2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校九年级（上）段考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校九年级（上）段考数学试卷（10月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中属于必然事件的是( )
A. 一个奇数与一个偶数的和为奇数B. 一个三角形三个内角的和小于180°
C. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上D. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒
2.二次函数y=2(x+1)2+3的顶点坐标是( )
A. (−1,−3)B. (−1,3)C. (1,−3)D. (1,3)
3.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，直线FA，FB，ED，EC围成四边形，则向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率(不考虑落在线上的情形)是( )
A. 15B. 14C. 13D. 12
4.已知二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(2,4)，则代数式1−2a−b的值为( )
A. −4B. −52C. −32D. 52
5.将抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是( )
A. y=3(x+2)2+4B. y=3(x−2)2+4
C. y=3(x−2)2−4D. y=3(x+2)2−4
6.欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为900cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为( )
A. 300cm2B. 360cm2C. 450cm2D. 540cm2
7.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是( )
A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的最小值小于−6
C. 当x=0时，y=1D. 当x<1时，y的值随x值的增大而减小
8.已知点A(−2,y1)，B(−3,y2)，C(1,y3)均在抛物线y=x2+4x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y1y3>y2
9.二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx−t=0(t为实数)在−2A. t≥−1
B. −1≤t<3
C. −1≤t<8
D. 310.已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时t≤y≤s，则下列说法正确的是( )
A. 当s−t=1时，b−a有最小值B. 当s−t=1时，b−a有最大值
C. 当b−a=1时，s−t无最小值D. 当b−a=1时，s−t有最大值
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.二次函数y=x2−4x+2的图象与y轴的交点坐标为______．
12.有5张卡片，每张卡片分别写有不同的从1到5的自然数.从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是5的概率是______．
13.瑞安某服装厂对一批服装质量抽检情况如下：
根据表格中的数据，从这批服装中任选一件是正品的概率约为______．
14.如图，B船位于A船正东方向20km处.现在A船以8km/h的速度朝正北方向行驶，同时B船以4km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了______h.
15.定义运算“※”：a※b=−ab2，如：1※(−2)=−1×(−2)2.若函数y=2※x的图象过点P(1,c)，将该函数图象向右平移，当它再次经过点P时，所得的图象函数表达式为______．
16.关于二次函数y=ax2−4ax−5(a≠0)的四个结论：①对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a<−54；④若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则−43三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)，(0,−4)．
(1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)判断点(2,7)是否在抛物线上．
18.(本小题8分)
一个箱子里有1个红球、1个白球，它们除颜色外其余均相同.从箱子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球．
(1)有人说，两次摸球只有3种可能的结果：2红、2白、1红1白，所以两次都摸到红球的概率应该是13，这种说法正确吗？请判断并说明理由；
(2)往箱子中再放入n个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同，从箱子中任意摸一个球，若摸到红球的概率为0.8，求n的值．
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=(x−1)2−1图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．
(1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；
(2)一次函数y=kx+b的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤(x−1)2−1的解集．
20.(本小题10分)
对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下：
(1)计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率．
(2)估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．
21.(本小题10分)
在平面直角坐标系中.设函数y=(x−a)(x−a−5)+4，其中a为常数，且a≠0．
(1)若函数的图象同时经过点(b,m)、(4−b,m)，求a的值．
(2)已知点(1,y1)和(2,y2)在函数的图象上，且y122.(本小题12分)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,1)和B(2,4)．
(1)求a，b满足的关系式．
(2)当自变量x的值满足−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
(3)若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
23.(本小题12分)
杭州乐园是长三角地区著名的综合性主题公园，园区分为玛雅部落、失落丛林、冒险岛等主题区域.悬挂过山车是其经典项目之一.如图所示，F→E→G为悬挂过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线.其中OE=258米，OF=12516米(轨道厚度忽略不计)．
(1)求抛物线F→E→G的函数关系式；
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了158米至K点，又进入下坡段K→H(K接口处轨道忽略不计).已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；
(3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求OA=AB.已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、一个奇数与一个偶数的和为奇数，是必然事件，符合题意；
B、一个三角形三个内角的和小于180°，是不可能事件，不符合题意；
C、任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】B
【解析】解：∵二次函数为y=2(x+1)2+3，
∴顶点坐标为：(−1,3)，
故选：B．
根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标．
本题考查二次函数的性质−顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的顶点式．
3.【答案】B
【解析】解：由矩形的性质可得：阴影区域的面积是矩形面积的14，
所以飞镖落在阴影区域的概率是14，
故选：B．
根据几何概率的计算公式：概率=相应的面积与总面积之比解答即可．
此题考查了几何概率的知识．解题的关键是求解各部分的面积，注意用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．
把点(2,4)代入函数解析式求出4a+2b−1=4，然后即可得解．
【解答】
解：∵y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(2,4)，
∴4a+2b−1=4，
∴2a+b=52．
∴1−2a−b=1−(2a+b)=1−52=−32．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位得到y=3(x−2)2−4．
故选：C．
按照“左加右减，上加下减”的规律．
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】D
【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为900×0.6=450(cm2)，
故选：D．
用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7.【答案】D
【解析】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，则
5=a−b+c−5=4a+2b+c0=25a+5b+c，解得：a=56b=−256c=0，
∴二次函数的解析式为y=56x2−256x=56(x−52)2−12524，
∴函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
这个函数的最小值为−12524，大于−6，故选项B错误，不符合题意；
∴当x=0时，y=0，故选项C错误，不符合题意；
对称轴为x=52，当x<1时，y的值随x值的增大而减小，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．
8.【答案】C
【解析】解：∵y=x2+4x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−42×1=−2，
∴C(1,y3)关于对称轴的对称点为(−5,y3)，
∵抛物线开口向上，
∴x<−2时，y随x的增大而减小，
∵−5<−3<−2，
∴y1故选：C．
求出抛物线的对称轴为直线x=−2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵对称轴为直线x=−b2=1，
∴b=−2，
∴二次函数解析式为y=x2−2x．
当x=−2时，y=4+4=8；
当x=3时，y=9−2×3=3；
当x=1时，y=1−2=−1．
∵x2+bx−t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当−1≤t<8时，在−2故选：C．
根据对称轴求出b的值，从而得到x=−2、3时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx−t=0(t为实数)在−2本题考查了二次函数的图象以及二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当s−t=1时，
当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a−b越接近于0，但不能取0，即b−a没有最小值，
当a，b异号时，当a=−1，b=1时，b−a=2最大，
当b−a=1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，s−t越大，但取不到最大，
当a，b在y轴两侧时，当a=−12，b=12时，s−t取到最小，最小值为14，
故选：B．
根据抛物线的性质，分当s−t=1时，b−a=1时两种情况进行判断，即可得出结论．
此题主要考查了二次函数的性质，解本题的关键对二次函数的性质的掌握与应用．
11.【答案】(0,2)
【解析】解：当x=0时，y=2，
所以二次函数y=x2−3x+2x的图象与y轴的交点坐标是(0,2)．
故答案为(0,2)．
通过解方程x2−3x+2=0得抛物线与y轴的交点坐标．
本题考查了抛物线与y轴的交点，掌握代入法是解题关键．
12.【答案】15
【解析】解：∵从1到5的数中5只有1个，
∴从中任取一张卡片，P(卡片上的数是5)=15．
故答案为：15．
根据概率公式解答即可．
考查了概率公式，正确记忆概率=所求情况数与总情况数之比是解题关键．
13.【答案】0.95
【解析】解：表格中的频率分别为：1；0.97；0.97；0.95，
从这批西装中任选一套是正品的概率是0.95，
故答案为：0.95
用正品数分别除以抽检件数得到正品的频率，再可估计任选一套是正品的概率．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14.【答案】1
【解析】解：设t时两船相距为y km，则AA′=8t，AB′=(20−4t)km，
由题意可知：
y2=AA′2+B′A2=(8t)2+(20−4t)2=80(t−1)2+320，
故当t−1=0时，即t=1时y最小，两船相距最近，
答：当两船相距最近时，行驶了1h．
故答案为：1．
利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值即可．
本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．
15.【答案】y=−2(x−2)2
【解析】解：由新定义得函数解析式为y=−2x2．
把P(1,c)代入，得c=−2，
∴P(1,−2)，
设平移后的抛物线解析式为：y=−2(x−b)2．
把P(1,−2)代入，得−2=−2(1−b)2．
解得b=0(舍去)或b=2．
所以将该函数图象向右平移，当它再次经过点P时，所得的图象函数表达式为：y=−2(x−2)2．
故答案为：y=−2(x−2)2．
由新定义得函数解析式为y=−2x2.将点P(1,c)代入可得c=−2，然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
16.【答案】①④
【解析】解：①二次函数对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∵2+m+2−m2=2，
∴2+m与2−m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等，
∴①正确；
②无论a取何值，抛物线不一定过两个定点，
∴②错误；
③∵若抛物线与x轴交于不同两点A，B，
设A(n,0)，B(p,0)，且n>p，
∵n，p是方程ax2−4ax−5=0的两个不同的根，
∴n+p=4，np=−5a，
∴AB=p−n= (n+p)2−4np= 16+20a，
∵AB≤6，
∴16+20a≤36，
当a>0时，解不等式得a≥1，
当a<0时，解不等式得a≤1，
综上所述：a≥1或a<0，
∵若抛物线与x轴交于不同两点，
∴16a2+20a>0，
∴a>0或a<−54，
综上所述：a≥1或a<−54，
∴③错误；
④∵当a>0时，若3≤x≤4，y随x的增大而增大，
当x=3时，y=9a−12a−5=−3a−5，
当x=4时，y=16a−16a−5=−5，
∴−3a−5≤y≤−5，
∵y的整数值有4个，
∴−9<−3a−5≤−8，
∴1≤a<43，
当a<0时，若3≤x≤4，y随x的增大而减小，
∴−5≤y≤−3a−5，
∵y的整数值有4个，
∴−2≤−3a−5<−1，
∴−43综上所述：−43∴④正确．
故答案为：①④．
①先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断x1=2+m与x2=2−m对应的的两个点是是关于直线x=2对称，从而得出判断；
②根据二次函数y=ax2−4ax−5直接判断结论是错误的；
③设A(n,0)，B(p,0)，且n>p，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示AB长，再根据已知条件分两种情况分别讨论，最终的出a≥1或a<0；
④根据已知条件分两种情况分别讨论，当a>0时，若3≤x≤4，y随x的增大而增大，得−3a−5≤y≤−5，再根据y的整数值有4个，得1≤a<43；当a<0时，若3≤x≤4，y随x的增大而减小，方法和第一种情况类似，求出−43此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式组的整数解，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论及二次函数的性质的应用是解题关键．
17.【答案】解：(1)把(1,0)，(0,−4)代入y=x2+bx+c得：1+b+c=0c=−4，
解得：b=3c=−4，
则抛物线解析式为y=x2+3x−4；
(2)当x=2时，y=x2+3x−4=6≠7，
所以点(2,7)不在此抛物线上．
【解析】(1)把已知两点坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，确定出抛物线解析式即可；
(2)将x=2代入抛物线的解析式，求出对应的y值即可判断；
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)这种说法不正确．
理由如下：
画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为1，
所以两次都摸到红球的概率=14；
(2)根据题意得1+n2+n+2=0.8，
解得n=11，
经检验n=11为原方程的解，
即n的值为11．
【解析】(1)画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次摸到红球的结果数为1，则根据概率公式可计算出两次都摸到红球的概率为14，从而判断题中的说法不正确；
(2)根据概率公式得到1+n2+n+2=0.8，然后解方程即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
19.【答案】(1)解：令y=0，则(x−1)2−1=0，
解得x1=0，x2=2，
∴B点坐标为(2,0)，
列表得：
画图得：
；
(2)如图，

由图形可得：x≤1或x≥2时，kx+b≤(x−1)2−1．
【解析】(1)将y=0代入函数解析式求解．
(2)根据点A，B坐标及图象求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
20.【答案】解：(1)a=88÷100=0.88，b=901÷1000=0.901，
估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.90；
(2)次品的件数约为2000×(1−0.90)=200(件)．
【解析】(1)根据频率=合格频数÷抽取件数可得a、b的值，再根据大量重复实验下，频率稳定的数值即可估计任抽一件衬衣是合格品的概率；
(2)用总数量×(1−合格的概率)列式计算即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21.【答案】解：(1)∵y=(x−a)(x−a−5)+4=x2−(2a+5)x+a2+5a+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−(2a+5)2=2a+52，
∵函数的图象同时经过点(b,m)，(4−b,m)，是对称点，
∴2a+52=b+4−b2，
解得：a=−12．
(2)∵y2=(2−a)(2−a−5)+4=(2−a)(−3−a)+4，
y1=(1−a)(1−a−5)+4=(1−a)(−4−a)+4，
又∵y1∴y2−y1=(2−a)(−3−a)+4−(1−a)(−4−a)−4
=−6+a+a2+4−3a−a2=−2−2a>0，
∴−2a>2，
∴a<−1．
【解析】(1)先解析式化简，确定对称轴，结合对称点与对称轴的关系，列出等式求解即可；
(2)根据二次函数的性质，可得答案．
本题考查了抛物线的对称轴，对称点的关系，函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,1)和B(2,4)，
∴a−b+c=1①4a+2b+c=4②，
②−①得，3a+3b=3，即a+b=1，
∴b=1−a；
(2)由题意可知−b2a≤−1，
∵b=1−a，
∴−1−a2a≤−1，
∴a>0，
∴1−a≥2a，
∴a≤13，
∴a的取值范围是0(3)∵函数图象与x轴无交点，
∴b2−4ac<0，即(1−a)2−4a(2−2a)<0，
∴(1−a)(1−9a)<0，
解得19∵b=1−a，
∴a2+b2
=a2+(1−a)2
=a2+a2−2a+1
=2a2−2a+1
=2(a−12)2+12，
∴当a=12时，a2+b2的最小值为12，
当a=1时，a2+b2的最大值为1，
∴12≤a2+b2<1．
【解析】(1)把点A(−1,1)和B(2,4)代入解析式得到a−b+c=1①4a+2b+c=4②，两式相减即可得到结论；
(2)由题意可知−b2a≤−1，代入b=1−a，解得a≤13，即可得到a的取值范围是0(3)由b=1−a得到a2+b2=2(a−12)2+12，即可根据二次函数的性质得到a2+b2的最值．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设解析式为y=a(x−258)2，
把F(0,12516)代入，
12516=a(0−258)2，
a=45，
∴y=45(x−258)2；
(2)当y=5时，5=45(x−258)2，x1=58，x2=458，
∴P(58,5)，G(458,5)，
∴PG=458−58=408=5，
∵抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，P→E→G向右平移(PG+GK)个单位，
∴抛物线K→H→Q为y2=45(x−258−5−158)2=45(x−10)2，
令y=0，则x=10，
∴OH=10；
(3)设OA=AB=a，A(a,0)，B(2a,0)，
yM=45(a−258)2=45a2−5a+12516，
yN=45(2a−258)2=165a2−10a+12516，
∴l=AM+CM+BN+DN
=45a2−5a+a+12516+165a2−10a+2516+2a
=4a2−12a+1258
=4(a−32)2+538，
∵4>0，
∴当a=32时，l最短，最短为538，
80000×538=530000(元)，
∴当OA=AB=32时，造价最低，最低造价为530000元．
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)先求出P，G坐标，再求出PG长度，通过抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，平移长度为PG+GK，可得抛物线K→H→Q解析式，可得结论；
(3)先设出A，B横坐标，再代入解析式，分别求出M，N的纵坐标，然后求出AM，CM，BN，DN之和的最小值，从而求出最低造价．
本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用抛物线的性质解决实际问题．x
…
−1
2
5
6
…
y
…
5
−5
0
5
…
抽检件数(件)
10
100
200
500
1000
正品件数(件)
10
97
194
475
950
抽取件数
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
42
88
141
176
445
724
901
合格频率
0.84
a
0.94
0.88
0.89
0.91
b
x
−1
0
1
2
3
y
3
0
−1
0
3