重庆市九龙坡区育才中学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份重庆市九龙坡区育才中学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（﹣2）10＝210
C．（3a）2﹣5a2＝﹣2a2D．（﹣3x2y）3÷9x6＝3y3
3．（4分）已知两条线段的长度分别为2、5，则下列长度的线段可以和它们组成三角形的是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（4分）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，△AEC≌△DFB，则CD长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（4分）五边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
6．（4分）如图，四块形状和大小都一样的长方形拼成一个大正方形，若长方形长4厘米，则中间空白部分的面积是（ ）平方厘米．
A．8B．6C．5D．4
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，连接BD，则∠BDC＝（ ）
A．70°B．75°C．78°D．76°
8．（4分）下列说法中错误的是（ ）
A．两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形全等
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
C．等腰三角形的角平分线、高和中线“三线合一”
D．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
9．（4分）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟（1，0），第二分钟，它从点（1，0）（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，那么在第45分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（7，2）B．（6，3）C．（3，6）D．（2，7）
10．（4分）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 x1，只显示不运算，接着再输入整数 x2 后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．
①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1；
②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；
③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为2021（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上.
11．（4分）化简：x2•（﹣y）3＝ ．
12．（4分）已知点A（1，a）关于y轴的对称点为B（b，3），则a﹣b的值为 ．
13．（4分）已知2a﹣b＝3，则4a﹣2b﹣5的值为 ．
14．（4分）已知等腰三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的周长为 ．
15．（4分）在△ABC中，作线段BC的垂直平分线DE交AC、BC 于E、D两点，连BE．若△ABE的周长为15，则△ABC的周长为 ．
16．（4分）在正方形ABCD中，点M在CD上，将△ADM沿着AM翻折到△ANM，则∠ABN的度数为 ．
17．（4分）在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝a，BD平分∠ABC交AC于点D，则S△ABC为 ；若动点M在线段BD上，动点N在线段AB上，连接AM、MN .（用含a、b的式子表示）
18．（4分）如图，△ABC与△ADC均为直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，过点D作射线DG⊥CB于点F，交AC于点E，连接KC、KF、KB、KG．若KG＝KC，∠KGD＝∠ACK．下列结论：①∠GDA＝∠EAD；③∠DCB＝∠AKG；④KF＝KB．其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：
（1）3a（5a+6b）；
（2）（4a2b﹣6ab+12a）÷（2a）．
20．（10分）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段BC的垂直平分线l，交线段BC于点D，交AC于E（不说明理由，只保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：AE＝EC．小明的思路是这样的：由中垂线的性质得到 EB＝EC，再证∠EAB＝∠EBA，从而证得 EA＝EB
证明：∵直线l是线段BC的垂直平分线，且点E在直线l上，
∴ ①，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ECB+∠A＝90°，
∴ ②+∠A＝90°，
∵∠EBC+∠ABE＝90°，
∴ ③，
∴BE＝AE，
∵BE＝EC，
∴ ④．
21．（10分）先化简，再求值：[（a+3b）（3b﹣a）﹣（2a﹣b）2+5a2]÷（﹣4b），其中a、b的值满足（a﹣1）2+|2a﹣b|＝0．
22．（10分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在小正方形的顶点处，点C在直线MN上．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C；
（2）求四边形ABB1A1的面积．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于D．
（1）若∠BAC＝60°，∠C＝40°，求∠ADB的度数；
（2）过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝6，求△ABD的面积．
24．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC的中点，AE平分∠DAC，交BC于点E，连接 FE，BF，满足BF∥AC，∠AFB＝∠AEC．
（1）求∠FAE的度数；
（2）如图2，点G是AC上一点，连接EG，GF与AE交于点K．若AK＝EK，求证：CG＝2CE．
25．（10分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．因此
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
（2）如图2所示，四边形ACDE是由两个全等的直角三角形ABC和直角三角形BED以及另外一个△ABE无缝拼成．若△ABC≌△BED，∠C＝90°，AC＝b，AB＝c．试通过上述方法探究a、b、c三者之间的等量关系；
（3）如图3所示，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，以CD为边的正方形的面积为1，利用上述方法或者结论
26．（10分）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，连接AD，过点A作AE⊥AD，过点D作DH⊥AB，垂足为H
（1）求证：AE＝AD；
（2）如图2，延长AB到点G，连接GD，F为AC上一点，连接FG、FE；
（3）如图3，点K在△GHD内，连接KG、KH、KD，直接写出∠KGH+∠KDH的值．
2023-2024学年重庆市九龙坡区育才中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确
1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（﹣2）10＝210
C．（3a）2﹣5a2＝﹣2a2D．（﹣3x2y）3÷9x6＝3y3
【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则分别判断，进而得出答案．
【解答】解：A．a2•a4＝a6，故此选项不合题意；
B．（﹣2）10＝210，故此选项符合题意；
C．（2a）2﹣5a3＝4a2，故此选项不合题意；
D．（﹣8x2y）3÷5x6＝﹣3y2，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算和同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）已知两条线段的长度分别为2、5，则下列长度的线段可以和它们组成三角形的是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、2+4＞6，4cm，故A符合题意；
B、2+3＝5，3cm，故B不符合题意；
C、2+2＜5，5cm，故C不符合题意；
D、2+1＜3，5cm，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4．（4分）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，△AEC≌△DFB，则CD长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵△AEC≌△DFB，
∴AC＝DB，
∴AC﹣BC＝DB﹣BC，
∴AB＝CD，
∵AB＝5，
∴CD＝5，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．
5．（4分）五边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．
【解答】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
6．（4分）如图，四块形状和大小都一样的长方形拼成一个大正方形，若长方形长4厘米，则中间空白部分的面积是（ ）平方厘米．
A．8B．6C．5D．4
【分析】由图可知中间小正方形边长为长方形长减去宽，根据正方形面积公式计算即可．
【解答】解：由图知：中间空白部分为正方形其边长为：长方形长减去宽即4﹣2＝7cm，
所以面积为：2×2＝8cm2，
故选：D．
【点评】本题考查组合图形的面积，主要是先判断形状，求出边长，识图是关键．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，连接BD，则∠BDC＝（ ）
A．70°B．75°C．78°D．76°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再由BC＝BD即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝28°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，
∴BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝76°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．
8．（4分）下列说法中错误的是（ ）
A．两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形全等
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
C．等腰三角形的角平分线、高和中线“三线合一”
D．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
【分析】根据轴对称图形的性质、等腰三角形的性质和三角形外角以及中线的性质分别判断得出即可．
【解答】解：A、两个三角形关于某条直线对称，说法正确；
B、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，不符合题意；
C、等腰三角形的顶角的角平分线，说法错误；
D、三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查轴对称的性质和等腰三角形的性质，关键是根据轴对称图形的性质、等腰三角形的性质和三角形外角以及中线的性质解答．
9．（4分）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟（1，0），第二分钟，它从点（1，0）（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，那么在第45分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（7，2）B．（6，3）C．（3，6）D．（2，7）
【分析】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【解答】解：由题知（0，0）表示粒子运动了8分钟，
运动到点（1，1），将向左运动，
运动到点（3，2），将向下运动，
运动到点（3，7），将向左运动，
……，
由此总结出：运动到点（n，n），运动方向规律是看n是奇数还是偶数．
∴在第45分钟时，粒子又向下移动了45﹣6×7＝7个单位长度，
∴粒子的位置为（6，3），
故选：B．
【点评】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
10．（4分）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 x1，只显示不运算，接着再输入整数 x2 后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．
①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1；
②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；
③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为2021（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；
②根据运算规则可知最大值是5；
③根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可．
【解答】解：①根据题意可以得出：|1﹣2|＝|﹣4|＝1，
|1﹣4|＝|﹣2|＝2，
|8﹣4|＝|﹣2|＝7，
最后输出的结果是2．
故①不符合题意
②对于2，8，6，按如下次序输入2、6、6，|1﹣4|＝5
全部输入完毕后显示的结果的最大值是5，
故②不符合题意；
③随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数8，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，
∴设b为较大数字，当a＝1时，|b﹣|a﹣2|＝|b﹣4|＝10，
解得：b＝11，
故此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|11﹣1|＝2，
设b为较大数字，当b＞a＞2时，|b﹣|a﹣2|＝|b﹣a+5|＝10，
则b﹣a+2＝10，即b﹣a＝8，则a﹣b＝﹣6，
故此时任意输入后得到的最小数为：|a﹣|b﹣2|＝|a﹣b+2|＝5，
综上所述：k的最小值为6．
故③符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的函数最值问题．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上.
11．（4分）化简：x2•（﹣y）3＝ ﹣x2y3 ．
【分析】利用单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝x2•（﹣y3）
＝﹣x3y3，
故答案为：﹣x2y5．
【点评】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（4分）已知点A（1，a）关于y轴的对称点为B（b，3），则a﹣b的值为 4 ．
【分析】先根据点坐标关于y轴对称的变化规律得出a、b的值，再代入求值即可．
【解答】解：∵点A（1，a）关于y轴的对称点为B（b，
∴a＝3，b＝﹣5，
∴a﹣b＝3﹣（﹣1）＝2．
故答案为：4．
【点评】本题考查了点坐标关于y轴对称的变化规律，掌握理解点坐标关于y轴对称的变化规律是解题关键．
13．（4分）已知2a﹣b＝3，则4a﹣2b﹣5的值为 1 ．
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵2a﹣b＝3，
∴原式＝5（2a﹣b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，整体代入的思想方法，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
14．（4分）已知等腰三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的周长为 29 ．
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为5时，②当腰长为12时，解答出即可．
【解答】解：①当腰长为5时，5+8＜12，
②当腰长为12时，12+12＞5，周长＝12+12+5＝29．
故其周长为29．
故答案为：29．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
15．（4分）在△ABC中，作线段BC的垂直平分线DE交AC、BC 于E、D两点，连BE．若△ABE的周长为15，则△ABC的周长为 22 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BE＝CE，再根据△ABE的周长为15得到AB+AC＝15，据此求解即可．
【解答】解：∵线段BC的垂直平分线DE交AC、BC 于E，
∴BE＝CE，
∵△ABE的周长为15，
∴AB+AE+BE＝15，
∴AB+AE+CE＝15，
∴AB+AC＝15，
∵BC＝7，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝15+7＝22．
故答案为：22．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
16．（4分）在正方形ABCD中，点M在CD上，将△ADM沿着AM翻折到△ANM，则∠ABN的度数为 75° ．
【分析】设AM与ND相交于点E，由翻折得，∠DAM＝∠MAN，AD＝AN，AM⊥DN，则∠DEM＝∠AED＝90°，结合正方形的性质推出∠AMD＝60°，进而得∠DAM＝∠MAN＝30°，则∠BAN＝∠BAD﹣∠DAM﹣∠MAN＝30°，再由“等边对等角”及三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：如图，设AM与ND相交于点E，
由翻折得，∠DAM＝∠MAN，AM⊥DN，
∵四边形ABCD是正方形，∠NDM＝30°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠CDA＝90°，
∴∠DEM＝∠AED＝90°，AB＝AN，
∴∠AMD＝60°，
∴∠DAM＝∠MAN＝30°，
∴∠BAN＝∠BAD﹣∠DAM﹣∠MAN＝90﹣30﹣30°＝30°，
∴∠ABN＝∠ANB＝（180°﹣∠BAN）＝．
【点评】本题主要考查图形的翻折，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识，熟练掌握翻折及正方形的性质是关键．
17．（4分）在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝a，BD平分∠ABC交AC于点D，则S△ABC为 ab ；若动点M在线段BD上，动点N在线段AB上，连接AM、MN a .（用含a、b的式子表示）
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，用a的代数式表示出AE，根据三角形面积公式即可求出S△ABC的值；在BC上取一点N'，使BN'＝BN，探究出AM+MN最小时，点A，M，N'三点在一条直线上，且AN'⊥BC，即AM+MN的最小值为AE的长即可解决问题．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝a，
∴∠BAE＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝a，
∴S△ABC＝ab；
在BC上取一点N'，使BN'＝BN，
∵BD平分∠ABC，
∴∠MBN＝∠MBN'，
在△BMN和△BMN'中，
，
∴△BMN≌△BMN'（SAS），
∴MN＝MN'，
∴AM+MN＝AM+MN'，
即当AM+MN最小时，点A，M，且AN'⊥BC，
∴AM+MN的最小值为AE的长，即a．
故答案为：ab，a．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，探究出用一条线段的长表示出AM+MN的最小值是解题的关键．
18．（4分）如图，△ABC与△ADC均为直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，过点D作射线DG⊥CB于点F，交AC于点E，连接KC、KF、KB、KG．若KG＝KC，∠KGD＝∠ACK．下列结论：①∠GDA＝∠EAD；③∠DCB＝∠AKG；④KF＝KB．其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
【分析】根据平行线判定与性质及角平分线定义求出∠GDA＝∠CAD，即可判定①；利用AAS证明△AKC≌△DKG，根据全等三角形的性质得出AK＝DK，结合直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠DEC＝∠AKG＝∠DCB，即可判定③；延长FK交AB于点N，利用AAS证明△AKN≌△DKF，根据全等三角形的性质得到KN＝KF，根据直角三角形的性质即可判定④；若KF∥AC，根据平行线的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质即可判定②．
【解答】解：∵DG⊥CB于点F，∠ABC＝90°，
∴∠DFC＝90°＝∠ABC，
∴DF∥AB，
∴∠GDA＝∠BAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠GDA＝∠CAD，
故①正确，符合题意；
在△AKC和△DKG中，
，
∴△AKC≌△DKG（AAS），
∴AK＝DK，
∵∠ACD＝90°，
∴AK＝DK＝CK，
∴∠KAC＝∠ACK＝∠KDG＝∠KGD，
∴∠AKG＝∠KGD+∠KDG＝2∠CAD，
∵∠CFD＝∠ECD＝90°，
∴∠DCB+∠CDE＝∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠DCB＝∠DEC，
∵∠DEC＝∠CAD+∠GDA＝2∠CAD，
∴∠DEC＝∠AKG＝∠DCB，
故③正确，符合题意；
延长FK交AB于点N，
∵DF∥AB，
∴∠FDK＝∠KAN，∠KNA＝∠KFD，
在△AKN和△DKF中，
，
∴△AKN≌△DKF（AAS），
∴KN＝KF，
∵∠FBN＝90°，
∴KN＝KF＝KB，
故④正确，符合题意；
若KF∥AC，
∵AK＝KD，
∴EF＝FD，
∵∠ECD＝90°，
∴CF＝FD＝EF，
∵∠CFD＝90°，
∴∠CED＝∠CDE＝∠FCE＝∠FCE＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.8°，
∴∠CAB＝45°，
∵题目中并未求得∠CAB＝45°，
故②错误，不符合题意；
故答案为：①③④．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：
（1）3a（5a+6b）；
（2）（4a2b﹣6ab+12a）÷（2a）．
【分析】（1）直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝15a2+18ab；
（2）原式＝4a2b÷2a﹣6ab÷8a+12a÷2a
＝2ab﹣6b+6．
【点评】此题主要考查了整式的除法以及单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（10分）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段BC的垂直平分线l，交线段BC于点D，交AC于E（不说明理由，只保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：AE＝EC．小明的思路是这样的：由中垂线的性质得到 EB＝EC，再证∠EAB＝∠EBA，从而证得 EA＝EB
证明：∵直线l是线段BC的垂直平分线，且点E在直线l上，
∴ EC＝EB ①，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ECB+∠A＝90°，
∴ ∠EBC ②+∠A＝90°，
∵∠EBC+∠ABE＝90°，
∴ ∠A＝∠ABE ③，
∴BE＝AE，
∵BE＝EC，
∴ AE＝CE ④．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质推出∠EAB＝∠EBA，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示，直线l即为所求；
（2）证明：∵直线l是线段BC的垂直平分线，且点E在直线l上，
∴EC＝EB，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ECB+∠A＝90°，
∴∠EBC+∠A＝90°，
∵∠EBC+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠ABE，
∴BE＝AE，
∵BE＝EC，
∴AE＝CE．
故答案为：EC＝EB，∠EBC，AE＝CE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记线段垂直平分线的作法以及性质是解题的关键．
21．（10分）先化简，再求值：[（a+3b）（3b﹣a）﹣（2a﹣b）2+5a2]÷（﹣4b），其中a、b的值满足（a﹣1）2+|2a﹣b|＝0．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，求出a、b的值，最后代入求出答案即可．
【解答】解：[（a+3b）（3b﹣a）﹣（2a﹣b）2+5a3]÷（﹣4b）
＝（9b5﹣a2﹣4a5+4ab﹣b2+6a2）÷（﹣4b）
＝（6b2+4ab）÷（﹣3b）
＝﹣2b﹣a，
∵a、b的值满足（a﹣1）3+|2a﹣b|＝0，
∴a﹣3＝0且2a﹣b＝8，
∴a＝1，b＝2，
∴原式＝﹣3×2﹣1＝﹣3﹣1＝﹣5．
【点评】本题考查了绝对值和偶次方的非负性和整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
22．（10分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在小正方形的顶点处，点C在直线MN上．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C；
（2）求四边形ABB1A1的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用梯形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求．
（2）连接AA2，BB1，
四边形ABB1A8的面积为＝16．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于D．
（1）若∠BAC＝60°，∠C＝40°，求∠ADB的度数；
（2）过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝6，求△ABD的面积．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠ABC，进而利用角平分线的定义得出即可；
（2）根据角平分线的性质得出DE＝DF，进而利用三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵∠ABC的角平分线交AC于D，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∴∠ADB＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
（2）∵过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，
∴DE＝DF＝6，
∴△ABD的面积＝．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出DE＝DF解答．
24．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC的中点，AE平分∠DAC，交BC于点E，连接 FE，BF，满足BF∥AC，∠AFB＝∠AEC．
（1）求∠FAE的度数；
（2）如图2，点G是AC上一点，连接EG，GF与AE交于点K．若AK＝EK，求证：CG＝2CE．
【分析】（1）先证△ABF和△ACE全等，得∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，再根据∠FAE＝∠BAF+∠BAE＝∠CAE+∠BAE可得出答案；
（2）由（1）可知：△AFE为等边三角形，从而得∠AFB＝60°，AF＝EF，根据AK＝EK，得∠AFG＝∠EFG＝30°，FK⊥AE，由此可证△AFG和△EFG全等，得∠AGF＝∠EGF，然后根据点D为BC的中点，及AE平分∠DAC可得出∠CAE＝15°，进而可求出∠AGF＝∠EGF＝75°，由此得∠CGE＝30°，∠CEG＝90°，最后再利用直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵BF∥AC，
∴∠ABF＝∠BAC＝60°，
∴∠ABF＝∠C＝60°，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（AAS），
∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，
∴∠FAE＝∠BAF+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠CAE＝60°；
（2）证明：由（1）可知：AF＝AE，∠FAE＝60°，
∴△AFE为等边三角形，
∴∠AFB＝60°，AF＝EF，
∵AK＝EK，
∴∠AFG＝∠EFG＝30°，FK⊥AE，
在△AFG和△EFG中，
，
∴△AFG≌△EFG（SAS），
∴∠AGF＝∠EGF，
∵△ABC为等边三角形，点D为BC的中点，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠CAE＝∠DAC＝15°，
∵FK⊥AE，
∴∠AGF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠AGF＝∠EGF＝75°，
∴∠CGE＝180°﹣（∠AGF+∠EGF）＝30°，
又∠C＝60°，
∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝90°，
在Rt△CEG中，∠CGE＝30°，
∴CG＝2CE．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
25．（10分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．因此
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ；
（2）如图2所示，四边形ACDE是由两个全等的直角三角形ABC和直角三角形BED以及另外一个△ABE无缝拼成．若△ABC≌△BED，∠C＝90°，AC＝b，AB＝c．试通过上述方法探究a、b、c三者之间的等量关系；
（3）如图3所示，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，以CD为边的正方形的面积为1，利用上述方法或者结论
【分析】（1）根据大正方形的边长为（a+b），而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽为a的长方形组成即可得出答案；
（2）由全等三角形的性质得出AC＝BD＝b，BC＝DE＝a，由梯形的面积及三角形的面积公式可得出答案；
（3）由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）依题意得：a2+b2＝（a+b）6﹣2ab；
故答案为：a2+b7＝（a+b）2﹣2ab．
（2）由题意可知AC＝b，BC＝a，
∵△ABC≌△BED，
∴AC＝BD＝b，BC＝DE＝a，
∵S梯形ACDE＝（AC+DE）•CD÷2＝，
S△ACB＝ab，S△BDE＝ab，S△ABE＝，
∴＝，
∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，
∴a2+b6＝c2；
（3）∵以AD为边的正方形的面积为9，以CD为边的正方形的面积为4，
∴AD＝3，CD＝1，
∴AC＝＝＝，
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴，
∴BC6＝5，
∴以BC为边的正方形的面积为5．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理，正确理解并运用数形结合思想方法是解题的关键．
26．（10分）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，连接AD，过点A作AE⊥AD，过点D作DH⊥AB，垂足为H
（1）求证：AE＝AD；
（2）如图2，延长AB到点G，连接GD，F为AC上一点，连接FG、FE；
（3）如图3，点K在△GHD内，连接KG、KH、KD，直接写出∠KGH+∠KDH的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可证得△EAB≌△ADH（ASA），即可推出AE＝AD；
（2）在DG上截取DN＝EF，连接AN，FN，FN与AG交于M，利用SAS可证得△AEF≌△ADN，得出∠EAF＝∠DAN，AF＝AN，进而可得△AFN是等腰直角三角形，再证得AM平分∠FAN，利用等腰三角形的性质可得AM⊥FN，FM＝MN，即AG垂直平分FN，推出GF＝GN，即可证得结论；
（3）延长GK交HD于S，延长DK交GH于T，根据费马点模型可知：当点K在△GHD内，KG+KH+KD的值最小时，∠GKD＝∠DKH＝∠GKH＝120°，再运用三角形外角性质即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图1，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC，
∵HD＝BC，
∴HD＝AB，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHA＝90°，
∴∠BAD+∠HDA＝90°，
∴∠EAB＝∠HDA，
在△EAB和△ADH中，
，
∴△EAB≌△ADH（ASA），
∴AE＝AD；
（2）证明：如图2，在DG上截取DN＝EF，FN，
∵DH⊥AB，
∴∠AHD＝∠DHG＝90°，
∴∠HGD+∠HDG＝90°，
∵∠HGD＝∠ADH，
∴∠ADH+∠HDG＝90°，
即∠ADG＝90°，
∵FE⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠ADH，
在△AEF和△ADN中，
，
∴△AEF≌△ADN（SAS），
∴∠EAF＝∠DAN，AF＝AN，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
即∠EAN+∠DAN＝90°，
∴∠EAN+∠EAF＝90°，
即∠FAN＝90°，
∴△AFN是等腰直角三角形，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
即∠FAM＝45°，
∴∠NAM＝45°＝∠FAM，
∴AM平分∠FAN，
∴AM⊥FN，FM＝MN，
即AG垂直平分FN，
∴GF＝GN，
∵DN+GN＝GD，
∴EF+GF＝GD；
（3）解：如图8，延长GK交HD于S，
∵点K在△GHD内，KG+KH+KD的值最小，
∴∠GKD＝∠DKH＝∠GKH＝120°，
∴∠KGH+∠KHG＝∠HKS＝60°，∠KHD+∠KDH＝∠HKT＝60°，
∴∠TKS＝∠HKS+∠HKT＝120°，
∵∠KHG+∠KHD＝∠DHG＝90°，
∴∠KGH+∠KHG+∠KHD+∠KDH＝120°，
∴∠KGH+∠KDH＝120°﹣（∠KHG+∠KHD）＝120°﹣90°＝30°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，费马点模型，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．