河南省南阳市邓州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河南省南阳市邓州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在一个不透明的盒子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定到0.2附近，那么可以估算出m的值为（ ）
A．16B．20C．24D．30
4．关于方程的描述，下列说法错误的是（ ）
A．它是一元二次方程B．解方程时，方程两边先同时除以
C．它有两个不相等的实数根D．用因式分解法解此方程最适宜
5．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（ ）

A．三边成比例的两个三角形相似B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似D．平行线分线段成比例
6．在中，，，，则的度数（ ）
A． B．C．D．无法确定
7．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与轴没有交点
C．当时，y随x增大而增大D．图象的顶点坐标是
8．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

A．B．
C．D．
9．如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积随时间x（s）变化的关系图象，其中图象最高点的纵坐标是，则的长为（ ）
A．4cmB．C．8cmD．
二、填空题
11．已知，则的值为 ．
12．请在横线上填写一个恰当的整数，使方程 有两个不相等的实数根．
13．新高考“”选科模式是指除“语文、数学、外语”3门科目以外，学生应在2门首选科目“历史和物理”中选择1科，然后在4门再选科目“思想政治、地理、化学、生物”中选择2科．小刚同学从4门再选科目中随机选择2科，则恰好选中“思想政治和生物”的概率为 ．
14．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线（如图），点A在平移后的抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为 ．
15．在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．如图，为菱形的对角线，点在的延长线上，且．

(1)求证：；
(2)若点C是的中点，，求菱形的边长．
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
(1)画出关于轴的轴对称图形；
(2)以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且相似比为．并写出与的面积之比为 ；
(3)在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点的对应点的坐标为 ．
19．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β．
(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，）
20．某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为3m． 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最大高度为4m，如图所示．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线解析式（不必写出自变量取值范围）；
(2)张师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为处，通过计算说明身高的张师傅是否被淋湿？
(3)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的直径至少为多少时， 才能使喷出的水流都落在水池内？
21．“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段．某主播小红在直播间销售一种进价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系（注：在计算利润时，不考虑快递费用等其他因素）．
(1)设小红每天的销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式（要求函数关系式化为一般式，并写出自变量x的取值范围）；
(2)若小红每天想获得的销售利润w为750元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每天销售该商品获得利润最大，并求出最大销售利润．
22．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）利用图象法解上述材料中的方程，下列叙述错误的是（ ）
A．利用图象法解方程体现了数形结合思想
B．画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根
C．画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根
D．画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根
（2）请你利用图象法解方程，把函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并写出解方程的分析过程．
（3）若方程无实数根，从图形的角度看就是抛物线与直线 无交点，此时a的取值范围是 ；
（4）拓展迁移：方程的根的情况是 ．
23．综合与实践：
（１）问题发现：如图，在中，，是外角的平分线，则与的位置关系如何，并加以证明．
（2）问题解决：如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，求和线段的值．
（3）拓展迁移：如图，正方形的边长为10，是边上一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点、（点在点上方），若，请直接写出的长为 ．
利用图象法解一元二次方程
数学活动课上，王老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一
次方程，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解一元二次方程呢？
例如，解方程： ．
王老师倡导同学们以小组为单位进行合作探究，同学们经过几分钟热烈的讨论交流，
智慧小组率先展示了他们的方法：将方程进一步变形为，如图1，画出二次函数的图象，发现抛物线与x轴的相交于和两点，当或时，此时，所以，即，所以此方程的解为，．
善思小组受智慧小组的启发，展示了他们的方法：画出二次函数的图象和直线．如图2所示，它们相交于和两点，当或时，此时，即，所以此方程的解为，．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；据此判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意．
故选：A．
2．C
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质以及二次根式的除法法则即可求解．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了次根式的加减、二次根式的性质、二次根式的除法，掌握相关的运算法则是解题的关键．
3．D
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【详解】∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定到0.2附近，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2，
∴，
解得，
经检验：是原方程的解，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：、方程整理得为，
故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；
、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，
故该说法错误，符合题意；
、由得：
，
故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；
、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；
故选：．
5．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据题意可得，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证得，得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∴，，
∴若量得的长度，便可知的长度．
故选：C
6．B
【分析】本题考查了解直角三角形，正确画出图形，熟记各个特殊角度的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，顶点坐标，增减性等知识是解题的关键．
根据二次函数图象的顶点式可得到图象的开口，顶点坐标，对称轴，及增减性，由此即可求解．
【详解】解：已知二次函数，
∴图象的开口向上，故选项错误，不符合题意；
图象的顶点坐标为，故选项正确，符合题意；
∵图象开口向上，顶点坐标在第三象限，
∴图象与轴有交点，故选项错误，不符合题意；
∵图象的对称轴为，开口向上，
∴当时，先随的增大而减少，再随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
故选：．
8．C
【分析】可借助平移性质得到小路的长为、宽为的矩形，再减去一个重叠的边长为的正方形的面积，列方程即可．
【详解】解：根据题意，小路的长为米、宽为米，
故所列方程为，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．
9．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可推出；得出，进而得，结合即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：轴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
即：
故选：A
10．B
【分析】本题主要考查函数图象与几何图象的综合，掌握含角的直角三角形的性质，从函数图象中获取信息，特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键．
根据题意，设，由含角的直角三角形的性质分别表示出的值，由此可表示的面积与的值，根据函数的最大值可求出的值，再根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：根据题意，设，，
∵，，
∴，，
∴，
根据图示，当点与点重合时，的值最大，最大值为，
∴，
解得，，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴，
故选：．
11．//
【分析】直接利用已知将原式变形得出，之间的关系进而得出答案．
【详解】解：，
，
则，
．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
12．0（答案不唯一，小于的整数均可）
【分析】本题考查了根的判别式，设常数项为c，利用根的判别式的意义得，解不等式得到c的范围，然后在c的范围内取一个具体的整数值即可．解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
【详解】解：设常数项为c，
关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
c为整数，
c可取0．
故答案为：0（答案不唯一，小于的整数均可）．
13．
【分析】本题考查了用列举法求概率，先列出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：在4门科目“思想政治、地理、化学、生物”中选择2科的所有等可能结果有：
“思想政治和地理、思想政治和化学、思想政治和生物、地理和化学、地理和生物、化学和生物”共6种结果，
其中选中思想政治和生物的结果数为1，
∴则恰好选中“思想政治和生物”的概率为，
故答案为：．
14．8
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，矩形的性质，根据平移的规律得到平移后的函数解析式，再根据矩形的性质得，由于的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，从而得到的最小值．
【详解】∵，
∴将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵四边形为矩形，
∴，
而轴，
∴的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8，
∴对角线的最小值为8．
故答案为：8．
15．或
【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据菱形的性质可计算出的长度，根据相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当点在上时；当点在上时；结合相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，连接，

∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，即，
在中，，，则，
①如图所示，当点在上时，当时，
∴，则，
∴；
②如图所示，当点在上时，当时，

连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形，
∴根据上述证明可得，点是的中点，且，
∴当时，点关于点对称，
∴，
∴点为的中点，且，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
16．（1）；（2）
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算以及一元二次方程的求解，注意计算的准确性即可．
（1），据此即可求解；
（2）利用配方法即可求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：移项得：
配方得：
即：
直接开平方得
∴．
17．(1)证明详见解析；
(2)．
【详解】（1）本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，
（1）根据四边形是菱形，得出，结合，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出的值．
解：∵四边形是菱形，

∴，
又，
∴，
∵为菱形的对角线，
∴，
∴
（2）∵C是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵．
∴
∴
∴
∴，即菱形的边长为
18．(1)作图见详解；
(2)作图见详解，
(3)
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的定义和作图，位似图形的定义及作图，位似比的性质等知识是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的定义和性质作图即可；
（2）根据位似图形的定义作图即可作图，再根据位似比的平方等于面积比即可求解；
（3）根据位似比的性质即可求解．
【详解】（1）解：关于轴的轴对称图形，作图如下，
∴即为所求图形；
（2）解：以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且相似比为，作图如下，
∴即为所求图形，
∵与位似，且相似比为，
∴，
∵与关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：根据题意，与的相似比为，
∵内一点的坐标为在第二象限，
∴，，
∵在第一象限，
∴，
故答案为：．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题考查余角关系、三角函数实际应用等知识点，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键．
（1）根据题意过点O向下的箭头延长与过点P的水平延长线相交，再利用互余关系即可解答；
（2）根据题意先求出，再利用三角函数列出等式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意知在中，，则，即．
故答案为．
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即，
解得：，
∴．
答：气球A离地面的高度是．
20．(1)；
(2)；
(3)6米．
【分析】本题考查了二次函数实际问题的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是本的解题关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为：， 再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）把代入函数解析式求解的值，再与比较即可得到答案；
（3）把令，得，，再解方程，结合题意可得答案．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
将代入得，，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，
所以，张师傅站在与池中心水平距离为处，能被淋湿．
（3）令，得，，
解得，（舍） ，
∴，
答：水池的直径至少要6米，才能使喷出的水流都落在水池内．
21．(1)
(2)25；
(3)销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据利润=数量乘以单件的利润即可；
（2）把代入（1）的解析式求解即可；
（3）化为顶点式，利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）由题意得：．
当时，，
∴，
∴；
（2）由题意，令，
∴，
解得：．
又∵尽可能地减少库存，
∴．
答：应将销售单价定为25元；
（3），
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为1000，
∴当销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元．
22．（1）C；（2）图见解析，分析过程详见解析；（3），；（4）有两个不相等的实数根．
【分析】本题考查了图象法解方程，本题的关键是熟悉二次函数图象的画法，通过数形结合思想，观察图象中交点的情况，得到方程的根的情况．
（1）C选项中，联立抛物线和直线，可得方程，整理得，不符合题目的方程，因此C错误；
（2）将方程变形为，如图，画出二次函数的图象，通过交点的坐标得到方程的解；
（3）画出二次函数的图象，观察图象可得若方程无实数根，即直线在直线的下方，即可得到结果；
（4）由，画出和得图象，通过观察交点的情况得到方程的根的情况．
【详解】解：（1）A选项，图象法是画出函数图象，通过交点的情况研究方程的解的情况，满足数形结合思想，因此A正确；
B选项，联立抛物线和直线，可得方程，整理得，符合题目的方程，因此B正确；
C选项，联立抛物线和直线，可得方程，整理得，不符合题目的方程，因此C错误；
D选项，联立抛物线和直线，可得方程，整理得，符合题目得方程，因此D正确；
故答案为：C；
（2）将方程变形为，如图，画出二次函数的图象，发现抛物线与轴交于和两点，则当或时，，
所以，即，
所以方程的解是，；
（3）如图，画出二次函数的图象，
通过图象可得若方程无实数根，得抛物线与直线无交点，由图象可知直线与抛物线有一个交点，得若方程无实数根，即直线在直线的下方，此时的范围是；
故答案为：，；
（4）当时，，当时，，
则，
即当时，，当，时，，
如图，画出和得图象，
由图象可得和有两个交点，
即有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
23．（1）ADBC，证明详见解析；（2），；（3）4或．
【分析】（1）利用三角形外角性质和平行线的判定即可；
（2）运用勾股定理可得，由折叠可得，，，进而可得；过点作于点，即可求得答案；
（3）分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别求出即可．
【详解】解：（1），理由如下：
，
，
是的外角，
，
是外角的平分线，
，
；
（2）点是的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
将沿直线翻折，点落在点处，
，，，
，
，
，
，
；
如图，过点作于点，
则，
在中
，
，，
；
（3）当点在边上时，如图，
四边形是边长为10的正方形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
设，则，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
当点在边上时，如图，延长交于点，
四边形是边长为10的正方形，
，，，
设，则，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
，，
，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
故答案为：4或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握折叠的性质是解题关键．