2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）第四次月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）第四次月考数学试卷（12月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A. y=3x−1B. y=1x2C. y=3x2+x−1D. y=2x2+1x
2.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
3.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB=2，AC′=5，则B′C的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.将抛物线y=−2(x−1)2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是( )
A. y=−2(x−4)2−1B. y=−2(x+2)2+1
C. y=−2(x+2)2+5D. y=−2(x−4)2+5
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=29°，BC=8，则AB为( )
A. 8sin29∘
B. 8sin29°
C. 8tan29∘
D. 8tan29°
6.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是( )
A. CA平分∠BCD
B. ∠DAC=∠ABC
C. ACBC=CDAC
D. ADAB=CDAC
7.在△ABC中，若|sinA−12|+( 32−csB)2=0，则∠C为( )
A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°
8.关于二次函数y=2x2+4x+1，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 图象不经过第四象限
C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. 图象的对称轴在y轴的右侧
9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE/​/AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△ACD=( )
A. 1：5B. 1：9C. 1：10D. 1：12
10.如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE=2，⊙O的直径为10，则AC长为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是______ ．
12.若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是______ ．
13.抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，则k的取值范围是______．
14.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16cm，CD=10cm，则四边形的周长为______ ．
15.如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为______ ．
16.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB两侧，DE⊥AB于点H交线段AC于E.若CB=CE，AD=5，csB=35，则AHAB= ______ ，AB= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)已知线段a=2，b=9，求线段a，b的比例中项．
(2)已知x：y=4：3，求y−xy的值．
18.(本小题6分)
如图，在梯形ABCD中，DC/​/AB，AD=BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
(1)求证：△ABF∽△ECF；
(2)如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，sinC= 22，tanB=12，AD=2．
(1)求cs∠BAD的值；
(2)求△ABC的面积．
20.(本小题8分)
如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−1,−10)，运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为(34,916)，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
21.(本小题8分)
如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F．
(1)求证：FC是⊙O的切线；
(2)若BD=4，2EF=3BE.求BF的长和⊙O的半径．
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x−a−1)(x+a−1)+a，
(1)当a=1时，求抛物线与x轴交点坐标；
(2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
(3)若点A(n,y1)，点B(n−3,y2)在抛物线上，且y123.(本小题10分)
如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C(圆心O在△ABC内)，分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F．
(1)求证：BD=BE；
(2)当AF：EF=4：3，AC=8时，求AE的长．
(3)设AFEF=32，请直接写出∠DAE的正切值．
24.(本小题12分)
(1)证明推断：如图(1)，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE.求证：AE=FG；
(2)类比探究：如图(2)，在矩形ABCD中，BCAB=k(K为常数)将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：⋅在(2)的条件下，连接CP，当时k=34，若tan∠CGP=43，GF=2 5，求CP的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.y=3x−1是一次函数，不符合题意；
B.y=1x2中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
C.y=3x2+x−1是二次函数，符合题意；
D.y=2x2+1x中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数求解可得．
本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
2.【答案】D
【解析】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴OP<5．
故选：D．
根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d3.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，
∴AB=AB′，AC=AC′，
∵AB=2，AC′=5，B′C=AC−AB′=5−2=3，
故选：B．
由旋转的性质可得AB=AB′=2，AC=AC′=5，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：将将抛物线y=−2(x−1)2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是y=−2(x−1+3)2+3+2，即y=−2(x+2)2+5．
故选：C．
按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=29°，BC=8，
∴sinA=BCAB=8AB，
∴AB=8sin29∘，
故选：A．
在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠ABC或CA是∠BCD的平分线；
②ADAB=DCAC；
故选：C．
已知∠ADC=∠BAC，则A、D选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；B选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得：
sinA−12=0， 32−csB=0，
∴sinA=12，csB= 32，
∴∠A=30°，∠B=30°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=120°，
故选：A．
根据绝对值和偶次方的非负性可得，sinA−12=0， 32−csB=0，从而求出∠A=30°，∠B=30°，然后根据三角形的内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性，以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：y=2x2+4x+1=2(x2+2x+1−1)+1=2(x+1)2−1，
A、∵a=2，∴抛物线开口向上，原说法错误，不符合题意；
B、由函数解析式可知，抛物线开口向上，顶点坐标为(−1,−1)，当x=0时，y=1，
∴图象不经过第四象限，正确，符合题意；
C、∵抛物线开口向上，顶点坐标为(−1,−1)，
∴当x<−1时，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴方程为直线x=−1，
∴图象的对称轴在y轴的左侧，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
先把二次函数的解析式化为顶点式的形式，求出其顶点坐标及对称轴方程，进而可得出结论．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴BECE=13，
∴BEBC=14，
∵DE/​/AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：16，
∴S△ACD=16a−a−3a=12a，
∴S△BDE：S△ACD=a：12a=1：12．
故选：D．
设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为3a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出BECE，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接OF，如图：
∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE=EF，AD=AF，
∵D为弧AC的中点，
∴AD=DC，
∴ADC=DAF，
∴AC=DF，
∵⊙O的直径为10，
∴OF=OA=5，
∵AE=2，
∴OE=OA−AE=5−2=3，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF= OF2−OE2= 52−32=4，
∴DE=EF=4，
∴AC=DF=DE+EF=4+4=8，
故选：D．
根据垂径定理求出DE=EF，AD=AF，求出ADC=DAF，求出AC=DF，求出EF的长，再求出DF长，即可求出答案．
本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解此题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．
11.【答案】10
【解析】解：正多边形的边数是：360°÷36°=10．
故答案为：10．
正多边形的一个外角为36°，且每个外角都相等，根据多边形外角和为360°，可直接求出边数．
此题考查正多边形的外角和，解题关键是正多边形的边数为360°一个外角．
12.【答案】6
【解析】解：根据扇形面积s=12lr，得
12×4π×r=12π
解得r=6．
故答案为：6．
根据扇形面积s=12lr计算．
此题主要考查了扇形面积=12lr及其应用，比较简单．
13.【答案】k≤54且k≠1
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点个数问题，通常是将其转化为求关于x的一元二次方程的根的个数问题．解题的关键是掌握根的判别式．
直接利用根的判别式得到b2−4ac=(−1)2−4×(k−1)×1≥0，再利用二次函数的定义得到k−1≠0，再解两个不等式即可得到k的取值范围．
【解答】
解：∵抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，
∴b2−4ac=(−1)2−4×(k−1)×1≥0，解得k≤54，
又∵k−1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤54且k≠1；
故答案为：k≤54且k≠1．
14.【答案】52cm
【解析】解：设四边形ABCD的内切圆圆心为O，⊙O与AB、BC、CD、AD分别相切于点E、F、G、H，
∵AH=AE，BF=BE，DH=DG，CF=CG，AB=16cm，CD=10cm，
∴AD+BC=AH+BF+DH+CF=AE+BE+DG+CG=AB+CD=16+10=26(cm)，
∴AB+CD+AD+BC=26+26=52(cm)，
∴四边形ABCD的周长为52cm，
故答案为：52cm．
设四边形ABCD的内切圆圆心为O，⊙O与AB、BC、CD、AD分别相切于点E、F、G、H，由切线长定理得AH=AE，BF=BE，DH=DG，CF=CG，所以AD+BC=AH+BF+DH+CF=AE+BE+DG+CG=AB+CD=26cm，即可求得四边形ABCD的周长为52cm，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线长定理、四边形的周长等知识，证明AD+BC=AB+CD是解题的关键．
15.【答案】2 1313
【解析】解：如图所示，连接AD，
∵AB2=12+52=26，AD2=22+22=8，BD2=32+32=18，
∴AD2+BD2=8+18=26=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AD= 22+22=2 2，AB= 12+52= 26，
∴sinB=ADAB=2 2 26=2 1313．
故答案为：2 1313．
连接AD，根据勾股定理得到AD⊥BC，然后利用勾股定理求出AD= 22+22=2 2，AB= 12+52= 26，然后利用sinB=ADAB代入求解即可．
本题考查勾股定理，求角的正弦值，解题的关键是正确作出辅助线．
16.【答案】425 252
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，csB=35，
∴BCAB=35，
设BC=3x，则AB=5x，
∴AC=4x，
∵CB=CE=3x，
∴AE=x，
∵DE⊥AB，
∴∠AHE=∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠HAE，
∴△AEH∽△ABC，
∴AEAB=AHAC，
解得AH=45x，
∴AHAB=45x5x=425，
连接BD，如图：
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠AHD=90°，
∵∠BAD=∠DAH，
∴△ADH∽△ABD，
∴ADAB=AHAD，
∴AD2=AH⋅AB，
∵AD=5，
∴5x⋅45x=25，解得x=52(负根舍去)，
∴AB=5x=5×52=252．
故答案为：425，252．
由直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，由csB=35，设BC=3x，则AB=5x，AC=4x，进而求出AE=x，证明△AEH∽△ABC，求解AH=45x，即可求解；连接BD，证明△ADH∽△ABD，可得AD2=AH⋅AB，而AD=5，从而可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识并灵活应用是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a=2，b=9，
∴2：x=x : 9，
∴x2=2×9=18，
x=±3 2(负值舍去)．
∴线段a，b的比例中项是3 2．
(2)∵x：y=4：3，
∴设x=4k，y=3k(k≠0)，
∴y−xy=3k−4k3k=−13．
【解析】(1)设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
(2)设x=4k，y=3k，代入计算，于是得到结论．
本题考查了比例的性质，比例中项，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵DC//AB，
∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，
∴△ABF∽△ECF．
(2)∵AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，
∴BF=3cm．
∵由(1)知，△ABF∽△ECF，
∴BACE=BFCF，即8CE=32．
∴CE=163(cm)
【解析】(1)根据相似三角形的判定即可求出答案．
(2)根据相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和与判定，本题属于基础题型．
19.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，tanB=ADBD=12，AD=2，
∴BD=4．
∴AB= AD2+BD2=2 5，
∴cs∠BAD=ADAB= 55；
(2)∵sinC= 22，
∴∠C=45°．
∵tanC=ADCD=1，AD=2，
∴CD=2，
∴BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=12×AD×BC=6．
【解析】(1)在Rt△ABD中，根据tanB=ADBD=12，可得BD=4，再由勾股定理可得AB=2 5，即可求解；
(2)根据sinC= 22，可得∠C=45°，从而得到CD=2，进而得到BC=BD+CD=6，再由三角形面积公式，即可求解．
本题考查了解直角三角形以及三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
20.【答案】解：∵运动员在空中最高处A点的坐标为(34,916)，
∴A点为抛物线的顶点，
∴设该抛物线的解析式为y=a(x−34)2+916，
∵该抛物线经过点(0,0)，
∴916a=−916，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x−34)2+916=−x2+32x.
∵跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，
∴令y=−10，则−x2+32x=−10，
∴x=4或x=−52，
∴B(4,−10)；
(2)该运动员此次跳水不会失误，理由：
∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，点E的坐标为(−1,−10)，
∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3，
当x=3时，y=−32+3×32=−92，
∴运动员距水面高度为10−92=5.5(米)，
∵5.5>5，
∴该运动员此次跳水不会失误．
【解析】(1)利用待定系数法求得抛物线的解析式，令y=−10，解方程即可求得点B的坐标；
(2)利用二次函数的解析式求得x=3时的y值，依据题意求得运动员此时距水面高度，通过比较与5米的大小即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用：利用二次函数关系式表示实际生活中的数量关系，然后利用二次函数的性质解决实际问题．也考查了一次函数的应用以及分类讨论思想的应用．
21.【答案】(1)证明：连接OC，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠CBE+∠OBC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCD=90°，
∵E是BD中点，
∴BE=CE，
∴∠BCE=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCE+∠OCB=90°，
∴∠OCE=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴FC是⊙O的切线；
(2)解：∵BD=4，∠BCD=90°，点E是BD中点，
∴BE=CE=12BD=2，
∵2EF=3BE，
∴EF=3，
在Rt△FBE中，BF= EF2−BE2= 5，
由(1)得∠OCF=∠ABD=90°，
设OC=x，则OF=BF−OB= 5−x，
∵OF2−OC2=FC2，
∴( 5−x)2−x2=12，
解得：x=2 55，
∴⊙O的半径为2 55．
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质得到∠ABD=90°，根据直角三角形的性质得到BE=CE，求得∠BCE=∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，求得∠OCE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据直角三角形的性质得到BE=CE=12BD=2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的计算，三角形外接圆与外心，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)a=1时，y=x(x−2)+1=x2−2x+1=(x−1)2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)．
(2)∵y=(x−a−1)(x+a−1)+a，
抛物线经过(a+1,a)，(1−a,a)，
∴抛物线的对称轴为直线x=a+1+1−a2=1，
将x=1代入y=(x−a−1)(x+a−1)+a得y=(1−a−1)(1+a−1)+a=−a2+a=−(a−12)2+14，
∴抛物线顶点纵坐标为−(a−12)2+14，其最大值为14．
(3)由(2)可知，抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∵n>n−3，y1∴y随n的增大而减小，
点A(n,y1)，点B(n−3,y2)都在对称轴左侧，
∴n<1，
当点A(n,y1)在对称轴右侧，点B(n−3,y2)在对称轴左侧时，
52>n≥1，
综上分析n<1或52>n≥1．
【解析】(1)将a=1代入函数解析式求解．
(2)由抛物线的解析式可得抛物线经过(a+1,a)，(1−a,a)，根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，进而求解．
(3)由(2)可知，抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，根据抛物线的增减性质解答即可．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°，
∴∠DEB=∠D，
∴BD=BE；
(2)解：如图1，过点A作AG⊥BC于点G，

∵△ABC是等边三角形，AC=8，
∴BG=CG12BC=12AC=4，∠BAG=∠CAG=30°，
∴AG= 3BG=4 3，
∵BF⊥EC，
∴BF//AG，
∴AFEF=BGBE，
∵AF：EF=4：3，
∴BE=43BG=3，
∴EG=BE+BG=3+4=7，
在Rt△AEG中，AE= AG2+EG2= 48+49= 97；
(3)解：如图2，过点E作EH⊥AD于点H，

∵∠EBD=∠ABC=60°，
∴sin∠EBD=EHBE= 32，
∴EH= 32BE，BH=12BE，
∵ BGBE=AFEF=32，
∴BG=32BE，
∴AB=BC=2BG=3BE，
∴AH=AB+BH=3BE+12BE=72BE，
在Rt△AHE中，tan∠EAD=EHAH= 32BE72BE= 37．
【解析】(1)根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
(2)过点A作AG⊥BC于点G，根据等边三角形的性质求出AG，BG的长，在直角三角形AEG中利用勾股定理解得即可；
(3)过点E作EH⊥AD于点H，由锐角三角函数求出AH的长，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD=90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠QAO=∠ADO，
∴△ABE≌△DAQ(ASA)，
∴AE=DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ//GF，
∵FQ/​/DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF=DQ，
∵AE=DQ，
∴AE=FG；
(2)结论：GFAE=k.理由如下：
如图2中，过G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥GF，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴GFAE=GMAB，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM=AD，
∴GFAE=ADAB=BCAB=k；
(3)如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M．
∵FB/​/GC，FE/​/GP，
∴∠CGP=∠BFE，
∴tan∠CGP=tan∠BFE=43=BEBF，
∴可以假设BE=4t，BF=3t，EF=AF=5t，
∵FGAE=34，FG=2 5，
∴AE=8 53，
∴(4t)2+(8t)2=(8 53)2，
∴t=23或−23(舍弃)，
∴BE=83，AB=163，EF=AF=103，BF=2，
∵BC：AB=3：4，
∴BC=4，
∴CE=BC−BE=4−83=43，AD=PE=BC=4，
∵∠EBF=∠FEP=∠PME=90°，
∴∠FEB=∠EPM，
∴△FEB∽△EPM，
∴EFPE=BFEM=BEPM，
∴1034=2EM=83PM，
∴EM=125，PM=165，
∴CM=EM−CE=125−43=1615，
∴CP= CM2+PM2= (1615)2+(165)2=16 1015．
【解析】(1)先证△ABE≌△DAH，可得AE=DQ.再证四边形DQFG是平行四边形，即可解决问题．
(2)过G作GM⊥AB于M.证明△ABE∽△GMF，即可解决问题．
(3)过P作PM⊥BC交BC的延长线于M.利用相似三角形的性质求出PM，CM，即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．