45，吉林省长春市长春汽车经济技术开发区实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份45，吉林省长春市长春汽车经济技术开发区实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列计算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则判断A；根据幂的乘方法则判断B；根据积的乘方法则判断C，根据同底数幂的除法法则判断D．
【详解】解：，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与除法法则、幂的乘方、积的乘方法则，熟练区分同底数幂的乘法与积的乘方法则是本题的关键．
2. 下列变形中，是因式分解且正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．根据因式分解的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、不能分解因式，不符合题意，选项错误；
B、，原因式分解正确，符合题意，选项正确；
C、，结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载D、，原因式分解错误，不符合题意，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的结果是整式的乘积的形式，且分解到不能再分解为止．
3. 如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．
【详解】解：如图所示，
右边阴影部分面积为：，
左边阴影部分面积为：，
由阴影部分面积相等可得：，
故选A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．
4. 若的两边长为和，则第三边长为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况考虑：若为直角边，可得出也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若为斜边，可得和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．
【详解】解：若为直角边，可得为直角边，第三边为斜边，
根据勾股定理得第三边为；
若为斜边，和第三边都为直角边，
根据勾股定理得第三边为，
则第三边长为或．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5. 如图，点B，E，C，F共线，，添加一个条件，不能得到的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定方法，结合图形和条件，逐一判断即可；
【详解】由得到，即,
A. ,又，得到，故本选项不符合题意；
B. ，又，得到，故本选项不符合题意；
C. ，又，，不能得到，故本选项符合题意；
D. 由得到，又，得到，故本选项不符合题意；
故选择：C.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
6. 如图，在中，，点D是边的中点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据等腰三角形三线合一性质得到，，然后由直角三角形两锐角互余得到，进而可求出的度数．
【详解】解：∵在中，，点是边的中点，
∴，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7. 如图，在RtABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD=5，AB=16，则ABD的面积是（ ）
A. 21B. 80C. 40D. 45
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DC=DH=5，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
由作法可知，AP平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH=5，
∴=•AB•DH=×16×5=40．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和作图－基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
8. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是尺，
由勾股定理得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 计算的结果等于____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用积的乘方进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方运算．熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
10. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
11. 命题“等边对等角”的逆命题是______（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】真命题
【解析】
【分析】本题考查了逆命题，判断真假命题，等腰三角形的性质与判定；先写出其逆命题，再判定即可．
【详解】解： “等边对等角”的逆命题是“等角对等边”，在同一个三角形内成立，故是真命题．
故答案为：真命题．
12. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是__________．
【答案】10
【解析】
【详解】2 cm为腰时，不构成三角形；4 cm为腰时，周长=4+4+2=10 cm.
13. 如图所示，矩形纸片中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据翻折不变性可知，设为，则得到为，于是可知；在中，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：由翻折的性质可知，，，
∵四边形是矩形，
∴，
，
，
，
设，则
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等，正确利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
14. 如图所示，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________．（取3）
【答案】10
【解析】
【分析】先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，求出后，利用勾股定理可求得的长．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，得到长方形，连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，B分别是，的中点．
∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，勾股定理的应用，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
三、计算题（15题每小题2分，16题每小题3分，共14分）
15. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）利用简便方法计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，多项式除以单项式，平方差公式的应用；
（1）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解；
（2）根据多项式乘以单项式进行计算即可求解；
（3）根据多项式除以单项式进行计算即可求解；
（4）根据平方差公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：；
【小问4详解】
解：．
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解；
（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）直接根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
四、解答题（共64分）
17. 作图题：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，连接，请完成下列作图．请按要求画出格点三角形．
（1）在图1中找一个格点C，使得是等腰三角形（作一个即可）；
（2）在图中2找一个格点D，使得是直角三角形且其三边都不与网格线重合．（作一个即可）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，等腰三角形的定义、直角三角形的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据等腰三角形的定义 画出图形；
（2）根据直角三角形的定义画出图形．
【小问1详解】
解：根据等腰三角形的定义画出图形，如图所示（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：根据直角三角形的定义画出图形，如图所示（答案不唯一）
．
18. 如图，点A、F、C、D在同一各直线上．AB∥DE．AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠D，求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵ABDE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
19. 如图，一艘小船停留在点A处，在离水面高度为8米的台阶上有一根绳子连接小船，用绳子拉小船移动到点D处，已知开始时绳子的长米，停止后绳子的长米，求小船移动的距离的长．
【答案】小船移动的距离的长为9米
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再利用勾股定理计算出BD长，最后利用AD=AB-BD可得AD长．
【详解】解：因为米，米，米，
所以在中，（米），
在中，（米），
所以（米），
答：小船移动的距离的长为9米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，6
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值；根据单项式乘以多项式，平方差公式以及完全平方公式进行计算，然后将字母的值代入，即可求解．
【详解】解：原式，
，
当，时，原式．
21. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式；
（2）解决问题：如果，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式及其变形．
由图可得，边长为的正方形面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积，据此式即可求解；
将完全平方公式变形成，将，代入即可求解；
设，，则长方形面积为，将和的值代入即可求解．．
【小问1详解】
解：由图得：边长为的正方形面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积，
即．
【小问2详解】
解：由得：，
，
又，，
．
【小问3详解】
解：设，，
即为，
则长方形面积为，
，
长方形面积为．
22. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片面积．
【答案】（1）A、C两点之间的距离为15cm；
（2）114（cm2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【小问1详解】
解：连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC．
即A、C两点之间的距离为15cm；
【小问2详解】
解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD面积＝S△ABC+S△ACD
=AB•BCAC•CD
=9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
23. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，直线、分别是边、的垂直平分线，直线、交于点，过点作于点．求证：．
（2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，，则的长为______．
【答案】定理证明：见解析；定理应用：（1）证明见解析；（2）9
【解析】
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识；
定理证明：根据垂直的定义可得，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出；
（1）如图，连结，根据垂直平分线性质可得，，即可得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得；
（2）如图，连接、，根据等腰三角形的性质可得出，根据垂直平分线的性质可得，，根据等腰三角形的性质及外角的性质可证明三角形是等边三角形，可得，即可得答案．
【详解】定理证明：
，
，
，
．
．
（1）如图，连结．
直线、分别是边的垂直平分线，
．
．
，
．
（2）如图，连接、，
，，
，
边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：
．
24. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
（1）AC的长为______．
（2）①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为______；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为______；
（3）当是直角三角形时，求t的值；
（4）在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值______．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）或
（4）或或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；
（1）在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①根据当点在的延长线上时，点运动的长度为：，即可求解．
②过点作于点，证明，设，则，在中，，得出，即可求解．
（3）当点与点重合时，，当时，设，根据等面积法求得，进而勾股定理，即可求解；
（4）分当作为底边时，当作为腰时，分别画出图形，求得的长，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
①∵已知点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
∴当点在的延长线上时，点运动的长度为：，
，
．
故答案为：．
②解：过点作于点，如图所示：

∵，
∴，
∵点在的角平分线上， ，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴
故答案为：．
【小问3详解】
解：当点与点重合时，，
当时，如图所示，
设，则
∴
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
综上所述，当是直角三角形时，或
【小问4详解】
解：当作为等腰三角形的底边时，如图所示：

则，设，则，
在中，，
，
解得：，
此时；
当作为腰时，如图所示：

，此时；
当时，
∵，
∴，
此时，
综上分析可知，值为或或．2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等．
已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明．
请写出完整的证明过程