苏科版八年级下册12.1 二次根式练习题

这是一份苏科版八年级下册12.1 二次根式练习题，文件包含第12章二次根式章末检测卷原卷版docx、第12章二次根式章末检测卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意；B、，故符合题意；
C、，故不符合题意；D、，故不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确熟练地进行计算．
2.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【答案】A
【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
3．（2022·浙江·九年级专题练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（ ）
A．2aB．2bC．﹣2aD．2
【答案】C
【分析】先根据a、b在数轴上的位置，即可推出，，，由此进行求解即可．
【详解】解：由数轴得：，，
∵，∴∴，，，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了根据数轴判定式子的符号，无理数故值，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．（2022·浙江·嵊州市三界镇蒋镇学校八年级期中）设，，用含的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算ab的值，然后将进行化简，从而即可得到答案．
【详解】解：∵，，∴又∵∴故选D．
【点睛】本题考查二次根式的化简及二次根式的乘法计算，难度不大，掌握计算法则正确计算是解题关键．
5．（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）估计最接近的整数是（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】B
【分析】先化简二次根式，估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：原式＝，∵12.25＜15＜16，
∴3.5＜＜4，∴最接近的整数是4，∴+10最接近的整数是14，故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
6．（2022·山东河东·八年级期末）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（ ）．
A．型B．型C．型D．型
【答案】B
【分析】将代数式化简即可判断．
【详解】故选：B
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．
7．（2022·山东河东·七年级期末）已知+=0，则 的值为（ ）
A．0B．2021C．-1D．1
【答案】D
【分析】根据二次根式与绝对值的非负性，求出a，b的值，再代入求值，即可．
【详解】解：∵+=0且≥0，≥0，
∴=0，=0，∴a=2020，b=-2021，∴=，故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式求值，掌握二次根式与绝对值的非负性，是解题的关键．
8．（2022·广东·红岭中学八年级阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论．
【详解】解：=

∵＞＞∴＞＞∴故选A．
【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键．
9．（2022·平泉市教育局教研室八年级期末）一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对B．乙同学说的对C．甲、乙两名同学说的都对D．无法判断
【答案】B
【分析】先利用算术平方根求出每个正方形的边长，求出两个小正方形的边长之和，与长方形的长比较即可．
【详解】解: ∵两个面积分别是和的正方形木板，边长分别为，，
∵两个正方形边长之和为＞7dm，
∴乙同学说法想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出正确．故选择B．
【点睛】本题考查正方形面积求边长，二次根式的和，比较无理数的大小，掌握以上知识是解题关键．
10．（2022·广东·西南中学三模）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设，再两边平方得，又因为，故x＞0，解得，，根据以上方法，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝+﹣
＝++﹣（﹣）＝3﹣2++﹣+＝3．故选：D．
【点睛】此题主要考查了分母有理数，正确化简二次根式是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·全国·八年级课时练习）当_________时，二次根式取最小值，其最小值为_________．
【答案】6 0
【分析】根据被开方数为非负数可得．
【详解】∵当时，的最小值为0，
∴当，即时，二次根式取最小值，其最小值为0．故答案为：6， 0．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的被开方数是非负数解题．
12．（2022·山东淄博·八年级期末）将化为最简二次根式，其结果是 __．
【答案】
【分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
13．（2022·广东·深圳市新华中学八年级阶段练习）若，则__________．
【答案】2020
【分析】根据二次根式被开方数的非负性可求出a的值，将a的值代入可求出m，从而得到答案；
【详解】解：由题意得∴∴
当时，∴=2020故答案为：2020
【点睛】本题考查二次根式的非负性，代数式求值，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
14．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）已知：，则______．
【答案】9
【分析】化简，然后对比分析得，，代入计算即可．
【详解】解：∵= = ∴， ∴故答案为：9
【点睛】本题考查二次根式的加减，根据知识点解题是重点．
15．（2022·河北·平泉市九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
【答案】
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面积列出等式并计算．
【详解】解：∵，．长方形的周长=2×(+)= 2×(+)=12；
长方形的面积===24，
根据面积相等，则正方形的边长==．故答案为：；．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
16．（2022·山东菏泽·八年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号，∴即，当且仅当时，等号成立，
∴y的最小值为．故答案为∶．
【点睛】本题考查新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
17．（2022·全国·八年级课时练习）已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且=2009，则=____．
【答案】．
【分析】把已知的等式变形分解后，得到xy的值．
【详解】∵=2009，
∴+ ++=0，∴（++）（﹣）=0，
∵1＜x＜y＜100，∴﹣=0，∴=故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解和二次根式的加减法，分解因式是解本题的关键．
18．（2022·浙江·八年级专题练习）化简_______．
【答案】
【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．故答案为：．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·四川省成都实外初二月考）计算
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
【答案】（1）-5；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）先算括号里的，再算乘法，最后算减法；（2）先用二次根式的性质化简各项，再作加减法；
（3）先去括号，再计算加减法；（4）利用乘法分配律计算即可；（5）先化简各项，再作加减法；
（6）利用多项式的乘法法则计算即可.
【解析】解：（1）原式====-5；
（2）原式===；
（3）原式==；
（4）原式===；
（5）原式==；
（6）原式===
=.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，注意运算律和乘法公式的运用.
20．（2022·福建南平市·八年级期中）已知，，
求下列代数式的值：（1）；（2）
【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值；
（2）利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）∵，，
∴
=[（1+）+（1-）] [（1+）-（1-）]
=
=
= ；
（2）∵，，
∴
=[（1+）+（1-）] 2
=
= 4．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．
21．（2022·福建省福州屏东中学七年级期中）阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣﹣a
即5﹣
∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．
【答案】（1）4，1；（2）±
【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根．
【详解】解：（1）∵，
∴，∴，∴b=1，a-b=3，∴a=4；
（2），∴，
∴，解得：，∴xy=21，∴xy的平方根为±．
【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
22．（2022·河南许昌·八年级期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________．
(2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意直接将三边长代入海伦—秦九韶公式即可求得答案；
（2）根据题意分别计算△ABC的面积和△ACD的面积进而相加即可得出四边形的面积．
(1)解：由海伦—秦九韶公式可得三边长分别为3、6、7的三角形面积为：
，；
(2)连接AC，如图，
∵四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，∴AC=5，∴△ABC的面积=×3×4＝6，
∵，∴△ACD的面积=，
∴四边形ABCD的面积为：.
【点睛】本题考查二次根式的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式进行解答．
23．（2022·河北唐山市·八年级期末）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）
（1）①当，时，______；②当，时，______；
③当，时，______；④当，时，______．
（2）写出关于与之间数量关系的猜想：______探究证明：（提示：）
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为______．
【答案】（1）①＝；②＝；③；④；（2），证明见解析；（3）4．
【分析】（1）①、②、③、④直接将a、b的值代入计算即可；
（2）由可得，最后移项即可说明；
（3）当镜框为正方形时，周长最小，即然后根据正方形的面积求出边长即可解答．
【详解】（1）①当，时，=2，=2，则=；
②当，时，=3，=3，则=；
③当，时，=2.5，=2，则＞；
④当，时，=4，=，则＞．故：①＝，②＝，③，④；
（2），理由如下：，∴，整理得，；
（3）当镜框为正方形时，周长最小∵镜框的面积为1∴镜框的边长为1，即周长为4．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，确定出两个算式的大小关系并灵活运用这种关系成为解答本题的关键．
24．（2022·河南·郑州外国语中学八年级期中）先阅读，后解答：
（1）由根式的性质计算下列式子得：
①＝3，②＝，③＝，④＝5，⑤＝0
由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）．
（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：
①＝_____；②化简：（x＜2）＝_____．
（3）应用：若＋＝3，求满足条件的所有整数x的和_____．
【答案】（1）；（2）①π﹣3.14，②2﹣x；（3）26．
【分析】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果；（2）①当a=3.14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14；②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；（3）根据（1）式得： ，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值，根据具体取值，即可求答案．
【详解】解：（1） ；
（2）①=π﹣3.14，
②（x＜2），=，=|x﹣2|， ∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴=2﹣x；
（3）∵，
①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x；
②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0，所以原式=x﹣5+8﹣x=3；
③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13，
∵3，
所以x的取值范围是5≤x≤8，x可取5、6、7、8，满足条件的所有整数x的和5+6+7+8=26．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．
25．（2022·山东历城·八年级期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，，由于，
即， ∴
（1）填空：= ，= ；（2）化简：．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）（2）由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对＝|a| 的形式化简后即可得出结论．
【详解】解：（1）==；
==；故答案为：，；
（2）原式====
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
26．（2022·江西乐平·八年级期中）阅读下列解题过程，并解答问题．
①；
②．
（1）直接写出结果＝ ．
（2）化简：；
（3）比较大小：与．
【答案】（1）；（2）9；（3）
【分析】（1）根据所举例子，分子、分母都乘以，化简即可；（2）根据（1）中结论计算即可；
（3）把所给代数式式的分母看做是1，然后把分子、分母都乘以分子的有理化因式化简后比较；
【详解】解：（1）===；
（2）原式＝，
＝；
（3），
，
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．