝24，
∴，
，
∴＝．
【点评】此题考查的是分式的计算，能够根据已知等式进行正确变形是解决此题的关键．
8．（2021春•江都区校级期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），自己任选两张牌做分子和分母，组成一个分式，然后两人取定一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）请分别写出小明和小强可能组成的分式中，值最大的分式（直接写出结果）；
（2）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
小明的牌：
小强的牌：
【分析】（1）根据分式值的意义，确定分式的分子和分母即可；
（2）作差法即可比较出与的大小．
【解答】解：（1）∵x是大于3的正整数．
∴x﹣1＞x﹣2＞x﹣3＞0，x+3＞x+2＞x+1＞0，
∴小明用x+3作分子，x+1作分母，其分式的值最大，
小强用x﹣1作分子，x﹣3作分母，其分式的值最大，
∴小明：；小强：；
（2）小强说的有道理，理由如下：﹣＝；
∴当x是大于3的正整数时，＜0；
即＜；
故小强说的有道理．
【点评】本题考查分式的定义及分式的加减运算，解题关键是利用作差法比较大小．
9．（2022春•洪泽区期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
【分析】（1）只要3是x+1的倍数即可；
（2）将分式化成一个整式与一个真分式的和，5是x+1的倍数即可．
【解答】解：（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4．
（2）＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6．
【点评】本题考查了分式的整数值，考查学生的计算能力，看懂题意是解题的关键．
10．（2021春•海州区期中）已知：，
（1）若A＝，求m的值；
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
【分析】（1）根据分式的值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据拆项法，可得1﹣，根据是整数，可得a的值；
（3）根据作差法，可得答案．
【解答】解：（1）由A＝，得
＝1﹣＝，2﹣m＝1，解得m＝1；
（2）B＝＝1﹣，∴当a+4＝±1时B为整数
a＝﹣3，a＝﹣5．
（3）当a＞0时，A﹣B＝﹣＜0，
A＜B．
【点评】本题考查了分式的值，利用分式的值得出方程是解题关键．
五．分式的基本性质（共2小题）
11．（2022春•泰州月考）下列变形中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、＝﹣1，符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、＝＝﹣，不符合题意；
D、＝（c≠0），不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
12．（2022春•铜山区期中）如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大3倍
C．缩小为原来的D．扩大9倍
【分析】根据x，y都扩大3倍，即可得出分子扩大9倍，分母扩大3倍，由此即可得出结论．
【解答】解：∵x，y都扩大为原来3倍，
∴分子3xy扩大9倍，分母x﹣y扩大3倍，
∴分式的值扩大3倍．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x、y的变化找出分子分母的变化．
六．约分（共6小题）
13．（2022春•淮安区期末）化简分式的结果是 ．
【分析】直接将分式的分子分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
14．（2022春•宿豫区期中）约分：＝ ．
【分析】把分子分母的公因式2ab约去即可．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的约分的方法，理解最简分式的意义，属于中考基础题．
15．（2022春•宝应县期中）化简：＝ ．
【分析】直接将分式的分母分解因式，再利用分式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
16．（2022春•洪泽区期中）约分：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用分式的性质化简得出答案；
（2）首先将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣6a；
（2）原式＝＝．
【点评】此题主要考查了约分，正确分解因式再约分是解题关键．
17．（2020春•滨湖区期中）约分：
（1）；
（2）．
【分析】（1）将找到分子、分母的公因式，再约分即可得；
（2）先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可得．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝．
【点评】本题主要考查约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
18．（2021春•沭阳县期中）约分：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用分式的性质化简得出答案；
（2）直接利用分式的性质化简得出答案．
【解答】解：（1）＝﹣3xy；
（2）
＝﹣
＝﹣．
【点评】此题主要考查了分式的约分，正确化简分式是解题关键．
七．通分（共2小题）
19．（2022春•泗阳县期中）（1）约分：
（2）通分：与
【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；
（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）与，最简公分母为：3a2bc，
则＝＝，
＝＝．
【点评】此题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
20．（2018春•沭阳县期中）（1）通分：；
（2）通分：，．
【分析】找出最简公分母，根据分式的通分法则计算即可．
【解答】解：（1）＝，＝；
（2）＝，＝．
【点评】本题考查的是分式的通分、约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．
八．最简分式（共1小题）
21．（2022秋•泰山区期末）分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：分子分母有公因式x2﹣1，
；；这三个是最简分式．
故选：C．
【点评】最简分式就是分子和分母没有可以约分的公因式．
九．最简公分母（共2小题）
22．（2022春•南京期末）分式与﹣的最简公分母是（ ）
A．6x3yB．6x2yC．18x2yD．18x3y
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与﹣的最简公分母是6x2y．
故选：B．
【点评】此题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的找法是解本题的关键．
23．（2022春•梁溪区校级期中）分式与的最简公分母是 xyz ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与的分母分别是xy、yz，所以最简公分母xyz．
故答案为：xyz．
【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
一十．列代数式（分式）（共2小题）
24．（2022春•溧阳市期中）用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 吨．
【分析】漫灌时平均每天的用水量为吨，喷灌平均每天用水量为吨，然后求它们的差即可．
【解答】解：喷灌比漫灌平均每天节约用水量为﹣＝（吨）．
故答案为：．
【点评】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
25．（2022春•梁溪区校级期中）甲、乙两地相距x千米，某人从甲地前往乙地，原计划y小时到达，因故延迟了2小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】实际每小时比原计划多走的路程＝实际速度﹣原计划速度，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵原计划速度为千米/时，实际速度为千米/时，
∴实际每小时比原计划少走（）千米，
故选：C．
【点评】考查列代数式（分式），得到实际每小时比原计划多走的路程的关系式是解决本题的关键．
巩固提升
一、单选题
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零B．当x为任意实数时，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值D．当时，有意义
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论．
【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意；
B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意；
C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意；
D、当时，有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据最简分式的定义逐一分析判断即可．
【详解】解：A、，该选项不符合题意．
B、是最简分式．该选项符合题意．
C、，该选项不符合题意．
D、，该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式的识别，熟记定义：“一个分式的分子与分母，除1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式”是解本题的关键．
3．（2022春·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论．
【详解】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得，，
∴括号内应填x-1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列变形中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，选项正确，符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、当时，等号右边的式子没有意义，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，解题的关键是熟练掌握分式的有关性质．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是B．
C．D．
【答案】D
【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案．
【详解】A、最简公分母为，正确，该选项不符合题意；
B、，通分正确，该选项不符合题意；
C、，通分正确，该选项不符合题意；
D、通分不正确，分子应为，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．
6．（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大9倍
【答案】B
【分析】根据题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的和得，
，
可见新分式与原分式相等，分式的值不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，是解题的关键．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）在，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【详解】解：，，分母中含字母，是分式；
，分母中不含字母，不是分式；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
二、填空题
8．（2023秋·江苏·八年级统考期末）若分式的值为0，则______．
【答案】3
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出的值．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，熟练掌握该知识点是解题的关键．
9．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）小明用元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本元（），现在每本降价1元，购买到这种练习本的本数为______．
【答案】
【分析】先由已知条件求出现在每本练习本的单价，再根据“金额÷单价＝数量”列出代数式便可．
【详解】解：根据题意得，现在每本单价为（b﹣1）元，
则购买到这种练习本的本数为（本）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键．
10．（2021春·江苏·八年级专题练习）若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质解答．
【详解】原式＝．
【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
11．（2022秋·江苏·八年级统考期末）已知，则的值为______．
【答案】
【分析】设k法将都用k表示出来，直接代值求解即可．
【详解】设，则，
故答案为：
【点睛】此题考查分式的求值，解题关键是用一个未知数表示出所有的未知数，直接化简．
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知分式，当时，分式无意义，则a＝________．
【答案】4
【分析】根据分母等于0分式无意义列式求解即可.
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，
解得：；
故答案为4．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
13．（2023春·江苏·八年级专题练习）分式，的最简公分母是______．
【答案】##
【分析】根据最简公分母的确定方法，求最简公分母时，将各分母分解因式，将所有的表达式都化成积的形式，系数取最小公倍数，取各式所有分母因式的最高次幂的积，确定最简公分母；
【详解】∵3和2的最小公倍数是6，的最高次幂是2，的最高次幕是3，
∴是两者的最简公分母，
故答案为：
【点睛】本题考查了最简公分母，解决本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法步骤．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：
（1）___________；
（2）___________；
（3）___________．
【答案】
【分析】（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）
故答案为：
【点睛】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式．
15．（2017春·江苏盐城·八年级阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_________．
【答案】
【详解】要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10，
即
故答案为.
16．（2022秋·江苏·八年级统考期末）计算______．
【答案】b
【分析】先算乘方，再算除法．
【详解】解：
故答案为：b．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的化简能力．
17．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如果分式的值为正数，则的取值范围是__．
【答案】且
【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得．
【详解】解：分式的值为正数，且，
且，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键．
18．（2023春·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：．______
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有______组．
【答案】2
【分析】根据x，y均为正整数，可知、，据此建立不等式并求解可知，结合，可确定可知符合条件的x的值，然后根据确定与之对应的y的值，即可确定符合条件的x，y的值的组数．
【详解】解：∵x，y均为正整数，
∴，，
∴，
∴，解得，
结合，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
对应的y的值为：9、、、、、、、、，
∴符合条件的x、y的值为，，
∴符合条件的x，y的值有2组．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了使分式值为整数时未知数的整数值以及一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．
三、解答题
20．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）分子分母约去即可；
（2）分子分母约去即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可；
（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
21．（2023春·江苏·八年级专题练习）通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母，然后通分即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
22．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是________分式（填“真”或“假”）；
(2)请将假分式化为带分式的形式；
(3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】(1)真
(2)
(3)整数x的值为－1，0，2，3
【分析】（1）利用真分式的定义判断即可；
（2）根据题干中的方法拆解即可求解；
（3）将原式化为带分式的形式后，利用整除的性质即可求解．
【详解】（1）分式是真分式．
故答案为：真
（2）原式=
=
=
=
（3）原式=
=
=
=
=
∵分式的值为整数，
即=－2，－1，1，2
解得：x =－1，0，2，3
∴整数x的值为－1，0，2，3．
【点睛】本题考查了分式的加减法，分式中的新定义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的定义和方法是解决本题的关键．
23．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知等式
(1)①用含的代数式表示；
②若均为正整数，求的值；
(2)设，，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．
【答案】(1)①
②或者
(2)，理由见详解
【分析】（1）①合并含y的项，即可求解；②根据①的关系结合x、y为正整数即可求解；
（2）根据题条件可知，，即有．设，，根据，可得，则有，，进而可得，依据，即可得．
【详解】（1）①由得：，
即，
②∵x、y为正整数，，
∴可知y只能为1或者2，
∴当y=1时，x=4，当y=2时，x=3，
即x、y的值为：或者；
（2），理由如下，
根据题条件可知，，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，即，
则有：，
即
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了代数式的运算以及求解二元一次方程的正整数解等知识，解答本题要注重换元的思想．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)；
(2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值．
【答案】(1)②③④
(2)或或
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可；
（2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
①，是“和谐分式”；
②，分式可以约分，不是“和谐分式”；
③，分式可以约分，不是“和谐分式”；
④，分式可以约分，不是“和谐分式”；
综上，不是“和谐分式”的是②③④；
故答案为：②③④；
（2）解：∵为“和谐分式”，
∴可以进行因式分解，且不能有因式，
∴或或或，
∴或或．
【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键．
25．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 ．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
(3)若（a，b都不为0），请直接写出的值．
【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据分式的基本性质求解；
（2）将分式的分子、分母同时除以得原式，然后利用整体代入的方法计算；
（3）把代入分式中化简即可．
【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）∵，
∴原式＝
＝
＝，
∵，
∴，
∴原式=；
（3）∵，
∴，
∴=1．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法．
26．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】(1)
(2)或0
【分析】（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：代数式的值为正整数，
或，
解得：或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
27．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）观察下列等式：
，
，
，
(1)依此规律进行下去，第5个等式为 ，猜想第个等式为 ；
(2)证明（1）中猜想的第个等式．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据给定的等式的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；
（2）利用统分的方法即可得出等式的左边=等式右边，此题得证．
【详解】（1）解：第5个等式为，猜想第个等式为；
故答案为：，；
（2）证明：等式左边，等式右边，
∴等式左边=等式右边
即
证毕．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，根据数据的变化找出变化规律是解题的关键．
28．（2022春·江苏·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
（1） （2） ．
【答案】（1）；（2） ．
【分析】根据分式的基本性质变形即可；
【详解】解：（1）原式；
（2）原式=；
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．