重庆市九龙坡区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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（全卷满分150分，选作题满分15分，不计入总分．考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案请书写在答题卡上；作答前请认真阅读答题卡上的注意事项；
2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成；3·考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上．
1. 下列各数中，其中最小的数是（ ）
A. 2B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查有理数大小比较，根据负数小于0，0小于正数，负数比较绝对值大的反而小直接判断即可得到答案
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
2. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项得法则：系数相加作系数，字母及字母指数不变直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：，故A选项错误，不符合题意，
，故B选项正确，符合题意，
，故C选项错误，不符合题意，
，故D选项错误，不符合题意，
故选：B．
3. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，从上面看到的平面图形是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查从不同方向看简单几何体，根据从上往下看得到的图形直接判断即可得到答案
详解】解：从上看由两行第一行3个正方体，第二行2个正方体，
故选：C．
4. 已知，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知，则，将代数式变形为，进而把已知代入求出答案．
【详解】解：，
，



．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．代数式求值题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简； 已知条件化简，所给代数式不化简； 已知条件和所给代数式都要化简．
5. 已知a与2互为相反数，则a的倒数为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义及倒数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数，积为1的两个数互为倒数直接求解即可得到答案
【详解】∵a与2互为相反数，
∴，
∴a的倒数为：，
故选：D．
6. 把四边形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中共有4个三角形，第2个图案中共有7个三角形，第3个图案中共有个三角形，．．．，按此规律拼图案，则第8个图案中三角形的个数为（ ）
第1 第2 第3
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查图形规律，根据图形逐渐增加3个三角形即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
第一个图形：个三角形，
第二个图形：个三角形，
第三个图形：个三角形，
第个图形：个三角形，个三角形，
∴第个图形：个三角形，
故选：B．
7. 钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形成的角（小于平角）的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求钟面角，求出每分钟分粥走的度数及时针的度数求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
每分钟时针走的度数为：，
∴钟面角为：，
故选：B．
8. 如图，，点B，O，D在同一直线上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是互余，互补的两角之间的关系，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．
先求解，再求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
故选：A
9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟四斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设醑酒斗，根据“拿30斗谷子，共换了6斗酒”，即可列出相应的方程．
【详解】解：设醑酒斗，则清酒斗，
由题意可得：，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
10. 对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中n为正整数），规则为：．
①若，则生成的这数串中必有（i为正整数）；
②若，生成的前个数之和为；
③若生成的数串中有一个数，则它的前一个数应为．
上面说法中，其中正确个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数字的变化规律，根据题意找到规律直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：当时，
，
，
，
∴该组数据是三个一循环，
即，故①正确，
当时，
，
，
，
，
，
，
由①得，后面数据为3个一循环，
∴前个数之和为：，故②错误，
当时，
若前一个数是偶数，
则，
若前一个数是奇数，
则，
解得：，
故③错误，
故选：B．
二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分，请把答案填写在答题卡相应的位置．
11. 我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，数字67500用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．
12. 若与是同类项，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同类项的定义，根据字母及字母指数都相同的项叫同类项列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵与是同类项，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
13. 已知关于的方程的解是，则的值为______.
【答案】2
【解析】
分析】把代入，即可得到答案．
【详解】解：∵关于的方程的解是，
∴，解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，掌握能使方程等号两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
14. 在数，，，中，正数有_________个．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查正数的定义，乘方运算，根据大于0的数叫正数直接逐个判断即可得到答案
【详解】解：由题意可得，
，，，，
故正数有1个，
故答案为：1．
15. 线段AB＝12cm，点C在线段AB上，且AC＝BC，M为BC的中点，则AM的长为_______cm.
【答案】7.5
【解析】
【分析】可先作出简单的图形，进而依据图形分析求解．
【详解】解：如图，∵点C在AB上，且AC=BC，
∴AC=AB=3cm，∴BC=9cm，又M为BC的中点，
∴CM=BC=4.5cm，∴AM=AC+CM=7.5cm．
故答案为7.5.
【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
16. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据数轴上点的位置化简绝对值，根据数轴上点的位置得到式子的正负，再结合绝对值的性质化简即可得到答案；
【详解】解：由数轴可得，
，，
∴，，
∴原式，
故答案为：．
17. 已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案；
【详解】解：解方程得，
，
∵方程有负整数解，
∴等于或或或，
解得：或或或，
∵a是整数，
∴满足条件的整数a的值之和为：，
故答案为：．
18. 现有一列数：，2，，8，，32，……，请你观察这列数前6个数的排列规律，并按此规律，写出这列数的第2023个数是________；0，6，，18，，66，……，这一列数的第2024个数是_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查数字变化的规律，观察所给数列，发现数列中数的变化规律即可解决问题．
【详解】解：观察第一列数发现，
后一个数总是前一个数的倍，且第一个数为，
所以这列数的第个数可表示为：，
当时，
，
即这列数的第2023个数是；
观察第二列数发现，
，，，，，，
所以这列数的第个数可表示为：，
当时，
，
即这列数的第2024个数是．
故答案为：，．
三、解答题：本大题8个小题，第19题8分，第20-26题每题10分，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并写在答题卡上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先利用分配律进行计算，再算加法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则以及去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
（1）先算乘方，化简绝对值，再算乘除，最后算加法，有小括号先算小括号里面的；
（2）先去括号，然后合并同类项进行化简计算．
【小问1详解】
解：
=
=
=
=；
【小问2详解】
解：
=
=．
21. 已知三条线段长度分别为a、b、c，其中（如图所示）．
（1）尺规作图，在射线上求作线段，使；（要求：不写作法，只保留作图痕迹）
（2）已知，，，用一根和线段长度相等的铁丝，围成一个正方形，且将正方形绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求此几何体的体积．
【答案】（1）图见详解；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查作相等线段，利用圆规截取相等线段即可得到答案；
（2）本题考查旋转体及圆柱的体积，根据周长求出正方形的边长，结合正方形的旋转体是圆柱求解即可得到答案
【小问1详解】
解：由题意可得，
以A为圆心为半径画圆弧交直线于一点，再以该点为圆心为半径画圆弧，并重复一次，最后以交点为圆心为半径往左边画圆弧交直线于一点即为，如图所示，
；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴正方形的边长为：，
∴旋转体的底面半径为：2，高为2，
∴．
22. 某车间有名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务，每个工人每天能加工个甲种零件或加工个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件． 该车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求．
（1）每天应安排多少工人加工甲种零件？
（2）每天生产该轿车总加工费为元． 已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？
【答案】（1）人
（2）元
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，找准数量间的等量关系是解题关键．
（1）设有x个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案；
（2）设加工一件乙种零件的费用为元，则加工一件甲种零件的费用为元，根据每天生产该轿车总加工费为元列方程计算求解．
【小问1详解】
解：设有x人加工甲种零件，则有人加工乙种零件，由题意可得，
，
解得：，
答：应安排人加工甲种零件；
【小问2详解】
解：由（1）可得每天安排人加工甲种零件，人生产乙种零件，
设加工一件乙种零件的费用为元，则加工一件甲种零件的费用为元，
由题意可得，，
解得：，
答：一件乙种零件的费用为元．
23. 已知线段，点C是直线上的一点，且，若点E、F分别是线段、的中点，求线段的长．（要求画出示意图）
【答案】或．
【解析】
【分析】先根据，，求出，再根据点E、F分别是线段、的中点，求出，，分两种情况讨论，求出的长即可．
【详解】当点C在点B的右侧时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点E、F分别是线段、的中点，
∴，，
∴；
当点C在点B的左侧时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点E、F分别是线段、的中点，
∴，，
∴；
综上分析可知，线段EF的长为或．
【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，注意进行分类讨论，是解题的关键．
24. 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为60%．
（1）甲种商品每件利润率为______，每件乙种商品售价为______；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】（1），80；
（2）购进甲商品40件，乙商品20件；
（3）12或13件
【解析】
【分析】（1）根据甲的售价和进价可得利润率，根据乙的进价和利润率可得售价；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是2600元，列出方程求解即可；
（3）分别求出第一天和第二天购进甲、乙两种商品的件数，再相加即可．
【小问1详解】
解：，（元），
所以甲种商品每件利润率为，每件乙种商品售价为80元，
故答案为：，80；
小问2详解】
设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
解得：．
，
答：购进甲商品40件，乙商品20件；
【小问3详解】
设第一天购买乙种商品a件，
依题意得，或，
解得（舍去）或，
所以第一天购买乙种商品4件．
设第二天购买甲种商品b件，
依题意得，或，
解得或，
所以第二天购买甲种商品8或9件，
（件）或（件），
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
25. 点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上．
图1 图2
（1）在图1中， ；
（2）如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？
（3）将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系．
【答案】（1）；
（2）或时与垂直；
（3）
【解析】
【分析】（1）本题考查有关角平分线的计算，根据得到，结合角平分线即可得到答案；
（2）本题考查角度旋转问题，根据垂直列式求解即可得到答案；
（3）本题考查角度旋转问题，设，分别表示出，，即可得到答案
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
小问2详解】
解：由题意可得，
①当在之内时，
由（1）得，
，
∵，
∴，即：，
解得：，
②当旋转超过时，如图，
∵，
∴，即：，
解得：，
综上所述：或时与垂直；
【小问3详解】
解：由题意可得，如图所示，
，
设，
∵，
∴，，
∴．
26. 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为，定义：或，请回答问题：
（1）设点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，若，则 ．
（2）设数轴上点P对应的数为p，且，求p的值；
（3）如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为4，点C表示的数为，点B表示的数是9． 现甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，当乙到达点C时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动． 问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？
【答案】（1）7； （2）或；
（3）或或或；
【解析】
【分析】（1）本题考查绝对值的非负性应用及数轴上两点间的距离，根据非负式子和为0它们分别等于0，求出两点，结合数轴上两点的距离等于两数之差的绝对值求解即可得到答案；
（2）本题考查数轴上两点间的距离，分点在的左边或3的右边两类求解即可得到答案；
（3）本题考查数轴上的动点问题及一元一次方程应用问题，分相遇前相距和相遇后相距，追及相距讨论即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∵点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴在3，的两边，
当点在的左边时，
，
解得：，
当点在3的右边时，
，
解得：，
综上所述：或；
【小问3详解】
解：由题意可得，设经过秒时，甲、乙相距2个单位长度，
①当相遇前相距2个单位长度时，由题意可得，
，
解得：，
②当相遇后相距2个单位长度时，由题意可得，
，
解得：，
乙运动到C点时，
，
甲运动时间为：，
甲乙相距：，
③当追到前相距2个单位长度时，
，
解得：，
当追到后相距2个单位长度时，
，
解得：，
综上所述：或或或时甲、乙相距2个单位长度．
四、选作题：本大题1个小题，共15分，不计入总分． 解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
27. 整数有一个很常用的性质，叫做离散性．意思是说若两个整数a，b满足，则，或者说，即两个不同整数的差的绝对值至少为1．
已知正整数a，b，c，d，e，f满足，． 试解决问题：
（1）证明：；
（2）．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，关键是根据因式分解得出不等式解答．
（1）根据因式分解得出不等式，进而解答即可；
（2）根据不等式的性质和比例性质解答即可．
【小问1详解】
证明：，，，，都是正整数，
，
，
．
【小问2详解】
由（1）得，，
，，
，
，
，
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