吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的值为（ ）
A．B．1C．D．
2．将二次函数化成的形式为（ ）
A．B．C．D．
3．若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
4．某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室已知年该学校用于购买图书的费用为元，年用于购买图书的费用增加到元设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为( )
A．B．C．D．
6．如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（）可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
8．如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
10．抛物线的顶点坐标为 ．
11．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，．则线段 ．
12．如图，是的切线，M是切点，，则的大小为 度．
13．如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则弧的长为 ．
14．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，其中小冬拿绳子的手的坐标是．身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴的距离为1米，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程x2﹣4x+1=0．
16．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第届世界大学生夏季运动会会徽卡片分别记为，，第三张卡片的正面图案为成都第届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”(卡片记为)，卡片除正面图案不同外，其余均相同将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率．
17．已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．
18．在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍．如图，无人机在空中处的飞行高度为，地面观测点处观测无人机在空中处的仰角，已知米，求此时无人机的飞行高度．（结果精确到米）
【参考数据：，，】
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的中点，在给定的网格中，按下列要求作图

(1)在图①中的边上确定一点，连结，使．
(2)在图②中的边上确定一点，连结，使．
(3)在图③中的边上确定一点，连结，使．
20．如图，为的直径，点C、D都在上，过点D作，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
(2)求顶点的坐标．
(3)当时，直接写出的取值范围．
22．【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点为内一定点，点为上一动点，确定点的位置，使线段最长．
【问题解决】以下是小华的方法：
如图，连结并延长交于点，点为所求．
理由如下：在上取点异于点，连结、．
接下来只需证明．
请你补全小华的证明过程．
【类比结论】点为外一定点，点为上一动点，设的半径为，的长为，则线段长度的最大值为______，线段长度的最小值为______．(用含、的代数式表示)
【拓展延伸】如图，在半圆中，直径的长为，点在半圆上，，点在上运动，连结，是上一点，且，连结在点运动的过程中，线段长度的最小值为______．
23．如图，在中，，，，点为边的中点，动点从点出发，沿折线向点运动，点在上以每秒1个单位长度的速度运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，将沿翻折得到．设点的运动时间为秒（）．
(1)求的长．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)当与相似时，求的值．
(4)当四边形为中心对称图形时，直接写出的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点是该抛物线上一点，其横坐标为．以为对角线作矩形，轴．
(1)求抛物线所对应的函数表达式．
(2)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围为 ．
(3)设抛物线在矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求与之间的函数关系式．
(4)设这条抛物线的顶点为，的面积为．当时，直接写出的值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．B
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化成顶点式即可．
【详解】解：
，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
3．B
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确确定抛物线的对称轴．
根据函数解析式可确定对称轴为，点在对称轴上，因此的横坐标为，进而可得答案．
【详解】解：二次函数图象的对称轴为，
点在二次函数图象的对称轴上，
点的横坐标为，
故选：．
4．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程即可．
【详解】解：由题意可得，
．
故选：．
5．D
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可对各选项进行判断．
【详解】解：点是外一点，
，
的长可能为，
故选：D．
6．C
【详解】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵外径为，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：在中，米，，
，
（米，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．连接，，将图中阴影部分面积拼补为扇形与扇形面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：连接，，
，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等，
图中阴影部分的面积，
，
、是正三角形，
阴影部分的面积．
故选：B．
9．
【分析】本题主要考查一元二次方程根据与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键．
根据题意，运用根的判别式即可求解．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，且方程中，，
∴，
解得，，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次函数的顶点式；根据抛物线的顶点式可直接得出答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
11．6
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴．
故答案为：6．
12．54
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
根据切线的性质得到，然后利用互余计算出的度数即可．
【详解】解：∵是的切线，M是切点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：54．
13．π
【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握弧长公式是解答此题的关键．连接，根据圆周角定理可得出，根据弧长公式即可得出结论．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
弧的长．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用， 依据题意，设解析式为，再由小丽的坐标，且过，求出，，最后令时，求出，进而表示出的范围．解题的关键掌握待定系数法求二次函数解析式．
【详解】解：由题意，可知对称轴是：直线，
设解析式为，
又∵小丽头顶的坐标，且过，
∴
解得：，
解析式为．
当时，
或．
．
故答案为：．
15．x1=2+，x2=2-.
【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可．
【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1，
配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2-.
16．
【分析】本题考查列表法活树状图法，用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行解答即可，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
【详解】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中两张卡片上的图案都是“蓉宝”的只有种，
所以两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率为．
17．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，把、代入即可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】解：把、代入得：
，
解得，
这个二次函数解析式为．
18．无人机的飞行高度约为米
【分析】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切值的计算，即可．
【详解】由题意得，，，
∴，
∴（米），
答：无人机的飞行高度约为．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图，中位线的性质，平行线的性质；
（1）利用网格特征作出的中点，连接即可；
（2）利用网格特征作出线段的中点，连接即可；
（3）利用网格特征作出，交于点，即可．
解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；

（2）如图2中，点即为所求；

（3）如图3中，利用网格特征作出，交于点，
由三角形的内角和可知：，
故点即为所求．

20．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质．
（1）连结，如图，先证明得到，再利用得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）根据含30度角的直角三角形三边的关系，先在中计算出，则，然后在中可计算出的长．
掌握切线的判定方法，是解题的关键．
【详解】（1）证明：连结，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴．
故答案为：6．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
（1）把点和点坐标代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得，
这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；
（2）解：，
顶点的坐标为；
（3）解：当时，则
解得或，
根据图象得当时，．
22．【问题解决】见解析；【类比结论】，；【拓展延伸】
【分析】本题是圆的综合题，考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线并能够根据点的运动情况确定点的运动轨迹是解题的关键．
[问题解决]根据三角形三边关系求解即可；
[类比结论]结合[问题解决]求解即可；
[拓展延伸]取的中点，连接，，由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小．
【详解】解：[问题解决]如图，连接并延长交于点，点为所求．

理由如下：在上取点异于点，连接、．
在中，，
，
，
即；
[类比结论]如图，线段交于点，的延长线交于点，

由[问题解决]知，此时长度最大为，
当点在位置时，长度最小为，
线段长度的最大值为，线段长度的最小值为，
故答案为：；；
[拓展延伸]解：如图，取的中点，连接，，．

，
，
点在以为圆心，为半径的上，
，
当、、共线时，的值最小，
是直径，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
23．(1)
(2)
(3)或
(4)5或7
【分析】（1）由勾股定理可求得的长；
（2）分两种情况讨论：当时，在上；当时，在上，分别求解即可；
（3）根据题意，当与相似时，与相似；分两种情况讨论：当在上时，由相似三角形的性质可得，即可求得，易得；当在上时，由相似三角形的性质可求出，进而求得，即可获得答案；
（4）由四边形为中心对称图形，并结合可知四边形为菱形；分两种情况讨论：当与重合时，；当在上，四边形为菱形时，过作于，由面积法求出，由勾股定理可得，易得，从而求出的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴的长为；
（2）当时，在上，；
当时，在上，；
∴；
（3）∵点为边的中点，，
∴，
∵是将沿翻折得到，
∴当与相似时，与相似；
当在上时，如下图，
∵，，
∴，即，
解得，
∴；
当在上时，如下图，
此时，；
∴，
∵为中点，
∴为中点，
∴，
∴；
综上所述，t的值为或；
（4）∵四边形为中心对称图形，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
当与重合时，如下图，
此时，且，
∴四边形为正方形，是中心对称图形，
此时；
当在上，四边形为菱形时，如下图，
过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为5或7．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、列代数式、相似三角形综合应用、三角形中位线定理、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏．
24．(1)
(2)且
(3)
(4)0或3
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、一次函数的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当点在点的右侧时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，即可求解；
（3）当或时，则．当时，则，即可求解；
（4）由，即可求解．
【详解】（1）抛物线经过点，
，
解得，
该抛物线对应的函数表达式；
（2）如下图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，

当点在点的右侧时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，
即且，
故答案为：且．
（3）当或时，
则．
当时，
则，
即；
（4）如上图，过点作轴交于点，
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，
则，
解得：或．