2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）竞赛数学试卷（12月份）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）竞赛数学试卷（12月份），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若＝＝≠0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝ADB．BC＝CDC．D．∠BCA＝∠DCA
4．（3分）小惠将一根绳子进行黄金分割，分割后较短绳子的长度（3﹣）米，则这根绳子的总长度为（ ）
A．1米B．1.5米C．2米D．4米
5．（3分）若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
6．（3分）如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）已知函数y＝mx2﹣2mx﹣1（m是常数，且≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当m＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
B．当m＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
C．若m＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
D．若m＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
8．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的长为（ ）
A．m•tanα•csαB．
C．D．
10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y
11．（3分）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
12．（3分）如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．若AC＝BD．则EC的长为（ ）
A．B．1C．D．
13．（3分）如图，△ABC中，D为边AB上一点，E是CD的中点，且∠ACD＝∠ABE．已知AC＝2，设AB＝x，AD＝y，则y与x满足的关系式为（ ）
A．xy＝4B．2xy﹣y2＝4
C．xy﹣y2＝4D．x2+xy﹣2y2＝4
14．（3分）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．（3分）设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（ ）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1
B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1
D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
二、填空题（共15小题，每小题4分，共60分）
16．（4分）若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣1上，则y1 y2（填“＞”，”＝”或“＜”）．
17．（4分）计算tan60°+2sin45°﹣2cs30°的结果是 ．
18．（4分）已知扇形的圆心角为150°，半径为3cm，则扇形的面积是 cm2．
19．（4分）如图，在△ABC中，F是AC上的点，且AF：FC＝2：3，G为BF的中点，AG的延长线交BC于E，则BE：EC＝ ．
20．（4分）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．若记四边形DBFE的面积为S，△EFC的面积为S1，△ADE的面积为S2，当S1＝36，S2＝4时，S＝ ．
21．（4分）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为x dm，左右边框的宽度都为y dm、若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 ．
22．（4分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点A（2，m）．当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m，则a的值为 ．
23．（4分）如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若△ABC的顶点均是格点，则cs∠CBA的值是 ．
24．（4分）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC、BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CD＝ ．
25．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆滑行到停止，最后4s滑行的路程 m．
26．（4分）如图，在△ABC中，AB＝，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧．交CB于点D，交CA于点E，连接DE；②以点B为圆心，以CD长为半径作弧，交BA于点F；③以点F为圆心，以DE的长为半径作弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G；④连接BG并延长交AC于点H．若H恰好为AC的中点，则AC的长为 ．
27．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
28．（4分）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧BC沿着直线CB折叠交弦AB于点D．BD＝9，AD＝6，则的长为 ．
29．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，①abc＜0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＞0；④a；⑤a+c＜1；正确的 ．
30．（4分）如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，点M为劣弧AC上的一个动点，连接OM，以点O为旋转中心，将线段OM逆时针旋转60°得到线段ON，连接MN，得到△OMN，点H为△MON的外心．
（1）连接MH，NH，则∠MHN＝ ；
（2）若正六边形ABCDEF的周长为，当点M从点A运动到点C时，外心H所经过的路径长为 ．
三、解答题（共1小题，共15分）
31．（15分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a＜0）．
（1）若它的图象经过点A（﹣1，1），求a，b满足的关系式；
（2）在（1）的条件下，当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若它的图象经过点（m﹣4，p），（6，q），（m，p），且p＞q＞3，请直接写出m的取值范围．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）竞赛数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有15个小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选
1．【分析】设＝＝＝k，得出x＝3k，y＝4k，z＝6k，再代入求出答案即可．
【解答】解：设＝＝＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
所以＝＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．
2．【分析】由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变．
【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．
3．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比可知，较长线段是全长的，列式计算即可．
【解答】解：设线段的全长为x，
由题意得，x﹣x＝3﹣
解得，x＝2
故选：C．
【点评】本题考查的黄金分割的概念，是把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
5．【分析】根据P点坐标和勾股定理可计算出OP的长，然后判断出OP与⊙P的半径的大小关系，即可得出结论．
【解答】解：∵圆心P的坐标为（5，12 ），
∴OP＝＝13，
∵⊙P的半径为13，
∴OP＝r，
∴原点O在⊙P上．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
6．【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：A、D、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项A、D不符合题意；
B、因为＝，且γ＝γ，则可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项B不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
7．【分析】根据Δ＝b2﹣4ac进行判断则可判断A；把m＝1，x＝﹣1代入求得函数值，即可判断B，求得对称轴为x＝1，根据二次函数的性质即可判断C、D．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝4m2+4m，
当m＝﹣2时，4m2+4m＝4×4+4×（﹣2）＝8＞0，
∴图象与x轴的交点有2个，故A错误；
∵当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣1，
把x＝﹣1代入得y＝2，
∴函数图象过点（﹣1，2），故B错误；
∵y＝mx2﹣2mx﹣1＝m（x﹣1）2﹣m﹣1，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴若m＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，若m＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，
故C正确，D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及根的判别式，解题的关键是根据对称轴公式求得对称轴．
8．【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从而可得∠AOC＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，
由题意得：OA2＝12+22＝5，
OC2＝12+22＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°，
∵AO＝OC＝，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积
＝﹣OA•OC﹣AB•1
＝﹣××﹣×2×1
＝﹣﹣1
＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．【分析】先用含m和α的三角函数值表示出CD，通过角相等，它们的三角函数值也相等，可以解答本题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，AD＝m，∠A＝α，
∴tanα＝＝，
∴CD＝m•tanα，
∵∠ACB＝∠A+∠B＝90°，∠BDC＝∠B+∠BCD＝90°，∠A＝α，
∴∠BCD＝α，
∴cs∠BCD＝＝，
即cs＝，
∴BC＝．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确各个三角函数值的意义，利用转化的思想找到所求问题需要的条件．
10．【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠B，根据平行线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BC，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝x°，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA＝x°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，
∴x+y＝90，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．
11．【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
12．【分析】连结AD、OC，由OD⊥AC于点F，根据垂径定理得AF＝CF，＝，由AC＝BD，得＝，可证明＝＝，则∠AOD＝60°，所以△AOD是等边三角形，则AD＝OD＝2，DF＝OF＝OD＝1，由勾股定理得AF＝CF＝＝，再证明△DFE∽△AFD，得＝，则EF＝＝，即可求得EC＝CF﹣EF＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：连结AD、OC，
∵OD⊥AC于点F，
∴AF＝CF，＝，
∵AC＝BD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝×180°＝60°，
∵AB是⊙O的直径，AB＝4，
∴OD＝OA＝OB＝AB＝×4＝2，∠ADB＝90°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝2，DF＝OF＝OD＝×2＝1，
∴AF＝CF＝＝＝，
∵∠DFE＝∠AFD＝90°，∠EDF＝∠DAF＝90°﹣∠ADF，
∴△DFE∽△AFD，
∴＝，
∴EF＝＝＝，
∴EC＝CF﹣EF＝﹣＝，
故选：C．
【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∠AOD＝60°是解题的关键．
13．【分析】过C作CF∥EB交AB的延长线于F，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF＝BD，∠F＝∠ABE，而∠ACD＝∠ABE，
∴∠ACD＝∠F，
∴在△AFC和△ACD中，
∠ACD＝∠F，∠A＝∠A，
∴△AFC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AD•AF，
又∵BE∥CF，DE＝CE，
∴DB＝BF＝x﹣y，
∴22＝y（2x﹣y），
∴2xy﹣y2＝4，
解法二：可以过E点作AC的平行线EG，利用三角形BEG相似与三角形CDA相似得出关系式．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等难度的题目．
14．【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：∵F为的中点，
∴＝，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴＝，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴+＝+＝+＝+，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
15．【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x＝b与二次函数图象的交点进行判断即可．
【解答】解：如图所示，
A．由图象可知，若b＜a1＜a2＜a3，当x＝b时，c1＜c2＜c3，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，若a1＜b＜a2＜a3，，当x＝b时，c1＜c2＜c3不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，若a1＜a2＜b＜a3，当x＝b时，c3＜c2＜c1不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，若a1＜a2＜a3＜b，当x＝b时，c3＜c2＜c1，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（共15小题，每小题4分，共60分）
16．【分析】分别求出点A和点B的纵坐标即可．
【解答】解：将x＝﹣1代入y＝x2﹣1得，
，
将x＝3代入y＝x2﹣1得，
，
显然0＜8，
即y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将A，B两点横坐标代入解析式求得纵坐标是解题的关键．
17．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝+﹣＝．
故答案为：．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
18．【分析】利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：扇形的面积＝＝（cm2）．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝．
19．【分析】过点F作FH∥AE，交BC于点H，根据平行线分线段成比例定理得到＝，＝，得到BE＝EH，EH：HC＝2：3，计算即可．
【解答】解：如图，过点F作FH∥AE，交BC于点H，
则＝，＝，
∵G为BF的中点，AF：FC＝2：3，
∴BE＝EH，EH：HC＝2：3，
∴BE：EC＝2：5，
故答案为：2：5．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
20．【分析】由平行线的性质得到∠AED＝∠C，∠A＝∠CEF，推出△ADE∽△EFC，于是得到＝＝，求出＝，得到＝，由△ADE∽△ABC，推出＝＝，而S△ADE＝4，即可求出S△ABC＝64，得到S＝S△ABC﹣S1﹣S2＝24．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB交BC于点F，
∴∠AED＝∠C，∠A＝∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵S△ADE＝4，
∴S△ABC＝64，
∴S＝S△ABC﹣S1﹣S2＝64﹣4﹣36＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积，关键是由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的值，进一步求出△ABC的面积，即可解决问题．
21．【分析】分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．
【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，
∴＝，
可得3x＝2y，
当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，
∴，
可得2x＝3y﹣10．
∴x，y应符合的条件是3x＝2y或2x＝3y﹣10．
故答案为：3x＝2y或2x＝3y﹣10．
【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．【分析】由“当x≤1时，y⩾m+1”得函数开口向上，且当x＝1时，y＝m+1，由“当x＞1时，y⩾m”得函数的对称轴为直线x＝2，然后将点（2，m），（1，m+1）代入函数解析式求得a的值．
【解答】解：∵当x≤1时，y⩾m+1，
∴函数开口向上，且当x＝1时，y＝m+1，
∵当x＞1时，y⩾m，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
将点（2，m），（1，m+1）代入函数y＝ax2+bx+c，得：
，
解得：a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数的性质得到二次函数的对称轴为直线x＝2．
23．【分析】过C作CH⊥AB于H，由勾股定理求出AC＝，BC＝，AB＝5，设BH＝x，则AH＝5﹣x，由勾股定理得到﹣x2＝﹣（5﹣x）2，求出x＝3，即可求出cs∠CBA＝＝．
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝5，
设BH＝x，则AH＝5﹣x，
∵CH2＝BC2﹣BH2＝AC2﹣AH2，
∴﹣x2＝﹣（5﹣x）2，
∴x＝3，
∴cs∠CBA＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CH⊥AB于H，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于x的方程．
24．【分析】如图，过点C作CT⊥AD交AD的延长线于点T，连接BC．利用勾股定理求出AB，AC，BC，再证明DT＝CT，设DT＝CT＝x，则CD＝x，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥AD交AD的延长线于点T，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵AD＝1，BD＝7，
∴AB＝＝＝5，
∵C使得半圆的中点，
∴＝，
∴AC＝BC＝AB＝5，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∵∠CDT+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠CDT＝∠ABC＝45°，
∴DT＝CT，
设DT＝CT＝x，则CD＝x，
在Rt△ACT中，AT2+CT2＝AC2，
∴（x+1）2+x2＝52，
∴x2+x﹣12＝0，
解得x＝3或﹣4（舍去），
∴CD＝x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
25．【分析】由于飞机着陆，当S取得最大值时，滑行停止，由此求得t的取值范围，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
【解答】解：当S取得最大值时，飞机停下来，
则S＝26t﹣t2＝﹣（t﹣26）2+338，
此时t＝26，飞机着陆后滑行338米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤26，
最后4秒是t＝22至t＝26，
当t＝22时，S＝330，
338﹣330＝8（米）
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的实际运用，理解题意，灵活运用二次函数最值是解题关键．
26．【分析】连接FG，先证明△BFG≌△CDE（SSS）得到∠ABH＝∠ACB，进一步证明△ABH∽△ACB得到，再由H是AC中点，得到AC＝2AH，即可得到答案．
【解答】解：如图，连接FG，
由题意得BF＝BG＝CD＝CE，FG＝DE，
∴△NFG≌CDE（SSS），
由作图即可得，∠ABH＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABH∽△ACB，
∴，
∵H是AC的中点，
∴AC＝2AH，
∴2AH2＝AB2＝（）2，
∴AH＝，
∴AC＝2AH＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考察了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，证明三角形全等以及三角形相似是解题关键．
27．【分析】连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，根据圆周角定理得到∠EOF＝120°，再计算出EF＝OE，则OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到AD的长度最小值为AN的长，接着计算出AN＝，从而得到OE的最小值为，然后确定EF长度的最小值．
【解答】解：连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，
∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
而OE＝OF，OM⊥EF，
∴∠OEM＝30°，EM＝FM，
在Rt△OEM中，OM＝OE，
EM＝OE，
∴EF＝2EM＝OE，
当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，
即AD的长最小，
∵AD的长度最小值为AN的长，
而AN＝AB＝，
∴OE的最小值为，
∴EF长度的最小值为×＝．
故答案为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形．
28．【分析】取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作CF⊥AD于F点，根据四边形ABEC内接于⊙O，有∠A+∠E＝180°，根据折叠的性质有：∠BEC＝∠BDC，可证明∠A＝∠ADC，即△ACD是等腰三角形，则有AF＝FD＝AD＝3，进而有BF＝BD+DF＝12，再解直角三角形求得CF，然后利用勾股定理求得AC，易证得△AOC是等边三角形，得到OA＝OC＝AC＝，然后利用弧长公式求得即可．
【解答】解：取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作CF⊥AD于F点，如图，
∵四边形ABEC内接于⊙O，
∴∠A+∠E＝180°，
∵点D在⊙O上的对应点为点E，
∴根据折叠的性质有：∠BEC＝∠BDC，
∵∠BDC+∠CDA＝180°，
∴∠E+∠CDA＝180°，
∵∠A+∠E＝180°，
∴∠A＝∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵CF⊥AD，AD＝6，
∴AF＝FD＝AD＝3，
∵BD＝9，
∴BF＝BD+DF＝12，
∵CF⊥AD，
∴△CFB是直角三角形，
∵∠ABC＝30°，
在Rt△CFB中，CF＝BF＝4，
在Rt△AFC中，AC＝＝＝，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝，
∴的长为：＝π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到∠A＝∠ADC是解答本题的关键．
29．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①因为抛物线开口向上，可知a＞0，
对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0，
抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，
∴abc＜0，
故①正确，符合题意；
②抛物线和x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，
故②正确，符合题意；
③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c＜0，
故③错误，不符合题意；
④因为对称轴x＝﹣介于﹣1与0之间，
因此﹣＞﹣1，得2a＞b，而b＞1，
∴a＞，
因此④正确，符合题意；
⑤当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
又∵a+b+c＝2，
∴b＝2﹣a﹣c，
∴a+c＜1，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握函数的图象与系数的关系、二次函数与方程之间的转换，根的判别式是解题的关键．
30．【分析】（1）点H为△MON的外心，∠MON＝60°，根据圆周角定理，∠MHN＝2∠MON；
（2）点M从点A运动到点C，即等边三角形MON旋转120°，故H点伴随着△MON绕着点O旋转120°，求得OH，可得外心H所经过的路径长．
【解答】解：（1）∵点H为△MON的外心，∠MON＝60°，
∴∠MHN＝120°，
故答案为：120°；
（2）∵正六边形ABCDEF的周长为，
∴正六边形ABCDEF的边长为2，
点M从点A运动到点C，则点N伴随着点M从点B运动到点D，
∵OM＝ON，∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形，
MN＝OM＝ON＝2，
∴△MON旋转了120°，点H伴随着△MON绕着点O旋转了120°，
连接OH并延长，交MN于P，
，
∵点H为△MON的外心，
∴OP垂直平分MN，
OP＝＝3，
∵HP＝，NH+HP＝3，
∴HP＝1，OH＝2，
外心H所经过的路径长＝×π×2＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理、三角形的外心，关键是掌握并运用圆周角定理、三角形的外心的性质．
三、解答题（共1小题，共15分）
31．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，则抛物线的对称轴在x＝2的右侧，即﹣≥2且a﹣b＝﹣2，即可求解；
（3）当（0，3），（6，q）在对称轴直线x＝m﹣2的左侧，又由题意，（m﹣4，p）也在左侧，p＞q＞3，则m﹣4＞6，即可求解；②（0，3），（6，q）在对称轴直线x＝m﹣2的两侧，同理可解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：a﹣b+3＝1，
即a﹣b＝﹣2；
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
则抛物线的对称轴在x＝2的右侧，
即﹣≥2且a﹣b＝﹣2，
解得：﹣≤a＜0；
（3）由题意，二次函数过点（m﹣4，p），（m，p），
∴对称轴是直线x＝（m﹣4+m）＝m﹣2．
当x＝0时，y＝3，
∴二次函数图象过（0，3）．
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴直线右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧是y随x的增大而增大．
∵图象过（0，3），（6，q），
0＜6，而3＜q，
∴（0，3），（6，q）在对称轴直线x＝m﹣2的左侧或两侧．
①当（0，3），（6，q）在对称轴直线x＝m﹣2的左侧，
又由题意，（m﹣4，p）也在左侧，p＞q＞3，
∴m﹣4＞6．
∴m＞10．
②（0，3），（6，q）在对称轴直线x＝m﹣2的两侧，
∴（0，3）在左侧，（6，q）在右侧．
∵p＞q＞3，
∴m﹣（m﹣2）＞6﹣（m﹣2）＞m﹣2．
∴5＜m＜6．
综上，5＜m＜6或m＞10．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键．